Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH
TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 11
NĂM HỌC 2008 – 2009
Thời gian: 180 phút (không kể giao phát đề)
Bài 1(2,0 điểm). Giải phương trình:
Bài 2(2,0 điểm). Chứng minh rằng với mọi số thực x, y, z khác 0, ta có:
Bài 3(2,0 điểm). Cho dãy số (un) xác định bởi: 
Tìm công thức tính un theo n.
Bài 4(2,0 điểm). Tổng của m những số nguyên dương liên tiếp bằng 2008. Xác định các số đó.
Bài 5(2,0 điểm). Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A/B/C/. Gọi I, J, K lần lượt là tâm của các hình bình hành ACC/A/, BCC/B/, ABB/A/. 
Chứng minh rằng mặt phẳng (IJK) song song với mặt đáy.
Chứng minh rằng các đường thẳng AJ, CK, BI đồng quy.
------------------Hết------------------
Chú ý. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm;
 Học sinh không được sử dụng bất cứ tài liệu nào.
ĐÁP ÁN
Bài
Lời giải
Thang điểm
1
Ta có:
0,5
0,5
0,5
0,5
2
Ta có
Cộng ba bất đẳng thức trên vế theo vế ta có: 
 (1)
Mặt khác, theo bất đẳng thức Côsi ta có:
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 
Suy ra 
0,75
0,25
0,5
0,5
3
Đặt vn = un – n. 
Ta có vn+ 1 = un+1 – n – 1 = 10un – n – 1 + 1 – 9n = 10un – 10 = 10(un - n) = 10vn Suy ra dãy (vn) là cấp số nhân với công bội q = 10 và v1 = 10. 
Ta có vn = v1.qn – 1 = 10n => un = vn + n = 10n + n.
Vậy un = 10n + n với mọi số nguyên dương n.
0,5
0,5
0,5
0,5
4
Giả sử m số nguyên dương liên tiếp là k; k + 1;; k + m - 1. Khi đó ta có:
+/ Nếu m lẻ thì 2k + m – 1 chẵn, suy ra vô nghiệm.
+/ Nếu m chẵn thì 2k + m – 1 lẻ, suy ra 
Vậy các số cần tìm là 118, 119, , 133.
0,25
0,25
0,5
0,5
0,5
5
b
c
A’
B’
C’
a
i
j
k
+/ Hình vẽ
a) Ta có IJ là đường trung bình của tam giác ABC/ nên IJ // AB. 
Tương tự ta có: IK // BC; KJ // AC và (ABC) // (A/B/C/)
Suy ra (IJK) song song với các mặt đáy.
b) Theo câu a) IJ là đường trung bình của tam giác ABC/ nên AJ cắt BI.
Tương tự AJ cắt CK và CK cắt BI.
Mặt khác, ta có AJ, CK và BI không đồng phẳng.
Vậy ba đường thẳng AJ, CK, BI đôi một cắt nhau và không đồng phẳng nên đồng quy.
0,25
0,5
0,25
0,5
0,5
Chú ý. Mọi cách giải khác đúng đều đạt điểm tối đa.