Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Nghệ An lớp 12 năm học 2008 - 2009 môn thi: Toán 12 THPT - Bảng A

Së GD&§T NghÖ An
K× thi chän häc sinh giái tØnh líp 12 
N¨m häc 2008 - 2009
§Ò chÝnh thøc
M«n thi: to¸N 12 THPT- b¶ng A
Thêi gian lµm bµi: 180 phót
C©u 1. (3,0 điểm)
	Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt thuộc đoạn 
C©u 2. (3,0 điểm)
	Cho hệ (a là tham số).
Tìm a để hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện 
C©u 3. (3,0 điểm)
	Cho hàm số 
Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0 và chứng minh rằng hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.
C©u 4. (3,0 điểm) 
	Cho ba số dương a,b,c thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
C©u 5. (3,0 điểm) 
	Cho n là số tự nhiên, Chứng minh đẳng thức sau:
C©u 6. (3,0 điểm) 
	Cho khối chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD, SC. Chứng minh rằng mặt phẳng (MNP) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau.
C©u 7. (2,0 điểm) 
	Cho tứ diện ABCD có AB = CD, AC = BD, AD = BC và mặt phẳng (CAB) vuông góc với mặt phẳng (DAB). Chứng minh rằng:
-------------Hết-------------
Họ và tên thí sinh:...............................................................Số báo danh:..........................
.
Së Gd&§t NghÖ an
Kú thi chän häc sinh giái tØnh líp 12 
N¨m häc 2008 - 2009
h­íng dÉn vµ biÓu ®iÓm ChÊm ®Ò chÝnh thøc
(H­íng dÉn vµ biÓu ®iÓm chÊm gåm 04 trang)
M«n: to¸n 12 THPT - b¶ng A
----------------------------------------------
C©u
Néi dung
§iÓm
1
3.0
Ph­¬ng tr×nh ®· cho t­¬ng ®­¬ng
 Û (1)
0.50
§Æt t = cos4x ta ®­îc: , (2)
Víi th× 
0.50
Ph­¬ng tr×nh (1) cã 4 nghiÖm ph©n biÖt khi vµ chØ khi ph­¬ng tr×nh (2) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt tÎ[-1; 1), (3)
0.50
XÐt g(t) = víi , g’(t) = 8t+1.
g’(t) = 0 Û t = 
0.50
3
g’(t) 0 + 
t 1 
g(t)
5
B¶ng biÕn thiªn
0.50
Dùa vµo b¶ng biÕn thiªn suy ra (3) x¶y ra Û Û 
VËy gi¸ trÞ m cÇn t×m lµ: .
0.50
2
3,0
§Æt tõ (1) vµ ®iÒu kiÖn suy ra 
Khi ®ã Þ y = t2 – 8t +16.
0.50
Khi ®ã bÊt ph­¬ng tr×nh (2) trë thµnh (3)
§Æt .
0.50
Ycbt Û bÊt ph­¬ng tr×nh (3) cã nghiÖm t Î[3;4] Û 
0,50
0,50
Ta cã 
0,50
Tõ ®ã suy ra . VËy a ≥ 
0.50
3
3.0
0.5
0.5
0.5
0.5
 MÆt kh¸c víi , ta cã 
0.5
V× liªn tôc trªn R nªn tõ ®ã suy ra ®¹t cùc tiÓu t¹i 
0.5
4
3,0
§Æt 
Khi ®ã: 
0.50
Ta cã 
0.50
¸p dông b®t BCS ta ®­îc
0.50
. MÆt kh¸c 
0.50
Suy ra , do ®ã 
0.50
DÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P b»ng 
0.50
5
3.0
Ta cã víi , 
0.5
§¹o hµm hai vÕ cña (1) ta ®­îc 
0.5
Suy ra 
1,0
§¹o hµm hai vÕ cña (2) ta ®­îc 
0.5
Thay vµo (3) ta ®­îc ®pcm
0.5
6
A
D
S
P
C
B
M
E
F
N
I
K
O
3.0
Gäi K vµ I lÇn l­ît lµ giao ®iÓm cña MN víi CD vµ BC, ta cã CK = CD, CI = CB
0.25
d(P,(ABC)) = d(S,(ABC))
0.25
VPCIK = CI.CK.sin.d(P,(ABC)) 
0.25
 =(CB.CD.sin.d(S;(ABC)) 
0.25
Þ VPCIK = VSABCD , (1)
0.25
MÆt kh¸c (2)
0.5
Tõ (1) vµ (2) Þ VIBEM = VSABCD
0.25
T­¬ng tù VKNDF = VSABCD
0.25
Gäi V2 lµ thÓ tÝch cña khèi ®a diÖn giíi h¹n bëi mÆt ph¼ng (MNP) vµ mÆt ph¼ng ®¸y Þ V2 = VPCIK - (VIBEM + VKNDF)
0.25
 = VSABCD - VSABCD = VSABCD
0.25
VËy V2 = VSABCD Þ ®pcm Œ
0.25
7
2,0
M
A
B
D
C
A
C
§Æt 
Ta cã DABC nhän vµ DABC = DDCB = DCDA = DBAD. 
Suy ra 
0.5
H¹ , v× nªn 
0.5
¸p dông ®Þnh lÝ cosin cho tam gi¸c BMD ta ®­îc 
0.25
Tõ (1), (2), (3) ta ®­îc 
0.25
0.5
M
A
B
C
D
Chó ý: Häc sinh gi¶i theo c¸ch kh¸c nÕu ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a t­¬ng øng víi biÓu ®iÓm quy ®Þnh.