Đề thi học sinh giỏi lớp 11 năm học 2009-2010 môn Toán - Trường THPT Lộc Bình

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LẠNG SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11
 Trường THPT Lộc Bình Năm học 2009-2010
 MÔN :TOÁN 
 Thời gian: 180 phút( không kể thời gian giao đề)
CÂU 1: (3 điểm )
 Giải bất phương trình sau: 
CÂU 2 : (2 điểm)
 Cho a, b , c là độ dài 3 cạnh của một tam giác .Chứng minh rằng phương trình sau vô nghiệm:
CÂU 3: ( 5 điểm) 
 1) Giải phương trình lượng giác sau:
 2) Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu các góc của nó thoả mãn: 
CÂU 4: ( 2 điểm)
 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có: 
 chia hết cho 9.
CÂU 5: ( 2 điểm)
 Cho hai điểm B, C cố định nằm trên đường tròn (O) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó.
Tìm quỹ tích những điểm M sao cho: 
Tìm quỹ tích những điểm N sao cho: 
CÂU 6: ( 4 điểm)
	Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.
a) Chứng minh rằng: mp(A’BD)// mp(B’CD’)
b)Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (A’BCD’) và (BDD’B’).
c) Xác định thiết diện của hình hộp đã cho khi cắt bởi mặt phẳng đi qua điểm M thuộc đoạn AB và song song với mặt phẳng (ACC’)
CÂU 7: ( điểm)
 Cho ba số a, b, c khác không thoả mãn đồng thời 
 Chứng minh rằng cả ba số đều âm. 
 . .. Hết..
 Đáp án
câu
 Đáp án
điểm
1
Điều kiện:
1
1
1
2
Do a > 0 nên (1) là pt bậc 2. Ta có:
Vì (a+b+c)>0, (a+b-c)>0, (a+c-b)>0, (b+c-a)>0 
vậy pt (1) vô nghiệm.
2
3
1)
2) Ta có
Do A , B là các góc của tam giác nên k = 0 , suy ra A=B
Vậy tam giác ABC là tam giác cân.
1
2
1
1
4
Đặt 
Với n= 1 : (đúng)
giả sử ta có 
chứng minh 
Thật vậy: 
Vậy chia hết cho 9.
1
1
5
Gọi I là trung điểm của BC:
Suy ra M là trung điểm của doạn IA. Ta có nên có phép vị tự biến A thành M. Do A thay đổi trên (O) nên quỹ tích M là ảnh của (O) qua .
Lấy điểm J sao cho : 
Suy ra A là trung điểm của NJ.Quỹ tích N là ảnh của (O) qua 
1
1
6
a) 
b) 
c) Gọi là mặt phẳng qua M, song song với mp(ACC’). Vì //(ACC’) nên
Vậy thiết diện là tứ giác MNPQ
1
1
2
7
Từ (1) suy ra a,b,c có một số âm.Giả sử a0
Nếu b,c cùng dương, trái giả thiết (2) nên b,c cùng âm. Vậy a,b,c cùng âm.
2