Đề thi học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 9 - Trường THCS Thanh Bình (Có đáp án)

UBND HUYỆN THANH HÀ
TRƯỜNG THCS THANH BÍNH
 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN 
Năm học 2015 – 2016
Môn : Toán 9
(Đề này gồm 4 câu, 2 trang)
Số phách
(Do Trưởng phòng
GD&ĐT ghi)
Người ra đề
(Ký và ghi rõ họ tên)
Xác nhận của Ban giám hiệu
(Ký tên, đóng dấu)
PHẦN RỌC PHÁCH.....................................
Số phách
(Do Trưởng phòng
GD&ĐT ghi)
ĐỀ BÀI
Câu I (3 điểm)
1) Tính:
a) 
b) 
2) Cho f(x) = 
Hãy tính giá trị của f(x) khi 
Câu II (1,5 điểm)
Cho các đường thẳng , và . Hãy tìm để các đường thẳng trên và trục tung tạo thành một hình thang có diện tích bằng 8 (đvdt)
Câu III (1,5 điểm)
Cho a, b, c là 3 cạnh của cùng một tam giác, có chu vi là 2p không đổi. Chứng minh rằng: 
..Phần phách....
Câu IV (4 điểm)
 Cho đường tròn (O) bán kính R. A là một điểm nằm trên đường tròn. Vẽ tiếp tuyến Ax của đường tròn (O). B là một điểm bất kì nằm trên tia Ax (B A). C là một điểm nằm trên đường tròn (O) sao cho BC = BA. Đường thẳng OB cắt AC tại H, cắt đường tròn (O) tại D và E (E nằm giữa O và B).
a) Chứng minh rằng CB là tiếp tuyến của đường tròn (O).
b) Qua B kẻ đường thẳng song song với OA, qua O kẻ đường thẳng song song với AB chúng cắt nhau ở F. Chứng minh rằng tứ giác OBFC là hình thang cân .
c) Gọi S là diện tích của tứ giác OABC và là diện tích của tứ giác ABCD. Chứng minh rằng: và .
-----------Hết----------- 
UBND HUYỆN THANH HÀ
TRƯỜNG THCS THANH BÍNH
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 
Năm học 2015 – 2016
Môn : Toán 9
(hướng dẫn chấm  gồm 5 trang)
Số phách
(Do Trưởng phòng
GD&ĐT ghi)
Người ra đề
(Ký và ghi rõ họ tên)
Xác nhận của Ban giám hiệu
(Ký tên, đóng dấu)
PHẦN RỌC PHÁCH.....................................
Số phách
(Do Trưởng phòng
GD&ĐT ghi)
Câu 
Phần
Nội dung
Điểm
I 
1
a) 
= 2
b) 
0,5đ
0,5đ
0,5đ
..Phần phách....
0,5đ
2
Ta có nên 
Khi đó ta có
0,25đ
0,25đ
0,5đ
II
Gọi ABCD là hình thang được nêu trong bài toán (như hình vẽ ở trên). Ta tính được và 
Ta có 
mà theo bài ra nên ta có (TMĐK)
Vậy a = 2
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
III
Với x và y là các số dương ta luôn có: 
 Dấu “=” xảy ra 
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:
 (1)
Tương tự như vậy ta có:
 (2)
 (3)
Cộng từng vế (1), (2) và (3) ta được:
Ta xét 
VP = 
Nên 
Dấu “=” xảy ra a, b, c là 3 cạnh của một tam giác đều.
Vậy 
Dấu “=” xảy ra tam giác đã cho là tam giác đều
Ghi chú: 
- Học sinh có thể nêu dấu “=” xảy ra a = b = c thay cho tam giác đã cho là tam giác đều
- Nếu học sinh không chỉ được ra dấu bằng xảy ra khi nào thì trừ đi 0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
IV
a) Học sinh chứng minh được AOB = COB (c-c-c)
Từ đó suy ra 
 mà theo tính chất của tiếp tuyến ta có nên nên CB là tiếp tuyến của đường tròn (O).
b) Học sinh chứng minh được ABFO là hình bình hành từ đó suy ra K là trung điểm của AF HK là đường trung bình của ACF CF//HK CF//OB nên OBFC là hình thang.
Mặt khác ABFO là hình bình hành nên OF = AB mà AB = BC
nên OF = BC. Do đó OBFC là hình thang cân.
c) Học sinh chứng minh OB AC suy ra 
Mặt khác ta có hay 
. 
Ta có 
Vì E nằm giữa B và D nên BD > DE = 2R BD AC
BD – AC 0 
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
Ghi chú: Học sinh giải bằng cách khác với đáp án mà vẫn đúng thì vẫn được điểm tối đa ở phần làm đúng đó.
-----------Hết-----------