Đề thi chọn đội tuyển dự kì thi chọn học sinh giỏi quốc gia năm 2011 Quảng Ngãi ngày thi 16/11/2010 môn: Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ KÌ THI 
 QUẢNG NGÃI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM 2011 
 Ngày thi 16/11/2010 
 Môn : Toán 
 Thời gian : 180 phút 
 Bài 1:( 5,0 điểm) 
 1. Tìm nghiệm dương của phương trình : 2
4 9
7 7
28
x
x x

  
 2. Cho  f x là hàm số liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn điều kiện    0 1f f . 
Chứng minh rằng phương trình  
1
2010
f x f x
 
  
 
 luôn có nghiệm  0;1x . 
 Bài 2 : ( 4,0 điểm ) 
Tìm tất cả các hàm :f R R ,biết rằng f tăng trên R và thỏa mãn : 
     1f f x y f x y    với ,x y R  . 
 Bài 3: ( 5,0 điểm ) 
 Cho tam giác ABC với a = BC,b = CA,c = AB.Gọi M là điểm bất kì nằm trong tam 
giác.Từ M hạ đường vuông góc 1 1 1, ,MA MB MC lần lượt đến các cạnh BC,CA,AB, 
 1 1 1, ,A BC B CA C AB   
1.Xác định vị trí của M để tổng 
1 1 1
a b c
MA MB MC
  có giá trị nhỏ nhất. 
2.Tìm tập hợp những điểm M sao cho diện tích của tam giác 1 1 1A B C bằng số k trước. 
 Bài 4: ( 3,0 điểm ) 
 Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n đều có thể biểu diễn dưới dạng hiệu của 
hai số tự nhiên có cùng số ước số nguyên tố. 
 Bài 5: ( 3,0 điểm ) 
 Trong mặt phẳng cho n hình tròn,hình hợp bởi n hình tròn này có diện tích S.Chứng 
minh rằng có thể chọn được một hoặc một số hình tròn không giao nhau trong n hình tròn 
đã cho mà tổng diện tích của chúng không nhỏ hơn 
9
S
. 
 Hết 
 ---------------------------------------------------------------------- 
 ( Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm ) 
ĐỀ CHÍNH THỨC