Đề thi học kỳ 2 Môn: Toán 11 (Đề 4)

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II - MÔN TOÁN LỚP 11 VĂN 
Năm học: 2008 – 2009 
(Thời gian 90’ – không kể thời gian phát đề) 
Câu 1. (2đ) Tính các giới hạn sau: 
 a)  2lim 4n n 1 2n   b)
2
x 0
1 2x 1
lim
1 cos2x
 

Câu 2. (2đ) Cho hàm số  
3
2
x 3x 2
 khi x 1
f (x) x 1
mx 1 khi x 1
  

  
  
a) Tính 
x 1
lim f (x)

, 
x 1
lim f (x)

b) Tìm m để hàm số liên tục trên tập xác định của nó. 
Câu 3. (2đ) Cho hàm số f(x) = x4 – 2x2 – 1 
a) Chứng minh phương trình f(x) = 0 luôn có 2 nghiệm phân biệt. 
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số trên tại điểm có hoành độ x = 2. 
Câu 4. (1đ) Tìm f ’(x) biết 
2x 1
f (x) sin 2x
x

  . Tính f '
4
 
 
 
. 
Câu 5. (3đ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA = a và SA vuông 
góc với đáy. Dựng AH, AK lần lượt vuông góc với SB, SD tại H và K. 
a) Chứng minh ΔSBC vuông tại B. 
b) Chứng minh AH  (SBC), SC  (AHK) 
c) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD). 
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM 
Câu 1. 
a)  
2 2
2
2
2
1
n 1
4n n 1 4n 1nlim 4n n 1 2n lim lim
41 14n n 1 2n
2n 1 1
4n 4n
 
           
   
   
 
 (1đ) 
b) 
   
2 2
2
x 0 x 0 x 02 2
2
1 2x 1 1 2x 1 1 1
lim lim lim
1 cos2x 2sin x1 2x 1 2sin x
1 2x 1
x
  
     
  
   
   
 
 (1đ) 
Câu 2. a)
 
 
3
2
x 1 x 1 x 1
x 3x 2
lim f (x) lim lim x 2 3
x 1
    
 
   

 (0,75đ) 
  
x 1 x 1
lim f (x) lim mx 1 m 1
  
    (0,25đ) 
 b) Với x > 1, f(x) là hàm phân thức hữu tỉ nên f(x) liên tục trên (1; +∞) (0,25đ) 
 Với x ≤ 1, f(x) là hàm đa thức nên f(x) liên tục trên (-∞; 1] (0,25đ) 
 Do đó, f(x) liên tục trên  khi và chỉ khi f(x) liên tục tại x = 1 
 
x 1
lim f (x)

 = 
x 1
lim f (x)

= f(1)  m + 1 = 3  m = 2. (0,5đ) 
Câu 3. a) f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên . (0,25đ) 
 f(-2) = 7, f(0) = -1, f(2) = 7 
 f(-2).f(0) < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (-2; 0) (0,25đ) 
 f(0).f(2) < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0; 2) (0,25đ) 
Vậy phương trình f(x) = 0 luôn có 2 nghiệm phân biệt. (0,25đ) 
b) f ’(x) = 4x3 – 4x. (0,25đ) 
f ’(2) = 24 (0,25đ) 
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số trên tại điểm (2; 7) là: 
 y = 24. (x – 2) + 7  y = 24x – 41. (0,5đ) 
Câu 4. 
2 2 2
2 2 2
2cos 2x 2x (x 1) cos 2x x 1 cos 2x 1
f '(x) 1
x x x2 sin 2x sin 2x sin 2x
  
       (0,75đ) 
2 2
cos
1 162f ' 1 1
4
sin
2 4

 
     
    
 
 
 (0,25đ) 
Câu 5. 
(1đ) a) BC  AB, BC  SA  BC  (SAB)  BC  SB  ΔSBC vuông tại B. 
(0,5đ) b) BC  (SAB)  BC  AH mà AH  SB  AH  (SBC) 
 AH  (SBC)  AH  SC (1) 
 Tương tự, AK  (SCD)  AK  SC (2) 
(0,5đ) Từ (1) và (2) suy ra SC  (AHK). 
 c) Ta có AK  (SCD), AB // (SCD) (vì AB // CD) 
(0,5đ) do đó d(B, (SCD)) = d(AB, (SCD)) = d(A, (SCD)) = AK. 
(0,5đ) Tam giác ASD vuông cân tại A, AK là đường cao nên 
a 2
AK
2
 
 Vậy d(B, (SCD)) =
a 2
2
H 
K 
C 
A 
B 
D 
S