Đề thi chọn HSG môn Toán lớp 12 năm học 2008-2009 - THPT Tam Giang

 TRƯỜNG THPT TAM GIANG
 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 12 NĂM HỌC 2008-2009
THỜI GIAN:150 phút
Bài 1: (3,5điểm)
 a/ Giải phương trình: 
	b/ Chứng minh: log89 + log810 + log811 < 2log23.
Bài 2: (3,5điểm)
 a/ Với A, B, C là ba góc của một tam giác, chứng minh rằng phương trình:
	có 4 nghiệm phân biệt.
	b/ Giải phương trình: 
 Bài 3: (3,0điểm)
 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường cong (H): với x >1.
 a/ M là điểm tùy ý trên (H), tiếp tuyến của (H) tại M cắt hai đường tiệm cận của (H) tại hai điểm A và B. Xác định điểm M để diện tích tam giác OAB nhỏ nhất.
 b/ Với I(1;1) và K là hình chiếu vuông góc của M xuống đường thẳng y = x. Tìm điểm cố định C sao cho : IK – CM luôn là số dương không đổi khi M thay đổi trên (H).
 .............................................................. Hết................................................................
TRƯỜNG THPT TAM GIANG
 ĐÁP ÁN CHẤM TOÁN 12 ĐỀ HỌC SINH GIỎI 
 Bài 1: (3,5điểm)
Câu a: Giải phương trình: (1). 
 nên điều kiện là: x ³ -1.
x2 + 2x + 2 = (x +1) + (x2 + x + 1), đặt , 
Với điều kiện x ³ -1: (1) trở thành: 
3(a2 + b2) = 10ab Û 3a2 – 10ab + 3b2 = 0 Û (a – 3b)(3a – b) = 0 Û a = 3b hay a = b/3.
a = 3b Û =3 Û x + 1 = 9(x2 + x + 1) Û 9x2 + 8x + 8 = 0 (vô nghiệm)
a = b/3 Û 3a = b Û3 =Û9(x + 1) = x2 + x + 1 Û x2 - 8x - 8 = 0 
Vậy phương trình có hai nghiệm:.
Cách khác: Bình phương và phân tích thành tích.....
Câu b: Chứng minh: log89 + log810 + log811 < 2log23.
Trước hết chứng minh: logn(n+1) > logn+1(n+2) , "n>1 (1).
Vì: , áp dụng bất đẳng thức Cói cho hai số dương ta có:
 suy ra (1) thỏa.
Từ công thức (1) ta có: log89 + log810 + log811 < 3log89 = 2log23.
Cách khác: Có thể giải (1) bằng cách xét hàm y = logx(x+1) = với x>1 và suy ra y’>0...
Bài 2:(3,5điểm)
Câu a:
Vì A,B,C Î(0; p) nên: . Do đó: 
(1) 
y
x
O
2
y = m
Nên số nghiệm của (1) chính là số giao điểm của hai đường: y = f(x) = |x2-2x| (C) và (d): y = m.
Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
Dựa vào đồ thị ta được: (2) có 4 nghiệm khi chỉ khi 0< m <1
Chứng minh (3): A,B,C Î(0; p) nên: . 
 A,B Î(0; p) nên: 
Từ (5): 
Từ (4) và (6) suy ra: (3) đúng. Vậy phương trình (1) có đúng 4 nghiệm.
 Chú ý thêm: 
Câu b: 
Phương trình đã cho tương đương với: 
Xét x = 0; x = ± 1: Thay vào (1) ta thấy đều thỏa nên phương trình có các nghiệm: x = 0; x = ± 1.
Xét x ¹ 0; x ¹ ± 1: Khi đó (1) Û 
 Với t ¹ 0, xét hàm số: . 
 * Với t > 0 thì 3t – 1 > 0 Þf(t) > 0 và với t 0, do đó:
 Vì (2) Û f(x) + f(x2 – 1) = 0 nên (2) vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có tất cả là 3 nghiệm: x = 0; x = ± 1.
 Bài 3: (3.0 đ)
a/ ( 2 điểm)
M(x0;y0) Î (H), tiếp tuyến tại M của (H) có phương trình: (d): .
d cắt hai đường tiệm cận đứng x = 1 và ngang y = 1 tại các điểm A(1;), B(2xo – 1;1).
Vì x0 > 1 nên yA = >1, xB = 2x0 – 1 > 1. Do đó I ở miền trong tam giác OAB nên:
SOAB = SOIB + SOIA + SIAB = IA + IB + IA.IB = 2(x0 – 1) + . + .2(xo – 1).
Do đó áp dụng bất đẳng thức Cosi cho ta hai số dương xo – 1, ta có:
x
y
O
I
K
SOAB = xo – 1 + + 1 ³ 1 + 2.
Đẳng thức xảy ra khi:
xo – 1 = .
Vậy SOAB nhỏ nhất khi M(, ).
Cách khác: Tính diện tích DOAB theo cách sau:
 1/ .
 Tính: .
2/ Tính SOAB = AB.h với h = d(O;AB).
b/ ( 1.0 điểm)
Do phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách, nên để đơn giản phép tính ta dời hệ trục Oxy sang hệ trục IXY bằng phép tịnh tiến vectơ .
Công thức dời trục: , (H) trở thành : với X>0.
Do đó: .
Đặt C(a;b) và hằng số muốn tìm là c . 0, khi đó: IK = ; và: 
Do (2) đúng với mọi X > 0 nên: 
c = 1 thỏa vì X > 0 và 2X2 – 2X + 1 > 0.
Vậy điểm C có tọa độ (1;1) trong hệ trục IXY, hay C(2;2) trong hệ trục Oxy và với mọi điểm M trên (H) ta có: IK – CM = 1.
......................................................................................................................................