Đề thi chọn học sinh giỏi khối 12 môn Toán

Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội
Trường THPT Tùng Thiện
**********
§Ò thi chän häc sinh giái khèi 12
Thêi gian:180 phót.
Bài 1:(3 điểm)
Giải phương trình :
Bài 2:(3 điểm)
 Biết rằng phương trình : có nghiệm kép
( A,B,C là ba góc của tam giác).Chứng minh rằng góc B không lớn hơn 600.
Bài 3: (3 điểm)
Chứng minh rằng với mỗi số nguyên n cho trước phương trình : x2n + 1 = x + 1 có đúng một nghiệm số thực.Gọi nghiệm số đó là xn. Hãy tìm .
Bài 4:(3 điểm)
Tính: 
Bài 5:(4 điểm)
Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ có ba kích thước là: 1 ; 2 ; 3.Điểm E là trung điểm của B’C’.
a)Xác định vị trí của điểm M BB’ và điểm N AC’ sao cho MN // ED.Tính MN.
b)Xác định vị trí điểm P BB’ và Q AC’ sao cho PQ là đường vuông góc chung của BB’ và AC’.
Bài 6:(4 điểm)
Cho khối tứ diện ABCD.Qua 1 điểm P bất kỳ trên cạnh AB,dựng một mặt phẳng song song với AC và BD.Mặt phẳng này cắt BC,CD,DA lần lượt tại Q,R,S.
a)Tứ giác PQRS là hình gì?
b)Xác định vị trí của P trên AB sao cho tứ giác PQRS có chu vi nhỏ nhất.
~~~~~~~~***~~~~~~~~
Hết
Đáp án – Biểu điểm
Bài
Đáp án
Biểu điểm
1
(1)
Điều kiện :
Biến đổi tương đương phương trình (1) được phương trình :
sin22x = 1 
Kết luận phương trình vô nghiệm
1 điểm
2 điểm
2
Phương trình có a + b + c = 0 nên có hai nghiệm x1 = 1;x2 = 
Theo giả thiết,phương trình có nghiệm kép nên:
 = 1 
1 điểm
2 điểm
3
x2n + 1 = x + 1 (1)
Ta chứng minh x 1 không thỏa mãn phương trình (1):
Thật vậy (1) x(x2n – 1) = 1
Nếu x < - 1 thì x(x2n – 1) < 0 
Nếu thì x + 1 > 0 còn x2n + 1 < 0 
Nếu 0 < x < 1 thì x.(x2n – 1 ) < 0 
Nếu x > 1 thì ta xét hàm số f(x) = x2n + 1 - x – 1
có f ’(x) = (2n + 1).x2n – 1 > 0 với .
Do đó ta có bảng biến thiên:
x
1 + 
f(x)
 +
-1
phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất là xn 
phương trình f(x) = 0 có đúng một nghiệm thực xn
Khi đó ta có xn2n+1 = xn + 1 (Theo bất đẳng thức Côsi cho 2n + 1 số: 2n số 1 và số (xn + 1))
2 điểm
1 điểm
4
Ta có 
Thay x trong (1) lần lượt bởi thì ta có:
3 
điểm
5
a)Dựng hình bình hành AFED có B’E’ là đường trung bình B’E’ cắt AC’ ở I B’I // ED.
Chứng minh với M B’;N I thì MN không song song với ED.
Sau đó tính MN = B’I = 
b)Thay khoảng PQ cách giữa BB’ và AC’ bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là (AA’C’) và (BB’K).Hạ ,B’H là khoảng cách giữa 2 mặt phẳng đó.
Trong mặt phẳng (AA’C’) qua H dựng đường thẳng song song với AA’ cắt AC’ ở Q.Qua N dựng đường thẳng song song B’H cắt BB’ ở P P,Q là hai điểm cần xác định.
Tính được PQ = B’H = 
6
a)Kết luận tứ giác PQRS có các cặp cạnh đối diện song song từng đôi một nên tứ giác là hình bình hành.
b)Chu vi tứ giác PQRS = 2( PQ + PS)
Vậy chu vi tứ giác PQRS đạt giá trị lớn nhất khi PQ + RS đạt giá trị lớn nhất.
 Ta có: PQ + PS = 
Cần chia thành 3 trường hợp:
Nếu AC = BD khi đó PQ + PS = AC không đổi,không phụ thuộc vào vị trí của P.Chu vi tứ giác PQRS là hằng số nên có thể chọn P là bất cứ điểm nào trên AB.
Nếu AC > BD thì PQ + PS lớn nhất khi P trùng với A
Nếu AC < BD thì PQ + PS lớn nhất khi P trùng với B
Người ra đề:
Khuất Quang Cương.