Đề thi chọn HSG môn Toán lớp 12 năm học 2010-2011 tỉnh Hải Dương

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH 
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2010 – 2011 
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút
Ngày thi: 31 tháng 10 năm 2010
(Đề thi gồm 01 trang)
Câu I:(2,0 điểm)
 	Cho hàm số có đồ thị .
1) Tìm m để hàm số có cực trị, khi đó tìm tập hợp các điểm cực đại của đồ thị .
2) Tìm m để đồ thị cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt mà tiếp tuyến của tại 2 điểm đó vuông góc với nhau.
Câu II: (2,0 điểm)
1) Tìm m sao cho hệ phương trình sau có nghiệm
2) Giải phương trình: 
Câu III: (2,0 điểm)
1) Cho các số thực x thoả mãn . Chứng minh rằng 
2) Tìm hệ số của x7 trong khai triển thành đa thức của , 
biết 
Câu IV: (3,0 điểm)
1) Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC), góc giữa mặt phẳng (SAC) và (SBC) là 600, , . 
a) Chứng minh rằng BC vuông góc với mặt phẳng (SAB).
b) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.	
2) Cho 3 tia Ox, Oy, Oz không cùng nằm trên một mặt phẳng và. 
A, B, C là các điểm tương ứng trên Ox, Oy, Oz .
a) Tính thể tích của khối chóp O.ABC theo a biết OA =a; OB =2a; OC = 3a.
b) Nếu A, B, C thay đổi nhưng thể tích của khối chóp O.ABC luôn bằng , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích xung quanh hình chóp O.ABC.
Câu V(1,0 điểm):
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Các điểm M, N, P, Q thay đổi tương ứng trên các cạnh AB, AD, CD, CB. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng .
Hết.
	Họ và tên thí sinh:..............Số báo danh:.............
	Chữ ký của giám thị 1:.Chữ ký của giám thị 2:...
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
Câu
Nội dung
điểm
I1: (1,0)
1) Tìm các số thực m để hàm số có cực trị, khi đó tìm tập hợp các điểm cực đại của đồ thị .
TXĐ: 
; y' là tam thức bậc 2 có 
nếu nên hàm số không có cực trị
0,25
 y' có 2 nghiệm phân biệt nên hàm có có cực đại, cực tiểu .
0,25
gọi x1, x2 là các nghiệm của ý=> 
bảng biến thiên
m<1 đồ thị hàm số có cực đại là M
0,25
thay m vào (2) ta được
do m x1<1 nên tập hợp các điểm cực đại của đồ thị là phần đồ thị hàm số với .
0,25
II2:(1,0)
2) Tìm các số thực m để đồ thị cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt mà tiếp tuyến của tại 2 điểm đó vuông góc với nhau.
Hoành độ giao điểm của đồ thị và đồ thị (C): là nghiệm của phương trình
0,25
cắt (C) tại 2 điểm phân biệt đk cần và đủ là (1) có 2 nghiệm phân biệt 
0,25
với m< thì cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A(x1,y1), B(x2;y2) vói x1, x2 là nghiệm của (1) ; hệ số góc của tiếp tuyến tại A của là 
hệ số góc của tiếp tuyến tại B của là y'(x2)=3(1-3x2)
để tiếp tuyến của tại A và B vuông góc với nhau
0,25
kết hợp với m< ta được .
0,25
I1:(1,0)
1) Tìm các số thực m sao cho hệ phương trình sau có nghiệm
 (I) 
điều kiện: 
giả sử nên từ (1) và (2) tương tự từ 2) và (3)→z≤x
0,25
nếu x≥y tương tự ta có x=y=z
vậy hệ (I)
0,25
hệ (I) có nghiệm khi và chỉ khi (4) có nghiệm 
0,25
đặt 
; bảng biến thiên
tù bảng biến thiên →Hệ (I) có nghiệm khi và chỉ khi 
0,25
II2:(1,0)
2) Giải phương trình: (1)
0,25
0,25
giải (3) được nghiệm 
0,25
giải (2)
(2) có nghiệm => |x|≤1; xét f(x)=sinx-x trên [-1;1]
f'(x)=cosx-1≤0=> f(x) ngịch biến trên [-1;1] có f(0)=0 nên (2) có nghiệm duy nhất x=0; hợp nghiệm ta có (1) có nghiệm 
0,25
III1:(1,0)
1) Cho các số thực x thoả mãn . Chứng minh rằng (1)
Trường hợp 1: 0<x< (1)
0,25
xét f(x)=tanx-x trên [0;); =>f(x) đồng biến trên [0;) ta có f(x)>f(0) tanx-x>0
0,25
Trường hợp 2: - 0<t < thay vào (1) ta có
 ;
0,25
theo trường hợp 1 ta có (2) đúng với 0<t < 
0,25
III2:(1,0)
2) Tìm hệ số của x7 trong khai triển thành đa thức của , 
biết (*)
Xét 
đạo hàm 2 vế của (1) ta có
0,25
Chọn x=1 thay vào (2) ta có
0,25
(*)
Nếu n>10 ta thấy vế trái (3)>vế phải (3) nên n>10 loại
tương tự 0<n<10 loại; n=10 thỏa mãn
0,25
với n=10 
Hệ số của xk trong khai triển thành đa thức của P(x) là 
Hệ số của x7 trong khai triển thành đa thức của P(x) là
0,25
IV1:(1,5)
1) Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC), góc giữa mặt phẳng (SAC) và (SBC) là 600, , . 
a) Chứng minh rằng BC vuông góc với mặt phẳng (SAB).
b) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.	
IV1a:(0,5)
a) Chứng minh rằng BC vuông góc với mặt phẳng (SAB).
Hạ AHSB do (SAB)(SBC) nên AH(SBC)
0,25
=>AHBC mà SABC nên BC(SAB)
0,25
IV1b:(1,0)
b) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
do BC(SAB)=>BCSB nên tam giac SBC vuông cân tại B nên BC=SB=
Hạ AKSC do AH(SBC) nên AHSC =>SC(AHK)=>góc giữa (SAC) và (SBC)=
0,25
Đặt = AH=SHtan, HK= trong tam giác vuông AHK có 
0,25
; diện tích tam giác SAB là ; 
0,25
Thể tích SABC là 
0,25
IV2:(1,5)
2) Cho 3 tia Ox, Oy, Oz không cùng nằm trên một mặt phẳng và
 . A, B, C là các điểm tương ứng rên Ox, Oy, Oz .
a) Tính thể tích của khối chóp O.ABC theo a biết OA =a; OB =2a; OC = 3a.
b) Nếu A, B, C thay đổi nhưng thể tích của khối chóp O.ABC luôn bằng , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích xung quanh hình chóp O.ABC.
IV2a:(0,75)
Trên Oy, Oz lấy lần lượt các điểm B', C' sao cho OB'=OC'=a. 
=>SAB'C' là tứ diện đều cạnh a. Hạ OH vuông góc (AB'C') => H là tâm của tam giác AB'C' 
Trong tam giác vuông OHC' có 
0,25
diện tích tam giác AB'C' là 
0,25
0,25
IV2b:(0,75)
b) Nếu A, B, C thay đổi nhưng thể tích của khối chóp O.ABC luôn bằng , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích xung quanh hình chóp O.ABC.
đặt a=OA, b=OB, c=OC; Dựng hình chóp OAB'C' như phần a) ta có ; nên
0,25
S xung quanh của hình chóp O.ABC là 
0,25
Theo bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân ta có
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
vậy giá trị nhỏ nhất của diện tích xung quanh hình chóp O.ABC là 
0,25
V:(1,0)
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Các điểm M, N, P, Q thay đổi tương ứng trên cạnh AB, AD, CD, CB. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng K=.
khai triển hình tứ diện trên mặt phẳng ta được hình bình hành ABB'A'
0,25
do MA=M'A', MA//A'M' nên AMM'A' là hình bình hành =>MM'=AA'=2a. 
0,25
Tổng 
0,25
dấu "=" xảy ra Q,P,N lần lượt là giao điểm của MM' với BC, CD, DA' 
( khi đó MNPQ là hình bình hành.)
vậy giá trị nhỏ nhât của là 2a.