Đề thi học sinh giỏi Môn Toán lớp 11

Sở giáo dục - đào tạo hảI phòng đề thi học sinh giỏi 
Trường thpt trần nguyên hãn Môn toán lớp 11- năm học 2008-2009
 Thời gian làm bài : 150’
 Bài 1( 4,0 điểm ) 
 1, Giải phương trình : 
 2, Giải phương trình sau : 
 (x, y là các ẩn )
 Bài 2 (4,0 điểm ) 
 Cho hàm số 
 Biết , , 
 Hãy tính 
 Bài 3 (4,0 điểm ) 
 Cho dãy số được xác định như sau 
 (n = 1,2,3,4,)
 1, Chứng minh 
 2, Tìm 
 Bài 4 (4,0 điểm ) 
 Cho ba số dương x,y,z thoả mãn 
 Tìm giá trị lớn nhất của 
 Bài 5 (4,0 điểm ) 
 Cho tam giác đều ABC ,
 1, M là điểm nằm trong tam giác sao cho . Hãy tính góc 
 2, Một điểm S nằm ngoài (ABC ) sao cho tứ diện SABC đều , gọi I, K là trung điểm của các
 cạnh AC và SB , Trên đường thẳng AS và CK ta chọn các điểm P,Q sao cho PQ// BI 
 Tính độ dài PQ biết cạnh của tứ diện có độ dài bằng 1
 Sở giáo dục - đào tạo hảI phòng đáp án đề thi học sinh giỏi
Trường thpt trần nguyên hãn Môn toán lớp 11- nh:2008-2009
Bài
 Nội dung 
điểm
Bài 1
(4đ)
1, Giải phương trình (1)
2.0 đ
 Điều kiện 
 Khi đó : 
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
2, Giải phương trình (2) 
2,0 đ
 Đk ( )
 Ta có 
 Và 
 Vậy 
 (3)
* Nếu nên phương trình vô nghiệm 
* Nếu 
 thì ta có pt (3) 
* Nếu 
 thì ta có pt (3) 
Phương trình có các nghiệm là 
 hoặc 
0,5đ
 0,5đ
0,5đ
0,5đ
Bài 2 
(4đ)
 Cho hàm số 
 Biết , , 
 Hãy tính 
4 đ
 Đặt 
 Ta có 
 Nên 
 Vậy 
 1đ
1đ
1đ
1đ
Bài 3 
(4đ)
 Cho dãy số được xác định như sau 
 (n = 1,2,3,4,)
 1, Chứng minh 
 Ta có vậy (un) là dãy tăng , giả sử bị chặn trên thì ta có 
Suy ra (không đúng)
Vậy 
2 đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
 Cho dãy số được xác định như sau 
 (n = 1,2,3,4,)
 2, Tìm 
Ta có 
Vậy ta có 
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Bài 4
(4,0đ) 
Cho ba số dương x,y,z thoả mãn (1)
 Tìm giá trị lớn nhất của 
4,0 đ
 Ta có thì 
Theo giả thiết 
ta đặt , , với 
 Ta có 
 Vậy Ma x P = Khi 
0,5đ
0,5đ
0,5đ
 0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Bài 5
(4,0đ)
Cho tam giác đều ABC ,
1, M là điểm nằm trong tam giác sao cho . Hãy tính góc 
2,0 đ
 Dùng phép quay tâm C góc quay thì ta có 
 Vậy 
Ta có MB = M’A, MC = M’C = MM’, Vậy MB2 + MC2 = MA2 
Suy ra M’A2 + MM’2 = MA2 
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
2, Một điểm S nằm ngoài (ABC ) sao cho tứ diện SABC đều , gọi I, K là trung điểm của các cạnh AC và SB , Trên đường thẳng AS và CK ta chọn các điểm P,Q sao cho PQ// BI .Tính độ dài PQ biết cạnh của tứ diện có độ dài bằng 1
2,0 đ
Ta có PQ là giao tuyến của hai mặt phẳng : Mặt phẳng chứa CK và song song với BI và mặt phẳng chứa SA và song song với BI
Trong mặt phẳng (SBI) kẻ KE / / BI, CE cắt SA ở P
Qua A kẻ A F // BI (F thuộc BC) , CK cắt S F tại Q 
 Vậy PQ // BI 
 Ta có I, E là các trung điểm của AC và SI 
Mà 
Ta có 
Vậy 
Chú ý :
 -Học sinh làm cách khác đúng cho điểm tối đa từng phần
Có gì sơ xuất mong các thầy cô sửa dùm – Xin cảm ơn
Người ra đề : Mai Thị Thìn 
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ