Đề thi chọn HSG cấp trường THPT Phong Châu môn Toán lớp 11 năm học 2008-2009

ĐỀ THI häc sinh giái CÊp tr­êng
khèi 11- NĂM HỌC 2008 - 2009.
(Thời gian 180 phót không kể thời gian phát đề)
Câu 1: (2 ®iÓm)
 1. Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 
 2. TÝnh tæng sau : 
C©u 2: (2 ®iÓm)
Gi¶i ph­¬ng tr×nh: cosx + cos 2x + cos3x + cos 4x + cos5x = 
Cho cã gãc A vµ C nhän tháa m·n: 
Chøng minh r»ng vu«ng t¹i B.	
C©u 3: ( 2 ®iÓm)
 Cho d·y ®­îc x¸c ®Þnh bëi: 
 ta thµnh lËp d·y víi: 
Chøng minh r»ng d·y kh«ng bÞ chÆn trªn.
TÝnh lim
Câu 4: (3 điÓm) 
Cho hình lăng trụ ABCD. A’C’B’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, . Gọi M là trung điểm cạnh AA’ và N là trung điểm cạnh CC’. 
Chứng minh rằng 4 điểm B’, M, D, N cùng thuộc mét mặt phẳng. 
Hãy xác định độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN là hình vuông.
C©u 5: ( 1 ®iÓm)
Cho ®­êng trßn (O;R) ®­êng kÝnh AB cè ®Þnh. MN lµ ®­êng kÝnh chuyÓn ®éng. TiÕp tuyÕn t¹i B c¾t AM, AN lÇn l­ît t¹i P, Q. 
T×m tËp hîp trùc t©m vµ
***********Gi¸m thÞ coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm***********
§¸p ¸n m«n to¸n khèi 11
C©u
ý
Néi dung
§iÓmm
1
2,00
1
(1 ®iÓm)
§K:
§Æt t = (t > 0) 
0,25
pt 
0,25
Víi t= 3 t×m ®­îc x = 0 vµ x = 3
0,25
KÕt hîp ®iÒu kiÖn ta ®­îc nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ : x= 0 vµ x= 3
0,25
2
(1 ®iÓm)
Nh©n 2 vÕ cña ®¼ng thøc víi 2010!
0,25
2010!S = 
0,25
Ta cã : 
 0 =
0,25
Céng 2 vÕ c¸c ®¼ng thøc trªn ta ®­îc : S = 
0,25
2
2,00
1
( 1 ®iÓm)
*KiÓm tra x = ( ) kh«ng lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh
0,25
*NÕu x (). Nh©n c¶ hai vÕ cña pt víi 2:
0,25
 ()
0,25
KÕt hîp §K ta ®­îc nghiÖm cña pt lµ:víi( vµ )
0,25
2
(1 ®iÓm)
*NÕu . BiÕn ®æi VT = 1+ cosB.cos(A-C) 
0,25
V× A, C nhän nªn cos(A- C) > 0
 : V« lÝ
0,25
* NÕu : cos B = 
V× 0 < sinB < 1 nªn : V« lÝ
0,25
* NÕu B = ta cã: 
VËy vu«ng t¹i B
0,25
 3
2,00
1
(1 ®iÓm)
Chøng minh ®­îc lµ d·y t¨ng: 2 = 
0,25
Gi¶ sö d·y bÞ chÆn trªn, khi ®ã tån t¹i sè L ( L > 2) : lim u= L
0,25
0,25
V« lÝ v× L > 2 kh«ng bÞ chÆn trªn
0,25
2
(1 ®iÓm)
Tõ phÇn 1 ta cã lim 
0,25
BiÕn ®æi ®­a vÒ ®­îc : 
0,25
Cho n lÇn l­ît c¸c gi¸ trÞ 1,2,3,...,n råi céng c¸c ®¼ng thøc ®ã víi nhau ta ®­îc: 
0,25
VËy = lim=2009
0,25
4
3,00
1
(1 ®iÓm)
Ta có A’M //= NC Þ A’MCN là hình bình hành
0,25
Þ A’C & MN cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
0,25
 A’B’CD là hình bình hành ÞA’C & B’D cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
0,25
Þ B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng
0,25
2
( 2 ®iÓm)
Theo phÇn 1, B’MDN là hình bình hành
0,25
Ta có AC ⊥ BD Þ MN ⊥ BD. Để tứ giác B’MDN là hình vuông Û
0,5
Khi đó MN ⊥ (BDD’B’) Þ A’C’ ⊥ (BDD’B’) = (a)- cè ®Þnh
0,25
Vậy cứ mỗi DBDB’ được xác định trên mf (a) cố định thì ta có một độ dài BB’ = AA’ 
0,25
Þ 
0,25
Chó ý: H×nh vÏ ®óng ®­îc 0,5 ®iÓm
5
1,00
(1 ®iÓm)
Gäi H lµ trùc t©m cña , K lµ trùc t©m 
Chøng minh ®­îc ABMH lµ h×nh b×nh hµnh 
0,25
H lµ ¶nh cña M theo phÐp tÞnh tiÕn .
TËp hîp c¸c ®iÓm H lµ (E ; R ) víi vµ bá ®i 2 ®iÓm A, B1
 ( víi )
0,25
T­¬ng tù ta cã tËp hîp c¸c ®iÓm K lµ: ( E ; R ) bá ®i 2 ®iÓm A, B1
0,25
Chó ý: H×nh vÏ ®óng ®­îc 0,25 ®iÓm
Chó ý: NÕu thÝ sinh lµ theo c¸ch kh¸c ®óng th× bµi ®ã vÉn ®­îc ®iÓm tèi ®a.
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG KHỐI 11. NĂM HỌC 2006 – 2007.
(Thời gian 90’ không kể thời gian phát đề)
Người ra đề: Nguyễn Xuân Đàn.
Câu 1 : (3 đ).
Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: .
Đặt . Khi đó Pt 
t
y
y ≥ -5
y = -5
-8 ≤ y ≤ -5
y = -8
y = -9
y ≤ -9
O
-8
-9
Pt (1) là Pt hoành độ giao điểm của (P): y = t2 – 2t – 8 và d: y = m. trên hệ trục toạ độ Oty. Dựa vào đồ thi ta có:
m > - 5 ∨ m < - 9 thì không
có nghiệm t nên không có nghiệm x.
m = - 5 có 1 nghiệm x.
- 8 < m < - 5 ∨ m = - 9 có 1 
nghiệm t nên có 2 nghiệm x.
 - 9 < m ≤ - 8 có 2 nghiệm t nên 
có 4 nghiệm x.
Giải hệ phương trình: 
Cách 1 : 
Cách 2 : Từ hệ ta có x; y > 0. Þ Giả sử 0 < x £ y Þ
Câu 2 : (3 đ). 
Chứng minh 4 điểm B’, M, D, N cùng thuộc 1 mặt phẳng. 
Ta có A’M //= NC Þ A’MCN là hình bình hành Þ A’C & MN cắt nhau tại trung 
điểm mỗi đường.
 Mặt khác A’B’CD là hình bình hành Þ A’C & B’D cắt nhau tại trung điểm mỗi đường Þ B’, M, D, N cùng thuộcmột mặt phẳng, và B’MDN là hình bình hành
Tính độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN là hình vuông.
 Ta có AC ⊥ BD Þ MN ⊥ BD. Để tứ giác B’MDN là hình vuông Û 
MN ⊥ B’D & MN = B’D = . 
Khi đó MN ⊥ (BDD’B’) Þ AC’ ⊥ (BDD’B’) = (a) . Vậy cứ mỗi DBDB’ được xác định trên mf (a) cố định thì ta có một độ dài BB’ = AA’ 
Þ .
D’
A’
B’
C’
C
D
A
B
M
N
I
Câu 3: (2đ)
Giải bất phương trình : D = R*
Nếu x + 1 > 0 Û x > -1 Þ Bpt Û 2 x2 – 3x + 1 < 0 Û 1/ 2 < x < 1. Thoả mãn 
Nếu x + 1 < 0 Û x < -1 Þ Bpt Û 2 x2 – x + 3 < 0 Û Bpt vô nghiệm.
Vậy Bpt có tập nghiệm là : (1/ 2; 1).
Ta có : x2 + 2x + 3 = (x + 1)2 + 2 ³ 2, "x và y2 + 8 > 0, "y. Þ
Þ y2 + 8 £ 7 – y2 – y Þ 2y2 – 3y + 1 £ 0 Þ 1/2 £ y £ 1. Vì y Î Z Þ y = 1.
Với y = 1 Þ BPt Û 
Kiểm tra lại đúng Þ Nghiệm nguyên của hệ là: x = - 1, y = 1.
Câu 4 : (2 đ).
Giải phương trình : cosx + cos2x + cos4x + cos5x = - 1/2.
Nếu x = k2p Þ pt Û 5 = - 1/2 Vậy x = k2p không là nghiệm của pt.
Nếu x ¹ k2p nhân hai vế của pt với 2sinx/2 ta có pt Û 
Vì x ¹ k2p Þ nghiệm của pt là: x = Với k 11.
Ta có: 
sina.sinb.sing = 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi DABC là tam giác đều.