Đề tài Rèn luyện kĩ năng giải toán chứng minh hình học cho học sinh lớp 7

ủa cạnh đáy, trên trung trực đó lấy một điểm bất kỳ (điểm đó khác trung điểm của cạnh đáy) nối điểm đó với hai đầu của 
đoạn thẳng chứa cạnh đáy ta sẽ được D cân.
- Hoặc ta vẽ cạnh đáy trước, sau đó trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa cạnh đáy ta vẽ hai góc cùng hợp với cạnh đáy hai góc bằng nhau. (thường khác 600) ta sẽ được D cân.
Trong quá trình giảng dạy tôi thấy một số học sinh khi làm bài tập thường vẽ hình vào trường hợp đặc biệt, hình vẽ không chính xác hoặc vẽ không hết các trường hợp.
Ví dụ 3: (Bàì tập 77 trang 32 SBT Toán tập II) 
Cho D ABC có AH là đường cao, AM là trung tuyến 
Trên tia đối của HA lấy điểm E sao cho HE = HA 
Trên tia đối của MA lấy điểm I sao cho MI = MA.
Nối B với E, C với I. Chứng minh BE = CI.
Phân tích: Nếu học sinh vẽ vào trường hợp đặc biệt: 
D ABC cân tại A thì lúc này đường cao AH và 
trung tuyến AM sẽ trùng nhau. Dẫn đến việc 
giải bài toán rơi vào trường hợp đặc biệt.
Do vậy: Để giúp học sinh tránh được những 
sai lầm này trong dạy học tôi luôn lưu ý nhắc nhở học sinh nếu bài toán không cho hình đặc biệt thì ta không nên vẽ vào trường hợp đặc biệt và vẽ hình phải vẽ thật chính xác sẽ dễ quan sát, giúp ích rất nhiều cho việc chứng minh.
2. Rèn luyện kỹ năng suy luận và chứng minh.
Việc rèn luyện kĩ năng suy luận và chứng minh có tầm quan trọng khá đặc biệt và học sinh cần có kỹ năng này không những chỉ khi giải toán chứng minh mà cả khi các bài toán về quỹ tích dựng hình và một số bài toán tính toán.
2.1. Rèn luyện kỹ năng vận dụng định lý.
Chúng ta cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng vận dụng định lý vận và khi xét một vấn đề phải xét tất cả các trường hợp có thể xảy ra. 
Ví dụ 4: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?
A. Hai góc có chung đỉnh và bằng nhau thì đối đỉnh.
B. Hai góc bằng nhau thì đối đỉnh.
C. Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.
	Đây là dạng bài tập trắc nghiệm, chỉ yêu cầu học sinh lựa chon phương án, không cần giải thích. Vậy nên học sinh thường hay lựa chọn sai vì những lý do sau:
 Không nắm chắc định lý “Hai góc đối đỉnh”, không phân biệt rõ phần giả thiết và kết luận, dẫn đến cách suy luận không đúng và chọn khẳng định B là đúng. Còn nếu chọn khẳng định A là đúng, tức là các em chưa xét hết các trường hợp có thể xảy ra, hoặc chưa nắm rõ khi nào một khẳng định được coi là đúng và khi nào được coi là sai.
Vì vậy để rèn luyện tốt kỹ năng giải toán, trước hết phải yêu cầu học sinh nắm chắc kiến thức, nhớ được các định lý, tính chất hình học và vận dụng đúng, phù hợp.
2.2. Rèn luyên kỹ năng nhận dạng và vận dụng các định lý.
2.2.1. Các định lý, tính chất mà học sinh cần nắm vững trong chương trình hình học lớp 7:
- Ba định lý về quan hệ giữa tính song song và tính vuông góc.
- Một số tính chất của tam giác: Các định lý về tổng các góc của tam giác, về góc ngoài của tam giác.
- Tính chất và cách nhận biết một số dạng của tam giác đặc biệt: Tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông, tam giác vuông cân.
- Định lý Pytago áp dụng cho tam giác vuông.
- Ba trường hợp bằng nhau của hai tam giác.
- Các trường hợp bằng nhau của hai tam gíc vuông.
- Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác.
- Quan hệ giữa ba cạnh trong một tam giác - Bất đẳng thức tam giác.
- Quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu.
- Tính chất tia phân giác của một góc, đường trung trực của đoạn thẳng.
- Tính chất các đường đồng quy trong tam giác: Ba đường trung tuyến, ba đường phân giác, ba đường trung trực, ba đường cao.
Ngài ra đối với học sinh mũi nhọn (khá, giỏi) cần nắm thêm một số tính chất sau:
- Tính chất đường trung bình của tam giác.
- Góc có cạnh tương ứng song song và tương ứng vuông góc.
- Trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một phần hai cạnh huyền.
- Trong tam giác vuông cạch đối diện với góc 300 bằng một phần hai cạnh huyền.
2.2.2. Rèn luyện kỹ năng vận dụng các định lý cho học sinh
Việc rèn luyện kĩ năng suy luận và chứng minh cho học sinh nên bắt đầu bằng việc cho học sinh tiến hành các hoạt động nhận dạng định lý và vận dụng các định lí.
Nhận dạng một định lý là phát hiện xem một tình huống cho trước có khớp với một định lý nào đó hay không, còn vận dụng định lý là xem xét xem trong bài toán đang giải có những tình huống nào ăn khớp với các định lí đã được học.
Ví dụ 5: (Bài 81 SBT tập 2 trang 33)
Cho D ABC qua mỗi đỉnh A, B, C kẻ các đường thẳng song song với cạnh đối diện, chúng cắt nhau tạo thành D DEF.
Chứng minh rằng A là trung điểm của EF.
F
A
B
D
C
E
 Phân tích:
- Để chứng minh A là trung điểm của EF ta phải chứng minh AE = AF
- ở bài này để có điều trên ta cần chứng minh AE = BC và AF = BC 
- Muốn vậy ta có thể ghép D ABC với 2 tam giác đó là D CEA và D BAF.
- Để giải quyết được vấn đề này thì phải vận dụng định lý, tính chất nào ?
GV lập sơ đồ phân tích như sau:
A là trung điểm của EF ĩ AE = AF ĩ AE = BC và AF = BC ĩ
 D ABC = D CEA ĩ CAB = ACE và ABC = CAE
 và D ABC = D BAF ĩ BAC = ABE và FAB = ABC.
Cụ thể: Ta có AC: cạnh chung
CAB = ACE ( so le trong, AB // DE)
ABC = CAE (so le trong, BC // EF)
Do đó D ABC = D CEA (g.c.g)
=> BC = AE
Chứng minh tương tự ta có: BC = AF. Do đó A là trung điểm của EF
Như vậy học sinh sẽ thấy tình huống này ăn khớp với định lý về tính chất 2 đường thẳng song song và định lý: "Nếu hai DABC và DA'B'C' có AB = A'B', AC = A'C', = thì hai tam giác đó bằng nhau".
 2.3. Rèn luyện kỹ năng sử dụng phương pháp phân tích và tổng hợp.
Thông thường để hướng dẫn học sinh tìm lời giải ta thường dùng phương pháp phân tích (đi từ kết luận đến giả thiết) và lúc trình bày lời giải thì trình bày theo phương pháp tổng hợp (đi từ giả thiết suy ra kết luận).Cho nên khi chứnh minh một bài tập hình ta thường sử dụng phương pháp phân tích để tìm cách chứng minh, rồi dùng phương pháp tổng hợp để viết phần chứng minh.
Ví dụ 6: (Bài 43 SGK tập 1 trang 125)
Cho góc xOy khác góc bẹt, lấy các điểm A, B ẻ tia Ox sao cho 
OA < OB. Lấy các điểm C, D ẻ tia Oy sao cho OC = OA, OD = OB, gọi E là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng: D EAB = D ECD
Phân tích:
	- Để chứng minh D EAB = D ECD 
- Xét EAB và ECD đã có những yếu tố nào bằng nhau ?
- Để kết luận EAB = ECD ta cần có thêm điều kiện gì ?
 A
 2
 1
B
C
D
x
O
y
E
1 2
- Để chứng minh được các yếu tố đó ta cần ghép chúng vào các tam giác nào ? 
Với việc phân tích trên được gọi là suy luận ngược. Từ kết luận của bài toán ta suy luận đến khi cần điều kiện của giả thiết. 
Ta có sơ đồ phân tích sau:
 D EAB = D ECD ĩ Â2 = và AB = CD ĩ AOD = COB 
Cụ thể: 
Xét AOD và COB 
 chung ; OA = OC (gt); OB = OD (gt) 
=> AOD = COB (c.g.c)
=> 
do đó Â2 = 
=> EAB = ECD (g.c.g)
Cần nói thêm rằng đối tượng học sinh lớp 7 của chúng ta mới tập giải toán chứng minh. Do vậy khi dạy tôi rất chú ý tới việc hướng dẫn học sinh xắp xếp các luận cứ sao cho lôgic, chặt chẽ.
Như ở ví dụ trên tôi sẽ hướng dẫn cho học sinh suy luận đề dẫn đến việc chứng minh AOD = COB.
2.4. Quy tắc suy luận.
Khi dạy giải bài tập thì giáo viên cần chú ý dạy cho học sinh các quy tắc suy luận. Trong quá trình giải toán ta thường gặp hai quy tắc suy luận: quy tắc quy nạp và quy tắc diễn dịch.
 - Quy tắc quy nạp là suy luận đi từ cái riêng đến cái chung, từ cụ thể đến tổng quát. Quy tắc quy nạp, thường dùng là quy nạp hoàn toàn, ta phải xét hết các trường hợp có thể xảy ra.
 - Quy tắc diễn dịch là đi từ cái chung đến cái riêng, từ tổng quát đến cụ thể.
 - Trong quá trình giải toán, nhiều khi phải phân chia ra các trường hợp có 
thể xảy ra, các trường hợp riêng, nhưng hầu như học sinh chỉ xét một trường hợp rồi đi đến kết luận hoặc có phân chia nhưng không đầy đủ các trường hợp. Vì vậy trong quá trình giảng dạy chúng ta cần chú ý cho học sinh năng lực phân chia ra các trường hợp riêng.
Ví dụ 7: Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến CE, trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho DB = BA. Chứng minh DC = 2 CE.
Phân tích:
- Muốn chứng minh DC = 2CE 
ta phải có 1 trong 2 điều kiện sau:
đk1: 1/2 độ dài CD = độ dài CE.
đk2: 2 lần độ dài CE = độ dài CD
- Nếu lấy đk1, để có 1/2CD = CE thì phải chia CD ở F sao cho DF = FC và nghiên cứu xem có hợp với một trong hai điều kiện sau không:
đk3: CF = CE
đk4: DF = CF
- Nếu lấy đk 3, để CF = CE ta cần phải có một trong những điều kiện sau:
đk5: CF và CE là hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau.
đk6: CF và CE đều bằng một đoạn thẳng……..
- Nếu lấy đk5 thì phải nối BF và muốn chứng minh DBFC = DBEC lại cần phải có 1 trong các điều kiện sau:
đk7: BE = BF; ; BC cạnh chung (c.g.c)
đk8: ; BCF = BCE ; BC canh chung ( g.c.g)…..
Nghiên cứu kỹ đk 7 và đk 8 ta thấy đk 7 là phù hợp với giả thiết BF là đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh nên bằng 1/2AC. 
Theo giả thiết thì AB = AC, BE = 1/2AB. Thay vào sẽ được BF = BE. Và vì BF // AC nên B = ACB (so le). Mà DABC cân suy ra B1 = ACB suy ra B1 = B2 
còn BC là cạnh chung. Cuối cùng D BCF = D BCE suy ra CD = 2CE.
 Ta có sơ đồ phân tích sau:
DC = 2CE ĩ1/2CD = CE ĩ DF = FC và CF = CE ĩ DBFC = DBEC ĩ 
 ĩ BE = BF; ; BC cạnh chung 
	Với cách hướng dẫn như trên, học sinh có thể giải quyết bài toán bằng các cách khác nhau, tùy thuộc vào việc chọn các điều kiện. Vì vậy giáo viên khi hướng dẫn học sinh lớp 7 cách suy luận tìm hướng chứng minh bài toán, thông thường dùng phương pháp phân tích, không những các em chọn được phương án thích hợp mà còn có nhiều cách giải khác và củng cố kiến thức.
3. Kỹ năng đặc biệt hoá.
Đặc biệt hoá là chuyển từ trường hợp chung sang trường hợp riêng, sang trường hợp đặc biệt. Ta thừng dặc biệt hoá bài toán bằng cách:
- Thay biến số bởi hằng số, cho các số đo góc bằng các số cụ thể, chẳng hạn thay góc a bởi a = 900.
- Thay các điều kiện bài toán bởi các điều kiện hẹp hơn, chẳng hạn thay DABC có B > C bởi DABC có góc B = 900.
- Thay vị trí bất kỳ của một điểm , của một hình bằng vị trí đặc biệt của nó.
- Bổ sung thêm các quan hệ mới vào bài toán, chẳng hạn trong các tam giác ABC , xét tam giác cân đáy BC (bổ sung thêm điều kiện AB = AC).
	Ta biết rằng một tính chất đúng t