Đề thi chọn HSG cấp huyện vòng I môn Toán lớp 8 năm học 2010-2011 - Huyện Hoài Nhơn

UBND HUYỆN HOÀI NHƠN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO	
 (Đề chính thức)
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học 2010 – 2011
Môn: TOÁN 8
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)
Bài 1 (4 điểm): 
a) Tìm số tự nhiên có chín chữ số: A = , trong đó , và đồng thời A viết được dưới dạng A = với p1, p2, p3, p4 là bốn số nguyên tố.
b) Cho ba số a, b, c thỏa mãn a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 2010. 
 Tính giá trị của biểu thức A = a4 + b4 + c4
Bài 2 (4 điểm): 
a) Tìm các số a và b sao cho chia cho thì dư 7, chia cho thì dư . 
b) Cho x + y = 2. Chứng minh rằng: x2011 + y2011 x2012 + y2012.
Bài 3 (4 điểm): 
a) Giải phương trình: = 1
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 - 4xy + 5y2 - 16 = 0
Bài 4 (5 điểm): Từ ba đỉnh A,B,C của tam giác ABC ta vẽ ba đường thẳng song song với nhau , chúng lần lượt cắt cạnh BC và các đường thẳng CA,AB tại D, E, F . Chứng minh rằng :	a) 	b) 
Bài 5 (3 điểm): Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 4cm. M, N là các điểm lần lượt chuyển động trên hai cạnh BC và AC sao cho BM = CN.
a) Tính diện tích của tam giác ABC.
b) Xác định vị trí của M, N để độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất. Tìm độ dài nhỏ nhất đó.
HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 8
Bài
Đáp án
Điểm
1
a
Ta có: A = 
=>phải là bình phương của một số nguyên tố p khác 7, 11, 13.
 Do < 1000 và , nên suy ra: 100 < < 500 
 => 10 p => (thỏa bài toán). Vậy: 
2 điểm
b
Ta có: 
 => a2b2 + b2c2 + c2a2 = (ab + bc + ca)2 – 2abc(a + b + c) 
 = (-1005)2 – 2abc.0 = 10052
 => A = a4 + b4 + c4 = (a2 + b2 + c2)2 – 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) 
 = 20102 – 10052 = 2.10052 = 2020050
2 điểm
2
a
Ta có: 	
Thay x = -1 và x = 3 vào đẳng thức trên ta được:
2 điểm
b
Cho x + y = 2.Chứng minh rằng x2011 + y2011 x2012 + y2012.
Xét ( x2012 + y2012) – (x2011 + y2011) = x2011(x – 1) + y2011 ( y – 1)
 = x2011(1 – y) + y2011 ( y – 1) 
 (do x – 1 = 1 – y)
Vậy ( x2012 + y2012) – (x2011 + y2011) = (1 – y) ( x2011 – y2011)	
+ Giả sử x y => x2011 y2011 và x 1 y 
 do đó (1 – y) ( x2011 – y2011) 0 (đpcm)	(0,5 điểm)
+ Tương tự nếu y x => y2011 x2011 và y 1x 
 do đó (1 – y) ( x2011 – y2011) 0 (đpcm)	(0,5 điểm)
 (dấu bằng xảy ra khi x = y = 1)
2 điểm
3
3
a
Ta có: (*) . ĐK: x – 5, x 3
+) Xét x > 3, ta có: (*) (loại)
+) Xét x < 3 và x – 5, ta có: (*) (nhận)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = – 7 
2 điểm
b
Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: x2 - 4xy + 5y2 - 16 = 0
 Ta có: x2 - 4xy + 5y2 - 16 = 0x2-4xy+4y2+y2 = 16 
	(x-2y)2+y2 = 16	
Vì x, yZ nên (x-2y)Z
 Tổng hai bình phương của hai số nguyên bằng 16 thì chỉ có 2 khả năng xảy ra
 a)	
 b) 	
 Vậy phương trình có 4 nghiệm nguyên: (4;0); (-4;0); (8;4); (-8;-4)
2 điểm
4
a
- Theo hệ quả của định lí Ta-lét có: 
- Cộng từng vế ta được : 
- Chia 2 vế cho AD ta được: 
2 điểm
b
- Từ , lập luận chứng minh được: 
 	; ; .	
- Suy ra được: 
 hay 
3 điểm
5
a
- Tính được độ dài đường cao:
 (cm)
- Suy ra được diện tích:
 (cm2)
1 điểm
b
- Gọi P và Q là chân đường vuông góc kẻ từ M và N xuống AB. 
Ta có tam giác ANQ vuông ở Q có = 600 Þ AQ = AN 
Tương tự đối với tam giác MPB ta có PB = BM 
Do đó : AQ + PB = (AN + NC ) = 
- Kẻ MH ^ QN. Tứ giác MPQH là hình chữ nhật 
Ta có MN ≥ MH = PQ = AB – (AQ + BP) = AB – 
Như vậy: Khi M, N di chuyển ta luôn có MN ≥ AB.
 và MN = AB khi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AC. 
Suy ra vị trí của M, N cần xác định lần lượt là trung điểm của BC và AC. Khi đó độ dài nhỏ nhất của MN là MN = AB = . 4 = 2 (cm) 
2 điểm