Đề thi học kỳ 2 môn Toán lớp 11 (ban tự nhiên)

TRƯỜNG THPT VÕ MINH ĐỨC
ĐỀ THI HỌC KỲ 2 NĂM HỌC 2008 – 2009
MÔN TOÁN LỚP 11 (Ban Tự nhiên) – Thời gian : 90 phút
Bài 1
a. Tìm (n là số tự nhiên)
b. Tập hợp A được gọi là hữu hạn nến A là tập rỗng hoặc tồn tại số tự nhiên n để 
 A = {a1, a2 , ., an}.
 Cho dãy số (xn) thỏa . Chứng minh rằng tập hợp M = {n Î¥*/ xn > 1} là hữu hạn.
Bài 2.
 Cho hàm số 
a. Chứng minh 
b. Tìm m để hàm số liên tục tại xo = 0
Bài 3.
a. Cho hàm số y = xsinx. Tính y’ và y’’
b. Cho hàm số . Tìm y’
Bài 4.
a. Cho u= u(x) và v = v(x) là các hàm số có đạo hàm tại xo (v(xo) ≠ 0). Giả sử đồ thị (C) của hàm số cắt trục Ox tại điểm A(xo ; 0). Chứng minh rằng hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại A là 
b. Tìm m để đồ thị (C) của hàm số cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt A và B đồng thời các tiếp tuyến của (C) tại A và tại B vuông góc nhau.
Bài 5.
 Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi M là điểm đối xứng của A qua D và H là hình chiếu vuông góc của M xuống mặt phẳng (ABC).
 a. Chứng minh các tam giác ABH và ACH là những tam giác vuông
 b. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (ABC)
ĐÁP ÁN 
Bài 1.
a. Ta có : mà nên Þ = 3
b. Theo định nghĩa giới hạn nên tồn tại số tự nhiên No sao cho k ³ No thì x k < 1
Mà n Î M Þ xn > 1 Þ n < No Þ n Î {1 , 2 , 3  No} nên M Ì {1 , 2 , 3  No} hữu hạn
Bài 2.
a. (xn) là dãy bất kỳ (xn ≠ 0) , xn ® 0, ta có ® 0 nên 
b. f(x) liên tục tại x = 0 Û Û m + 1 = 0 Û m = -1
Bài 3.
a.	y’ = sinx + xcosx
 	y’’ = 2cosx - xsinx
b. Tại xo = 0 thì không tồn tại vì ≠ 
Do đó không tồn tại đạo hàm tại x = 0
và	
Bài 4.
a. Hệ số góc của tiếp tuyến tại xo là = = vì u(xo) = 0
b. Điều kiện tồn tại hai điểm A, B là m2 – 4m > 0
Giả sử A(x1 ; 0) và B(x2 ; 0) theo kết quả câu a thì hệ số góc tiếp tuyến tại A , B được tính bởi với x1 ; x2 lần lượt là nghiệm của phương trình x2 + mx + m = 0 nên :
x1 + x2 = -m ; x1.x2 = m (1)
H 
A 
M 
D 
C 
B 
O 
K 
Các tiếp tuyến trên vuông góc với nhau khi và chỉ khi : 
Û (2)
Khử x1 ; x2 bằng cách thế (1) vào (2) ; ta được : m2 + 2m + 1 = 0 Û m = -1
Bài 5.
Gọi O là tâm DABC đều cạnh a suy ra DO ^ (ABC), MH ^ (ABC) nên 
MH // DO , hơn nữa D là trung điểm của AM do đó MH = 2DO
Mà DO = 
Vậy d(M,(ABC)) = 
Þ AB ^ BM mà BH là hình chiếu của BM theo định lí ba đường vuông góc AB ^ BH suy ra DABH vuông tại B, Tương tự DACH vuông tại C.
Do DB = DA = DM = a nên DABM vuông tại B