Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 THPT cấp tỉnh năm 2011 môn Toán

SỞ GD&ĐT LAI CHÂU
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH NĂM 2011
ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn: Toán
Ngày thi: 21/11/2010
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
- Họ và tên học sinh: ............................
..............................................................
- Số báo danh: ....................................
1. Giám thị số 1: ......................................
.................................................................
2. Giám thị số 2: ....................................
.................................................................
(Đề bài gồm 05 câu)
Câu 1. ( 4,0 điểm). 
Giải hệ phương trình sau:	
Câu 2. ( 4,0 điểm).
Tìm các hàm thỏa mãn:
Câu 3. ( 4,0 điểm).
Trong phòng họp có 100 người. Mỗi người quen với ít nhất là 67 người khác. Chứng minh rằng trong phòng phải có 4 người từng đôi một quen nhau.
Câu 4. ( 3,0 điểm).
Cho n là số nguyên và . Chứng minh: .
Câu 5 ( 5,0 điểm).
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 6 và chiều cao . Vẽ mặt phẳng qua B vuông góc với SA tại K, mặt phẳng này cắt SH tại O. Lấy các điểm P, Q lần lượt thuộc SA và BC sao cho PQ tiếp xúc với mặt cầu tâm O bán kính bằng .
Tính độ dài đoạn IK với I là trung điểm của BC.
Tính giá trị nhỏ nhất của PQ.
........................................Hết........................................
Trang 01/01
SỞ GD&ĐT LAI CHÂU
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH NĂM 2011
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn: Toán
CÂU
HƯỚNG DẪN CHẤM
BIỂU ĐIỂM
1
(4.0 Đ)
Điều kiện 
0.5
Dễ thấy . Hệ phương trình đã cho tương đương với 
0.5
 (I)
0.5
Nhân theo vế của các phương trình trong hệ (I) ta được:
0.5
1.0
Thế vào phương trình (1) ta được :
0.5
Với Vậy nghiệm của hệ: 
0.5
2
(4.0 Đ)
* Cho , ta có: 
 (1)
0.75
* Cho , ta có : (2)
0.75
* Cho , ta có
 (3)
0.75
Lấy (1) cộng với (2) ta được:
 (4)
0.75
Thay (3) vào (4) ta lại có: 
0.5
Suy ra hàm số cần tìm là : 
0.5
3
(4.0 Đ)
Xét A là người bất kỳ trong phòng. Bởi vì A quen ít nhất là 67 người khác, nên nếu mời tất cả những ai không quen A ra ngoài thì số người phải ra nhiều nhất là 32.
1.0
Khi đó trong phòng còn A và 67 người quen A, tức là trong phòng còn lại ít nhất là 68 người.
0.75
Gọi B là người khác A trong 68 người còn ở lại trong phòng, ta mời tất cả những ai không quen B ra ngoài. Khi đó trong phòng còn lại ít nhất 68 – 32 = 36 người.
0.75
Lại gọi C là người khác A và B trong 36 người còn ở lại trong phòng, ta mời tất cả những người không quen C ra ngoài. Khi đó trong phòng còn lại ít nhất 36 – 32 = 4 người.
0.75
Nghĩa là ngoài A, B, C còn lại ít nhất một người, giả sử là D. Khi đó A, B, C, D đôi một quen nhau.
0.75
4
(3.0 Đ)
Ta có 
0.5
0.5
Xét hàm số với 
0.5
Ta có 
0.5
Suy ra hàm số tăng trên 
0.5
Do đó với , ta có đpcm
0.5
5
(5.0 Đ)
0.25
Ý a
(2.0 Đ)
Trong tam giác SAB vẽ đường cao BK thì nên .
0.25
Ta có , O chính là giao điểm của (BKC) và SH.
 đều có 
0.25
Ta có 
0.25
0.25
0.25
0.25
Mặt khác, vuông tại K nên .
0.25
0.25
Ý b
(3.0 Đ)
Tứ giác AKOH nội tiếp, ta có 
0.25
 Suy ra 
Đặt x = IQ, y = KP.
Trong tam giác vuông OIQ tại I, ta có
0.25
Trong tam giác vuông POK tại K, ta có 
0.25
Giả sử đường tròn tâm O, bán kính tiếp xúc với PQ tại T.
Qua I dựng đường thẳng d song song với KP.
Gọi P’ là hình chiếu vuông góc của P trên d.
0.25
Xét tam giác vuông OTQ có: 
0.25
Xét tam giác vuông OTP có 
0.25
Mặt khác, xét tam giác vuông PP’Q. Ta có 
0.25
0.25
Vậy: 
Xét hàm số . 
Đặt .
0.25
Với t = 0,. 
0.25
Vậy: , đạt được khi t = 0, lúc ấy 
Hay GTNN của PQ đạt được khi và P cách K một khoảng không đổi bằng .
0.25
* Lưu ý: 
- Thí sinh giải theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Làm tròn đến 0.5 điểm.