Đề thi Học sinh giỏi giải Toán trên máy tính cầm tay môn Toán Lớp 9 - Năm học 2012-2013 - Phòng GD&ĐT Tam Dương

PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG
...............................
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MTCT - NĂM HỌC 2012-2013
MÔN: TOÁN 9
Thời gian làm bài: 150 phút không kể giao đề
Chú ý: đề thi có 06 trang (kể cả tờ phách)
Số phách (do chủ tịch HĐCT ghi): .............................
Qui định chung:
	1. Thí sinh được dùng một trong các loại máy tính: Casio fx-500A, fx-500MS, fx-500ES, fx-570MS, fx-570ES; VINACAL Vn-500MS, Vn-570MS.
	2. Nếu có yêu cầu trình bày cách giải, thí sinh chỉ cần nêu vắn tắt, công thức áp dụng, kết quả tính vào ô qui định.
	3. Đối với các kết quả tính toán gần đúng, nếu không có chỉ định cụ thể, được lấy đến 5 chữ số thập phân sau dấu phẩy.
Phần ghi của thí sinh:
Họ và tên: ......................................................................... SBD ................................
Ngày sinh ................................, Lớp ................, Trường ...........................................
Phần ghi của giám thị (họ tên, chữ kí):
Giám thị 1: ...............................................................................................................................
Giám thị 2: ...............................................................................................................................
Điểm bài thi
Họ tên, chữ kí giám khảo
Số phách
Bằng số
Bằng chữ
Giám khảo 1 ..............................................................................
Giám khảo 2 ..............................................................................
ĐỀ THI VÀ BÀI LÀM
Bài 1. (5 điểm) Gọi x0 là nghiệm của phương trình: . 
Tính giá trị sau:
x0 ≈
Bài 2: (5 điểm)
 a) Tính biết 
 	b) Tìm ƯCLN và BCNN của (20111982; 20112012)
ƯCLN (20111982; 20112012) =
BCNN (20111982; 20112012) =
Bài 3. (5 điểm) Cho dãy số với số hạng tổng quát được cho bởi công thức:
	 với n là số tự nhiên khác 0.
a) Tính U1; U2; U3; U4.
b) Chứng minh rằng Un+1= 26 Un - 166 Un-1
c) Viết quy trình bấm phím tính Un+1. Tính U9 – U6
a) U1 = ; U2 = ; U3 = ; U4 = 
b) Chứng minh:
c) Quy trình bấm phím tính Un+1 
Kết quả: U9 – U6 = 
Bài 4. (5 điểm) Cho tứ giác lồi ABCD có diện tích bằng (dm2). Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lấy các điểm tương ứng K, L, M, N sao cho AK : KB = 2, BL:LC=1:3, CM : MD = 3:1, DN : NA = 1: 2. Tính diện tích đa giác AKLCMN theo đơn vị cm2 (Lấy 4 chữ số phần thập phân).
Tóm tắt cách giải:
Đáp số:
Bài 5.	 (5 điểm)
 a) Mét ®a gi¸c cã 2013020 ®­êng chÐo. Hái ®a gi¸c ®ã cã bao nhiªu c¹nh?
 b) Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 1. Trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho Ð ABD = Ð CBE = 200. Gọi M là trung điểm của BE và N là điểm trên cạnh BC sao BN = BM. Tính tổng diện tích hai tam giác BCE và tam giác BEN.
a) Tóm tắt lời giải
Kết quả:
b) Tóm tắt lời giải
Kết quả:
 Bài 6. (5 điểm) Cho x1000 + y1000 = 6,912 và x2000 + y2000 = 33,76244
 Tính A = x3000 + y3000
Tóm tắt lời giải:
Kết quả A 
Bài 7. (5 điểm) Cho hình thang ABCD vuông tại B và C, có AB<CD, AB=12,35cm, BC=10,55cm và .
a) Tính diện tích hình thang ABCD.
b) Tính tỉ số giữa diện tích tam giác ADC và diện tích tam giác ABC.
a) SABCD
b) 
Bài 8. (5 điểm)
a) Cho đa thức . Biết rằng: . Nêu tóm tắt cách tính và tính chính xác giá trị P(12). 
b) Xét dãy các số nguyên , trong đó xn có n chữ số 3 và chữ số hàng đơn vị là 4. Gọi S(n) là số chữ số 3 có mặt trong số 9(xn)3. Nêu cách tính S(n) và tính S(2010)
a) Tóm tắt cách tính:
P(12)= 
b) Nêu cách tính S(n):
S(2010) =
Bài 9. (5 điểm) Cho và 
Với giá trị nào của a, b, c thì P(x) = Q(x) 
Tính n nếu chia hết cho x + 3 . 
Tóm tắt lời giải và kết quả:
Bài 10. (5 điểm) Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A cã AB = c = 23,82001 cm; AC = b =29,1945 cm. Gäi G lµ träng t©m cña tam gi¸c. Gäi A’, B’, C’ lµ h×nh chiÕu cña G trªn c¸c c¹nh BC, CA, AB. Gäi S vµ S’ lÇn l­ît lµ diÖn tÝch cña c¸c tam gi¸c ABC và A’B’C’.
Tính tØ sè 
Tính S’.
Tóm tắt lời giải:
a)
b) Kết quả S' 
HẾT
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
HƯỚNG DẪN CHẤM MTCT
———————————
Qui định chung: 
	- Trong khi chấm nếu có yêu cầu trình bày lời giải tóm tắt mà không trình bày hoặc trình bày sai thì không cho điểm phần đáp số liên quan. 
	- Các kết quả lấy thừa chữ số thập phân hoặc không làm tròn theo quy định trừ một nửa số điểm của kết quả đó
	- Kết quả thiếu đơn vị đo (nếu có) trừ 0,5 điểm.
- Học sinh có thể có cách giải khác, khi đó giám khảo dùng máy kiểm tra. Nếu cách làm đúng thì vẫn cho điểm tối đa như hướng dẫn chấm.
Bài 1: 5,0 điểm.
x0≈ 1,83463 5đ
Bài 2: (5 điểm)
 a, Tính biết 
 2,12905 2đ
	b, Tìm ƯCLN và BCNN của ( 20111982; 20112012)
ƯCLN (20111982; 20112012) = 6 1,5đ
 BCNN (20111982; 20112012) = 67415403887964 1,5đ
Bài 3: 5,0 điểm.
a/ U1 = 1 ; U2 = 26 ; U3 = 510 ; U4 = 8944 1đ
b/ Chứng minh: 2đ
Đặt 13+=a
 13 -=b suy ra a+b= 26 và ab=166
Ta có: Un+1= 
 = 
 (đpcm)
c/ Quy trình bấm phím tính Un+1 1đ
Dựa vào công thức truy hồi ở phần b HS viết quy trình bấm phím
Kết quả: U9 – U6 = 8588124600 1đ
Bài 4: 5,0 điểm.
Tóm tắt cách giải: 2,5đ.
Kí hiệu s(X) là diện tích hình X. Nối A với L, C và M; nối L với K; M với N. 
Kí hiệu: s(BLK)=S1, s(DMN)=S2. 
Ta thấy: S = 12.S1 + 12.S2 
suy ra: 
Đáp số: 183.828,6274 (cm2). 2,5đ.
Bài 5: 5,0 điểm, mỗi ý đúng 2,5 điểm.
a) Gäi sè c¹nh cña ®a gi¸c lµ n. Khi ®ã sè ®­êng chÐo lµ: 
Theo bµi ra ta cã: =2 013 020 ó n2 – 3n – 4 026 040 = 0
Gi¶i trªn m¸y tÝnh ®­îc: n=2008; n=-2005
VËy sè c¹nh cña ®a gi¸c lµ 2008. 2,5đ. 
b) Kẻ BI ^ AC Þ I là trung điểm AC. 
Ta có: Ð ABD = Ð CBE = 200 
Þ Ð DBE = 200 (1)
Mµ	D ADB = D CEB (g–c–g) 
Þ 	BD = BE Þ D BDE cân tại B 
Þ I là trung điểm DE.
mà BM = BN và Ð MBN = 200 
Þ D BMN và D BDE đồng dạng.
Þ 
Þ SBNE = 2SBMN = = SBIE 
Vậy SBCE + SBNE = SBCE + SBIE = SBIC = đvdt. 2,5đ.
 (Có thể ghi ở dạng SBCE + SBNE đvdt)
Bài 6: 5,0 điểm.
Tóm tắt lời giải: 2,5 điểm.
 Đặt a = x1000 , b = y1000 . 
 Ta có : a + b = 6,912 ; a2 + b2 = 33,76244 
 Khi đó : a3 + b3 = (a + b)3- 3ab(a + b) = (a + b)3- 3. 
 Kết quả : A 184,93601 2,5 điểm.
Bài 7: 5,0 điểm. Mỗi ý đúng 2,5 điểm.
a) SABCD cm2
b) 
Bài 8: 5,0 điểm.
a) Viết lại P(x)=(x-1)(x-2)(x-11)+ax+b. 
Thay x =1, 2 ta tính được a=1, b=0 (khi đó thoả mãn các điều kiện giả thiết). 
Do đó P(x)=(x-1)(x-2)(x-11)+x. 
Từ đó P(12)=1.2.3.11+12=39916812. 2,5 đ
b) Nêu cách tính:
Có 
Vì có tất cả 3(n+1) chữ số 3, suy ra: hay có đúng 3n chữ số 3.
Tính được: S(2010)=6030. 2,5 đ
Bài 9. (5 điểm)
Tóm tắt lời giải và kết quả : 
a)P(x)=Q(x) ó
 ó =
 ó. 
Tõ ®ã gi¶i ®­îc a=30 ; b= 5 ; c= 13 3 đ
b)
Ta cã: chia hÕt cho x + 3 khi 
A(x) = 35x2 -37x+60080 – n2 cã nghiÖm x = -3 .
Tõ ®ã gi¶i ®­îc n = 2đ
Bài 10. (5 điểm)
Tóm tắt lời giải: 
a) Ta có AH vuông góc BC ; 
vì b.sinB + c.sinC = HB + HC = BC = a 
 Suy ra: S’= ( ah + bc) = 
 hay 3 đ
 b ) S’ = 77,26814 (cm2) 2đ
.........................................................................