Đề thi học sinh giỏi năm học 2008-2009 môn: Toán, lớp 11 Trường THPT Phú Xuyên A

 sở gd - đt hà nội	 đề thi học sinh giỏi năm học 2008-2009
trường thpt phú xuyên a Môn: Toán , Lớp 11
 Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1: (4 điểm)
Cho dãy số (Un) xác định bởi : 
a/ Xác định số hạng tổn quát của dãy số (Un).
b/ Tính tổng 	 theo n.
Câu 2: (5 điểm)
a/ Chứng minh rằng : (n ẻ N).
b/ Từ các số 1;2;3;4;5;6;7. Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau? Tính tổng các số đó?
Câu 3: (5 điểm)
a/ Cho x2 + y2 - 2x - 4y + 4 =0 . Chứng minh rằng:
b/ Cho phương trình : 4(cosx – sinx) + sin2x = m. 
Tìm m để phương trình vô nghiệm.
Câu 4: (6 điểm) 
Cho hình chóp SABC, O là một điểm bên trong tam giác ABC. Qua O vẽ những đường thẳng lần lượt song song với SA, SB, SC cắt các mặt SBC,SCA,SAB theo thứ tự tại A’, B’, C’. 
a/ Chỉ ra cách dựng các điểm A’, B’, C’.
b/ Chứng minh rằng tổng có giá trị không đổi khi O di động trong tam giác ABC.
c/ Xác định vị trí của điểm O để tích : OA’.OB’.OC’ có giá trị lớn nhất.
-------------------------Hết-----------------------
 sở gd - đt hà nội	 	đáp án – thang điểm 
trường thpt phú xuyên a kỳ thi Học sinh giỏi năm học 2008-2009 
 Môn: Toán , Khối 11
Câu
ý
Đáp án
Điểm
1
4
1.1
Ta có: ị đặt ; n ẻ N*. 
0.5 
 ị (Vn) là một cấp số nhân với công bội q=2/3; V1= U1=2/3
0.5
ị Vn = V1.qn-1=(2/3)n.
0.5
ị Un= 
0.5
1.2
ị S = V1+V2+.+Vn= 
1
ị S = 
1
2
5
2.1
1
Sử dụng : (1+x)n.(1+x)n = (1+x)2n. với mọi x.
Đồng nhất hệ số xn ở 2 vế ta có điều phải chứng minh.
1.5
2.2
Số các số lập được là: A57 = 2520.
1
Các số 1;2;3;4;5;6;7 bình đẳng nhau lên số lần xuất hiện của chúng ở các hàng đơn vị,., chục nghìn là như nhau và bằng:
2520/7 = 360 lần. 
0.5
ị Tổng các chữ số ở mỗi hàng là:
 360(1+2+3+4+5+6+7)=10080
0.5
ịTổng cần tìm là:10080(1+101+102+103+104) = 111.998.880
0.5
3
5
3.1
gt ị (x-1)2+(y-2)2 = 1 ị tồn tại số a : x-1=sina ; y-2=cosa.
0.5
=| (x-1)2- (y-2)2- 2(y-2)(x-1)|
1
=| sin2a- cos2a- 2sinacosa |
=| cos2a+sin2a | Ê 2 (luôn đúng)
Vậy bđt được chứng minh.
1
3.2
Đặt: t = cosx- sinx, điều kiện -Ê t Ê 
Khi đó pt Û -t2+4t+1=m.
1
Xét hàm số y = - t2+4t+1 trên đoạn [-;]
Bảng biến thiên:
1
 ị m ẻ (- ∞ ;-1- 4) ẩ (-1+4;+∞) thoả mãn ycbt. 
0.5
4
6
1
0.5
Gọi M = AO ầ BC ị SM= (SAO) ầ (SBC).
Gọi d là đường thẳng qua O // SA.ị A’=SM ầ d.
Làm tương tự ta dựng được B’; C’.
1.5
2
;;
1
;;
0.5
0.5
0.5
3
0.5
Û 
ị 
0.5
Dấu “=” xảy ra khi: Û 
Û O là trọng tâm tam giác ABC.
0.5