Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Trường THCS Hợp Đức (Có đáp án)

MA TRẬN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI GIỚI THIỆU CHO PHÒNG GD
Cấp độ
Chủ đề
Nhận biết
Thông hiểu
Vận dụng
Tổng
Cấp độ thấp
Cấp độ cao
1. Biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai.
Vận dụng các phép tính và các phép biến đổi đơn giản CBH để tính giá trị biểu thức
Số câu
Số điểm
Tỉ lệ %
2
2đ
20%
2
2đ
20%
2. Cực trị đại số, phương trình vô tỉ
Vận dụng bất đẳng thức Cô-si...tìm GTLN,GTNN, giải phương trình vô tỉ
Số câu
Số điểm
Tỉ lệ %
2
2đ
20%
2
2đ
20%
3. Chứng minh bất đẳng thức.
Vận dụng bất đẳng thức Cô-si...chứng minh bất đẳng thức
Số câu
Số điểm
Tỉ lệ %
1
1đ
10%
1
1đ
10%
4. Hàm số và đồ thị hàm số bậc nhất.
Chứng minh đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định ; tìm khoảng cách lớn nhất từ một điểm đến đường thẳng
Số câu
Số điểm
Tỉ lệ %
2
2đ
20%
2
2đ
20%
5. Hình học
Chứng minh hai tam giác đồng dạng
Vận dụng tính chất 3 đường cao trong tam giác và đường trung bình trong tam giác để chứng minh trung điểm của đoạn thẳng.
Hệ thức lượng, cực trị hình học
Số câu
Số điểm
Tỉ lệ %
1
1đ
10%
2
2đ
20%
3
3đ
30%
Tổng
Số câu
Số điểm
Tỉ lệ %
1
1đ
10%
9
9đ
90%
10
10đ
100%
UBND HUYỆN THANH HÀ
TRƯỜNG THCS HỢP ĐỨC 
ĐỀ THI HỌC SINH GIƠI LỚP 9
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài : 150 phút 
( Đề này gồm 5 câu, 02 trang)
Số phách
(Do Trưởng phòng
GD&ĐT ghi)
Người ra đề
(Ký và ghi rõ họ tên)
Xác nhận của Ban giám hiệu
(Ký tên, đóng dấu)
..Phần phách...
Số phách
(Do Trưởng phòng GD&ĐT ghi)
ĐỀ BÀI
C©u I (1,0 ®iÓm).
	TÝnh : 
C©u II (2,0®). 
	Trªn mÆt ph¼ng Oxy cho ®­êng th¼ng (d): y = (2m + 1)x - 4m - 1 vµ ®iÓm
 A(-2;3).
Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña m th× ®­êng th¼ng (d) lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh.
T×m m ®Ó kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn ®­êng th¼ng (d) lµ lín nhÊt.
C©u III (2,0 ®iÓm).
	a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 
	b) Cho x, y lµ c¸c sè tho¶ m·n: 
	H·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 
C©u IV (2,0®).
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: với 0 < x < 1
	b) Víi x,y kh«ng ©m. Chøng minh : 
C©u V (3,0®). 
	Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, ®­êng cao AH (HBC); BC = 2a. Gäi M,N theo thø tù lµ h×nh chiÕu cña H trªn c¹nh AB,AC. §o¹n th¼ng AH c¾t MN t¹i O. Gäi P,Q lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña BH vµ HC, ®­êng cao PI cña tam gi¸c APQ c¾t OH t¹i E.
Chøng minh r»ng: a) PH.HQ = AH.EH
	b) E lµ trung ®iÓm cña OH
c) 
- - - Hết - - -
Hä vµ tªn thÝ sinh:........................................................... Sè b¸o danh: .............
UBND HUYỆN THANH HÀ
TRƯỜNG THCS HỢP ĐỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
MÔN: TOÁN
 (Hướng dẫn chấm  gồm 04 trang)
Số phách
(Do Trưởng phòng
GD&ĐT ghi)
Người ra đề
(Ký và ghi rõ họ tên)
Xác nhận của Ban giám hiệu
(Ký tên, đóng dấu)
..Phần phách...
Số phách
(Do Trưởng phòng
GD&ĐT ghi)
C©u
PhÇn
Néi dung
§iÓm
C©u I
(1,0®)
0,25®
0,25®
0,25®
0,25®
C©u II
(2,0®)
a)
1,0®
Gäi M(x0;y0) lµ ®iÓm cè ®Þnh mµ ®­êng th¼ng (d) lu«n ®i qua víi mäi m.
Ta cã : y0 = (2m + 1)x0 - 4m - 1 víi mäi m
 (2x0 - 4)m + x0 - 1 - y0 = 0 víi mäi m
VËy ®­êng th¼ng (d) lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh M(2;1) víi mäi m
0,25®
0,25®
0,25®
0,25®
b)
1,0®
Ta thÊy A (d). KÎ AH (d) (Hd) ta cã AH AM= (bÊt ®¼ng thøc trong tam gi¸c vu«ng)
Do ®ã AH lín nhÊt b»ng AM . Khi ®ã AM(d)
0,25®
0,25®
..Phần phách...
C©u
PhÇn
Néi dung
§iÓm
ViÕt ®­îc ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng AM : 
Dùa vµo §K hai ®­êng th¼ng vu«ng gãc t×m ®­îc: m = vµ tr¶ lêi
0,25®
0,25®
C©u III
(2,0®)
a)
1,0®
§KX§: (*)
¸p dông b®t Bunhiak«pski ta cã: . 
DÊu “=” x¶y ra 2x+1 = 17 - 2x x = 4
Ta l¹i cã:=(x2 - 4x)2+(x - 4)2+6 6 víix.
DÊu “=” x¶y ra x= 4
Suy ra x = 4
Víi x = 4 tho¶ m·n §K (*).VËy nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ x = 4
0,25®
0,25®
0,25®
0,25®
b)
1,0® 
Ta cã : (**)
Tõ (1)
T­¬ng tù ta cã : (2) 
LÊy (1) céng víi (2) ta cã : x = -y
Suy ra 
VËy A = 2017
0,25®
0,25®
0,25®
0,25®
C©u IV
(2,0 ®)
a)
1,0®
Víi 0 < x < 1 ta cã : 
0,5®
0,25®
0,25®
b)
1,0® 
Víi x, y ta cã vµ 
 MÆt kh¸c : x + y > 0 (C«-si) (2)
 Nh©n tõng vÕ 2 bÊt ®¼ng thøc (1) vµ (2) ta cã
0,25®
0,25®
0,25®
0,25®
C©u V
(3,0®)
- VÏ h×nh ®óng
0,5®
a)
0,75®
- C/m ®­îc PHE ®ång d¹ng víi AHQ (g.g)
- Suy ra: PH.HQ = AH.EH
0,5®
0,25®
b)
1,0®
- C/m tø gi¸c AMHN lµ h×nh ch÷ nhËt O lµ trung ®iÓm cña AH
Suy ra PO lµ ®­êng trung b×nh cña ABH PO//AB mµ ABAC
POAC PO lµ ®­êng cao trong APC.
 Do ®ã O lµ trùc t©m cña APC COAP (1)
L¹i cã E lµ trùc t©m cña APQ QEAP (2)
Tõ (1) vµ (2) QE//CO mµ Q lµ trung ®iÓm cña HC (gt) suy ra E lµ trung ®iÓm cña OH (®pcm)
0,25®
0,25®
0,25®
0,25®
c)
0,75®
Ta cã : 
Theo bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopxki
 (AB + AC)2 2(AB2 + AC2) = 2BC2 = 2.(2a)2 = 8a2 
 AB + AC 
VËy 
0,25®
0,25®
0,25®
- - HÕt - - -