Đề thi chọn HSG môn Toán lớp 9 năm học 2012-2013 - Huyện Duyên Hải

UBND HUYỆN DUYÊN HẢI
PHÒNG GD&ĐT
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2012-2013
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
I/ MA TRẬN ĐỀ 
Chủ đề chính
Nhận biết
Thông hiểu
Vận dụng
Thấp Cao	
Tổng
Thực hiện phép tính. Chứng minh chia hết 
Biết rút gọn rồi thay giá trị của x vào biểu thức
 Biết vận
 dụng 
 tính chất 
 chia hết
Số câu 
Số điểm 
1
3
1
2
2
5
Phương trình vô tỷ. Chứng minh Phương trình có nghiệm hữu tỷ. tính giá trị biểu thức
Biết đặt ẩn phụ để , biến đổi căn thức. 
 Biết chứng 
 minhphương
 trình có
 nghiệm 
 hửu tỹ.
 tính giá
 trị BT
Số câu 
Số điểm 
2
5
2
4
4
9
Tiếp tuyến của đường tròn, tứ giác nội tiếp
Biết vận dụng tính chất tiếp tuyến của đường tròn. Phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp 
Số câu 
Số điểm
3
6
3
6
Tổng
Số câu 
Số điểm
1
3
5
11
 3
 6
9
20
II/ ĐỀ 
Bài 1: (3 điểm)
Chứng minh rằng nếu a + b + c = 2007 và thì một trong ba số đó phải có một số bằng 2007.
Bài 2: (5 điểm)
	Giải các phương trình:
 a. 
 b. 
Bài 3: (4 điểm)
a. Chứng minh phương trình (n+1)x2 + 2x - n(n+2)(n+3) = 0 luôn có nghiệm hữu tỉ với mọi số n nguyên.
b. Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 + 2009x + 1 = 0
 x3, x4 là nghiệm của phương trình x2 + 2010x + 1 = 0
Tính giá trị của biểu thức: (x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4)
Bài 4: ( 6 điểm)
	Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đoạn thẳng AO cắt đường tròn (O) tại M. Trên cung nhỏ MC của (O) lấy điểm D. AD cắt (O) tại điểm thứ hai E. I là trung điểm của DE. Đường thẳng qua D vuông góc với BO cắt BC tại H và cắt BE tại K.
a. Chứng minh bốn điểm B, O, I, C cùng thuộc một đường tròn.
b. Chứng minh Ð ICB = Ð IDK
c. Chứng minh H là trung điểm của DK.
Bài 5: ( 2 điểm)
	Cho A(n) = n2(n4 - 1). Chứng minh A(n) chia hết cho 60 với mọi số tự nhiên n.
III/ HƯỚNG DẪN CHẤM 
Bài 1: (3 điểm)
 Từ suy ra abc – 2007(ab+bc+ca)+ =0
Kết hợp với a + b + c = 2007, ta được
Vậy trong ba số a, b, c phải có một số bằng 2007
1
1
1
Bài 2: (5 điểm)
	Giải các phương trình:
a. 
. 
Đặt (y ³ 0) được: y2 - y - 2 = 0
1
Giải phương trình được: y1 = -1 (loại); y2 = 2.
0,5
Với y = 2 giải được x1 = 0; x2 = -5.
0,5
Thử lại (hoặc đối chiếu với điều kiện) kết luận nghiệm
0,5
Ghi chú: Có thể đặt y = x2 + 5x. Lúc này cần đặt điều kiện khi bình phương hai vế.
 b. 
0,5
1
 vô nghiệm; được x = 2. 
0,5
Thử lại (hoặc đối chiếu với điều kiện) kết luận nghiệm.
0,5
Bài 3: (4 điểm)
a.Chứng minh Phương trình (n+1)x2 + 2x - n(n+2)(n+3) = 0 luôn có nghiệm hữu tỉ với mọi số n nguyên.
n =-1: Phương trình có nghiệm. Với n ¹ -1 Þ n+1¹0.
D’= 1+ n(n+2)(n+3)(n+1) 
 = 1+ (n2 + 3n)(n2+3n+2) = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1 =(n2 + 3n + 1)2.
1
D’³ 0 nên phương trình luôn có nghiệm.
0,5
D’ chính phương, các hệ số là số nguyên nên các nghiệm của phương trình là số hữu tỉ.
0,5
b. Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 + 2009x + 1 = 0
 x3, x4 là nghiệm của phương trình x2 + 2010x + 1 = 0
Tính giá trị của biểu thức: (x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4)
Giải: 
Chứng tỏ hai phương trình có nghiệm.
Có: x1x2 = 1	x3x4 = 1	x1+x2 = -2009	x3 + x4 = -2010
0,5
Biến đổi kết hợp thay: x1x2 = 1;	x3x4 = 1
(x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4) = (x1x2 + x2x3 - x1x4 -x3x4 )(x1x2+x1x3-x2x4-x3x4)
	= (x2x3 - x1x4 )(x1x3-x2x4 )
	= x1x2x32 - x3x4x22 - x3x4x12+x1x2x42
	= x32 - x22 - x12 + x42
	= (x3 + x4 )2 - 2x3x4 -( x2+ x1)2 + 2x1x2 
 = (x3 + x4 )2 -( x2+ x1)2
1
Thay x1+x2 = -2009; x3 + x4 = -2010 được : 20102 - 20092 =2010+2009 =4019
0,5
Ghi chú: Có thể nhân theo nhóm [(x1+x3)(x2 + x3)].[(x1-x4)(x2-x4)]
Bài 4: ( 6 điểm)
O
A
B
C
I
D
E
K
H
M
OB ^ BA; OC ^ CA ( AB, AC là các tiếp tuyến)
OI ^ IA (I là trung điểm của dây DE) .
Þ B, O, I, C cùng thuộc đường tròn đường kính AO.
1,5
ÐICB = ÐIAB ( Cùng chắn cung IB đường tròn đường kính AO) 	(1)
DK // AB (Cùng vuông góc với BO)
Þ Ð IDK = ÐIAB	(2)
Từ (1) và (2) được: Ð ICB = Ð IDK
2
Ð ICB = Ð IDK hay Ð ICH = Ð IDH Þ Tứ giác DCIH nội tiếp.
Þ ÐHID = Ð HCD
Ð HCD = Ð BED (Cùng chắn cung DB của (O))
Þ ÐHID = Ð BED Þ IH // EB 
Þ IH là đường trung bình của DEK Þ H là trung điểm của DK
2,5
Bài 5: ( 2 điểm)
Chứng minh A(n) = n2(n4 - 1). chia hết cho 60 với mọi số tự nhiên n.
- A(n) = n.n(n2 - 1)( n2 + 1) = n.n(n - 1)(n+1)( n2 + 1). Do n(n - 1)(n+1) chia hết cho 3 nên A(n) chia hết cho 3 với mọi n.
0,5
- A(n) = n2(n4 - 1) = n(n5 - n). Do n5 - n chia hết cho 5 theo phecma nên A(n) chia hết cho 5 với mọi n.
0,5
- Nếu n chẵn Þ n2 chia hết cho 4 Þ A(n) chia hết cho 4. Nếu n lẻ 
Þ (n-1)(n+1) là tích hai số chẵn nên nó chia hết cho 4. Þ A(n) chia hết cho 4 với mọi n.
0,5
- Ba số 3,4,5 đôi một nguyên tố cùng nhau nên A(n) chia hết cho 3.4.5 hay A(n) chia hết cho 60.
0,5
* Ghi chú : Học sinh giải theo cách khác nếu đúng vẫn đạt điểm tối đa
 GV RA ĐỀ
 TRẦN THANH DŨNG