Đề thi chọn học sinh giỏi trường môn Toán lớp 10

Së GD - §T hµ tÜnh
Tr­êng THPT cÈm xuyªn
Tæ: to¸n – tin
*****
®Ò chÝnh thøc
®Ò thi chän häc sinh giái tr­êng
n¨m häc 2009 – 2010
 M«n to¸n líp 10
*******************
 (Thêi gian lµm bµi: 150 phót)
Phần chung cho mọi học sinh
Câu I. 
 1. Giải phương trình:
 a) .
 b) .
Câu II. Cho hàm số: y= f(x)= x2 + 2x- 3.
Khảo sát vẽ đồ thị hàm số?
Biện luận theo m số nghiệm phương trình trên .
 Cos2x - 2 sin(-x)+ m= 0.
Chứng minh đồ thị luôn cắt đường thẳng d có phương trình: y= mx+ 2 tại A, B phân biệt. Tìm Quỹ tích trung điểm M của AB.
Câu III.
Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh BC, AC, AB lần lượt là a, b, c; Số đo các góc BAC, BCA,ABC lần lượt la A, B, C. Biết: .
Tính số đo góc C.
 Tam giác ABC là tam giác gì nếu cho thêm tam giác ABC thỏa mãn: .
 Câu IV. 
Cho ngũ giác ABCDE . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh: AB, BC, CD, DE ; I, J lần lượt là trung điểm của: MP, NQ. Chứng minh rằng: IJ//AE.
Bài 6. Cho ; Tìm Max 
Bài 3. Cho ; Tìm Max A = (5 – x )(12 – 4y)(3x + 2y).
Phần riêng: 2. Giải hệ phương trình: . 
Câu Va (Dành cho học sinh các lớp ban co ban)
Câu Vb (Dành cho học sinh các lớp Ban Nâng cao).
Cho phương trình: 2x4 - 2x3 - mx2 + 2mx - m2 = 0.
Giải phương trình khi m= 1.
Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm.
(Đề thi gồm 1 trang)
Hướng dẫn chấm
đề kiểm tra chất lượng nửa đầu học kỳ I môn toán 10
Năm học 2009 - 2010
Câu I. (2 điểm) 
a)
1,5đ
Làm mỗi ý được 0,5 điểm trong đó:
+ Xác định đúng các tập hợp được 0,25 điểm
+ Biểu diễn chính xác trên trục số được 0,25 điểm 
(Nếu trục số không có mũi tên không cho điểm phần biểu diễn)
 [4;6]; A\C = [5; 8); = (-4; 6]
b) 0,5đ
Phần bù của A trong R là (- ;4) [8; +) 0,5 điểm
Câu II.(2 điểm) 
a)
1đ
Hàm số đã cho xác định khi 
 (Mỗi ý đúng cho 0,25đ)
Kết luân: Tập xác định của hàm số đã cho là D = [- 2; 2]
(Nếu thiếu dấu “=” hoặc xuất hiện hoặc xuất hiện cho 0,5 điểm)
0,25đ
0,5đ
0,25đ
b)
1đ
+ x D => -x D ( Với D là tập xác định của hàm số)
+ f(-x) = 
 f(-x) = -f(x) 
+ Kết luận : Hàm số đã cho là hàm số lẻ.
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Câu III.(2 điểm) 
a)
0,75đ
+ Lấy đúng tọa độ 2 điểm 
+ Vẽ đúng đồ thị ( thiếu một trong các ký hiệu trục trừ 0,25đ)
0,25đ
0,5đ
b)
1,25đ
+ Tọa độ giao điểm của d và d’ là nghiệm của hệ phương trình: 
+ Tìm tọa độ giao điểm của d và d’ đúng I(3; 2)
+ Để (dm), d, d’ đồng quy tại một điểm thì I (dm)
+ Tìm ra m = 
0,25đ
0,5đ
0,25
0,25đ
Câu IV. ( 2 điểm) 
a)
1đ
Ta có :
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
b)
1đ
+ Trước hết ta xác định điểm I cố định trong (P) thỏa mãn đẳng thức sau:
Gọi ( C ) là tập hợp điểm cần tìm và M là điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng ( P ) ta có:
 M 
Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn (C)tâm I, bán kính R = trong mặt phẳng (P) với điểm I xác định bởi 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Câu IVa. ( 2 điểm) 
1)
1đ
Gọi x1, x2 là 2 điểm bất kỳ thỏa mãn x1 3; x2 > 3.
f(x1) – f(x2) = 
 = (x1 - x2 )(x1 + x2 – 4 )
Vì x1 > x2; x1 > 3; x2 > 3 => x1 – x2 0 => f(x1) – f(x2) < 0 
Kết luận: Hàm số đã cho đồng biến trên (
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
b)
1đ
Cho 4 điểm A,B,C,D chứng minh rằng: 
+ Ta có 
 = 
 = 
Vậy 
0,5đ
0,5đ
Câu IVb. (2 điểm) 
1)
1đ
Xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x) = trên khoảng .
 Gọi x1, x2 là 2 điểm bất kỳ thỏa mãn x1 3; x2 > 3.
 f(x1) – f(x2) = 
 = (x1 - x2 ) + 
 = (x1 - x2 )[1+]
Vì x1 > x2; x1 > 3; x2 > 3 => x1 – x2 f(x1) – f(x2) < 0 
Kết luận: Hàm số đã cho đồng biến trên (
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
b)
1đ
+ Trước hết ta biểu diễn theo :
 Ta có 
 (1)
 + Vậy 
 => E, A, D thẳng hàng
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Chú ý: Các cách làm khác chặt chẽ, đúng cho điểm tương tự.