Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán học Lớp 9 năm học 2014-2015 - Trường THCS Ấm Hạ

PHềNG GD&ĐT HẠ HềA ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
TRƯỜNG THCS ẤM HẠ Năm học: 2014-2015
	 Mụn: Toỏn
 Thời gian: 150 phút (khụng kờ̉ thời gian giao đề)
đề thi môn toán
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Cõu 1 (4 điểm)
	a. Chứng minh rằng với mọi số a N thỡ A = (a+1)(a+2)(a+3)(a+4) + 1 là số chớnh 
 phương.
	b. Tỡm nghiệm nguyờn dương của phương trỡnh: : xy+ 4y - 4x = 32
Cõu 2 (4 điểm)	
	Cho biểu thức: P= 
a, Rỳt gọn P
b, Tớnh giỏ trị của P khi x= 7- 4
c, Với giỏ trị nào của x thỡ P đạt GTNN, Tớnh GTNN đú
Cõu 3: ( 3 điểm) Giải phương trỡnh+= 8
Cõu 4: (7 điểm)
	Cho tam giỏc đều ABC nội tiếp đường trũn (O; R). Gọi M là một điểm bất kỳ
 thuộc cung nhỏ BC.
	a) Chứng minh rằng MA = MB + MC.
	b) Gọi D là giao điểm của MA và BC. Chứng minh rằng cú giỏ trị
 khụng đổi khi M di chuyển trờn cung nhỏ BC.
	c) Tớnh tổng theo R.
Cõu 5: (2 điểm)
Cho a,b,c số dương thoả món a+b+c=1. Tớnh GTNN của P
-Hết-
hướng dẫn chấm môn toán
I. Một số chú ý khi chấm:
- Hướng dẫn chấm dưới đây chỉ dựa vào lời giải sơ lược của một cách, khi chấm giám khảo cần bám sát yêu cầu của đề bài, lời giải chi tiết của học sinh đảm bảo lôgic đúng kiến thức bộ môn.
- Thí sinh làm bài cách khác với hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm thống nhất cho điểm tương ứng với biểu điểm của hướng dẫn chấm
- Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần làm tròn đến 0, 25 điểm.
II. Đáp án và biểu điểm:
Đáp án
Điểm
Cõu 1: (4 điểm)
	a. Chứng minh rằng với mọi số a N thỡ A = (a+1)(a+2)(a+3)(a+4) + 1 là số chớnh phương.
	b. Tỡm nghiệm nguyờn dương của phương trỡnh: xy+ 4y- 4x = 32
Ta cú: A= (a+1)(a+4)(a+2)(a+3) +1
 = (a2+5a)2 + 10 (a2+5a) +25
 = (a2+5a+5)2 
 Vậy A là số chớnh phương với 
1
1
b, Ta cú: xy+ 4y - 4x = 32ú y(x+4)- 4(x+4)=16 ú (x +4)(y -4) = 16 
0,5
Nờu được x + 4 là ước của 16 và x + 4> 4 => x + 4 ẻ{8; 16}
0,5
x+ 4= 8 => x = 6 ; y = 6
x+ 4= 16=> x = 12 ; y = 5
0,5
Kết luận: (x; y) = (6; 6), (12; 5)
0,25
Cõu 2: ( 3 điểm) 
	Cho biểu thức: P= 
a, Rỳt gọn P
b, Tớnh giỏ trị của P khi x= 7-4
c, Với giỏ trị nào của x thỡ P đạt GTNN, Tớnh GTNN đú
a, ĐKXĐ : x 0, x 1.
 Biểu thức rỳt gọn : 
b) Ta thấy ĐKXĐ . Suy ra P= 
c) P = = 
Áp dụng BĐT cụ sic ho 2 số dương 
và Pmin= 4 khi x=4.
0.5
0.5
1
0.5
 0.5
Cõu 3: ( 3 điểm) Giải phương trỡnh+= 8
 += 8
Û+ = 8 	
Û + =8 	
Û+ 4+=8 	(x 5)
Vởy phương trình đã cho cú nghiệm là x= 6
0.5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Cõu 4 (7 điểm) Cho tam giỏc đều ABC nội tiếp đường trũn (O; R). Gọi M là một
 điểm bất kỳ thuộc cung nhỏ BC.
	a) Chứng minh rằng MA = MB + MC.
	b) Gọi D là giao điểm của MA và BC. Chứng minh rằng cú giỏ trị
 khụng đổi khi M di chuyển trờn cung nhỏ BC.
	c) Tớnh tổng theo R.
Vẽ hỡnh đỳng
0.5
 a) Trờn đoạn MA lấy điểm I sao cho MI = MB.
C/m được đều .
C/m được . 
Do đú MA = MI + AI = MB + MC.
b) và cú (cựng chắn cung BM), 
 nờn và đồng dạng.
Do đú .
Vậy, cú giỏ trị khụng đổi khi M di chuyển trờn cung nhỏ BC.
c) Đặt MA = x, MB = y. Ta cú:
 (1)
Kẻ nờn .
Do đú (2)
Từ (1) và (2) suy ra .
Ta lại cú . Do đú 
 0.5
 0.5 
0.5
0.5
0,5
0.5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Cõu 5: (2 điểm)
Cho a,b,c số dương thoả món a+b+c=1. Tớnh GTNN của P
0,5
0,5
0,5
0,5