Đề thi chọn học sinh giỏi vòng trường năm học 2011 – 2012 môn: Toán

SỞ GD & ĐT ĐỒNG THÁP
TRƯỜNG THPT TRÀM CHIM
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TRƯỜNG
NĂM HỌC 2011 – 2012
MÔN: TOÁN
THỜI GIAN: 180 PHÚT (Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 08/09/2011
Câu 1: (3 điểm)
	Giải hệ phương trình 
Câu 2: (3 điểm)
	Cho đường tròn tâm O bán kính bằng 1. Kẻ hai đường kính vuông góc AB và CD. Một điểm M di động trên cung nhỏ BD, không trùng B hoặc D; MA cắt CD ở E, MC cắt AB ở F. Chứng minh rằng OM đi qua trung điểm của EF khi và chỉ khi EF có độ dài ngắn nhất và tính giá trị ngắn nhất đó.
Câu 3: (3 điểm)
	Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của hệ phương trình 
Câu 4: (3 điểm)
	Cho dãy số xác định bởi 
	Tìm công thức tổng quát 
Câu 5: (2 điểm)
	Cho đa thức được khai triển dưới dạng
	Biết tổng 
	Tìm số hạng không chứa trong khai triển của lũy thừa .
Câu 6: (3 điểm)
	Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Câu 7: (3 điểm)
Trong mặt phẳng Oxy . Cho điểm A(2;1). Lấy điểm B thuộc Ox có hoành độ không âm và điểm C thuộc Oy có hoành độ không âm sao cho tam giác ABC vuông tại A. Tìm tọa độ BC sao cho tam giác ABC lớn nhất. HẾT.
ĐÁP ÁN
CÂU
NỘI DUNG
ĐIỂM
1 
(3 điểm)
Giải hệ phương trình 
ĐK: y ≠ 0 và .Từ (1) ta có: 
0.5
Đặt : , ta được: 
0.25
+ (I) thế vào (2), ta được:
thế vào (I):
0.5
0.5
+ (II) thế vào (2), ta được:
 thế vào (II):
0.5
0.5
Vậy hệ đã cho có nghiệm: 
0.25
2
(3 điểm)
Chứng minh rằng OM đi qua trung điểm của EF khi và chỉ khi EF có độ dài ngắn nhất và tính giá trị ngắn nhất đó
Đặt . Thì . Ta có:
Do đó: 
0.5
0.5
Vậy 
0.5
 b) Gọi I là giao điểm của OM và EF, I là trung điểm EF khi và chỉ khi I là tâm vòng tròn ngoai tiếp tam giác vuông OEF, tức là:
IE = IO = IF
 Ta lại có: mà và hay tam giác EFD cân tại E nên ED = EF.
Tương tự: .
Vậy I là trung điểm EF khi và chỉ khi EF = BF = ED, tức là
x = y
0.5
0.5
Đảo lại, x = y Þ AE = CF Þ EF // BD // AC Þ I Î OM.
Từ đó: OM đi qua trung điểm của đoạn EF Û x = y. Từ đó ta có được điều cần chứng minh.
0.5
3
(3 điểm)
Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của hệ phương trình 
Từ (2) ta có: và từ (1) ta suy ra: ( do z nguyên dương) dẫn đến:
Từ (*) nghiệm y tồn tại khi: 
Vì x nguyên dương nên x = 1 hoặc x = 2
0.5
0.5
+ Nếu x = 1 thay vào (*): Þ y = 2 (vì y > 0 ) Þ z = 3
0.5
+ Nếu x = 2 thay vào (*): Þ y = 1 hoặc y = 2
 Với y = 1 thì z = 3; với y = 2 thì z = 4
0.5
0.25
Tóm lại hệ có 3 nghiệm là (1;2;3), (2;1;3), (2; 2; 4) 
0.25
4
(3 điểm)
Cho dãy số xác định bởi . Tìm công thức tổng quát 
Từ (1) ta có: 
Nhân vế theo vế các đẳng thức trên ta được:
0.25
1.5
1.0
0.25
5
(2 điểm)
Tìm số hạng không chứa trong khai triển của lũy thừa .
Ta có : 
Các hệ số trong khai triển đa thức là: 
Vậy: 
0.25
0.5
Ta có: 
Với và 
Số hạng không chứa x có được khi: k – 2m = 0 tức là k = 2m
Đó là số hạng 
Do nên 
Vậy số hạng cần tìm là: 
0.5
0.25
0.5
6
(3 điểm)
Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Ta có: 
0.5
Vậy:
0.5
 0.5
Đặt , xét . Ta có 
Có 
Do đó hàm số đồng biến trên 
Vậy 
0.5
0.25
0.25
7
(3 điểm)
Trong mặt phẳng Oxy . Cho điểm A(2;1). Lấy điểm B thuộc Ox có hoành độ không âm và điểm C thuộc Oy có hoành độ không âm sao cho tam giác ABC vuông tại A. Tìm tọa độ BC sao cho tam giác ABC lớn nhất.
Gọi 2 đỉnh tam giác B, C lần lượt có tọa độ là B(b;0), C(0 ; c). với b,c 0.
 Ta có : 
0.25
0.5
Do tam giác ABC vuông tại A nên 
0.75
Ta có: =(b-2)2 +1. 
Do (*) nên lớn nhất khi b = 0.
 Vậy B(0;0); C(0;5).
0.5
0.5
0.5