Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp

g. 
 a) Có bao nhiêu cách xếp khác nhau. 
 b) Có bao nhiêu cách xếp khác nhau 3 bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 bi xanh xếp cạnh nhau. 
ĐS :a) 840 cách b) 48 cách. 
3.10 Một tập thể có 14 ngƣời gồm 6 nam và 8 nữ trong đó có An và Bình. Ngƣời ta muốn chọn 
ra một tổ công tác gồm 6 ngƣời. Tìm số cách chọn trong mõi trƣờng hợp sau :’ 
 a) Trong tổ phải có mặt cả nam lẫn nữ. 
 b) Trong tổ phải có một tổ trƣởng ,5 tổ viên , hơn nữa An và Bình không đồng thời có mặt 
trong tổ ĐS : a) 2974 cách b) 15 048 cách. 
4 4
12 8 34 650C C
10
13 286C
8
11 165C
9
112. 110C
3 7
5 8. 80C C
3 7 4 6 5 5
5 8 5 8 5 8. . . 276C C C C C C
Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp 
Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn 21 
3.11 Số 210 có bao nhieu ƣớc số. 
ĐS : 16 số. 
3.12 Một trăm số đƣợc đánh số 1, 2, , 100 đƣợc bán cho 100 ngƣời. Có 4 giải thƣởng trong đó 
có một giải độc đắc 
 a) Có bao nhiêu cách tặng giải? 
 b) Có bao nhiêu cách tặng giải nếu vé số 47 trúng giải độc đắc. 
 c) Có bao nhiêu cách tặng giải nếu vé số 47 là một trong các giải trúng . 
 d) Có bao nhiêu cách tặng giải nếu vé số 47 không trúng giải . 
 e) Có bao nhiêu cách tặng giải nếu vé số 47 và 19 đều trúng giải. 
 f) Nếu các vé số 19, 47 và 73 đều trúng giải. 
 g) Nếu các vé số 19, 47,73 và 97 đều trúng giải. 
 h) Nếu các vé số 19, 47,73 và 97 đều không trúng giải. 
 i) Nếu giải độc đắc rơi vao một trong các vé số 19, 47,73 và 97. 
 j) Nếu các vé số 19, 47 trúng giải còn các vé số 73 và 97 không trúng giải. 
ĐS : a) 94 109 400 b) 941 094 c) 3 764 376 d) 90 345 024 e) 114 072 
 f) 2384 g) 24 h) 79 727 040 i) 3 764 376 j0 109 440. 
3.13 Bảng chữ cái có 26 kí tự trong đó có 5 nguyên âm 
 a) Có bao nhiêu chữ gồm 5 kí tự trong đó có 3 phụ âm khác nhau và 2 nguyên âm khác nhau? 
 ĐS : 1 596 000 
 b) Trong đó có bao nhiêu chữ chƣá b? ĐS: 228 000 
 c) Trong đó có bao nhiêu chữ chƣá b và c? ĐS: 22 800 
 d) Trong đó có bao nhiêu chữ bắt đầu bằng b và chứa c? ĐS: 4560 
 e) Trong đó có bao nhiêu chữ bắt đầu bằng b và kết thúc bằng c? ĐS: 1140 
 f) Trong đó có bao nhiêu chữ bắt đầu bằng b và chứa a? ĐS: 18 240 
 g) Trong đó có bao nhiêu chữ chƣá a, b, c? ĐS: 9120 
3.14 Cho A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. 
 a) Có bao nhiêu tập con của A chứa 1 mà không chứa 2. 
 b) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau mà không bắt đầu bởi 123 lập từ A 
ĐS : a) 64 b) 3348 số. 
3.15 Có 4 ngƣời Việt, 4 ngƣời Thái, 4 ngƣời Trung Quốc và 4 ngƣời Triều Tiên. Cần chọn 6 
ngƣời đi dự hội nghị. Hỏi có mấy cách chọn sao cho : 
 a) Mỗi nƣớc đều có đại biểu? 
 b) Không có nƣớc nào có hơn 2 đại biểu? 
ĐS : a) 4480 cách b) 4320 cách. 
3.16 a) Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chƣ số khác nhau đôi một trong đó chữ số đầu tiên là chữ số 
lẻ 
 b) Có bao nhiêu số gồm 6 chƣ số khác nhau đôi một trong đó có dúng 3 chữ số lẻ và 3 chữ 
số chẵn 
ĐS : a) 42 000 số b) 64 800 số. 
3.17 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chƣ số biết rằng chũ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có 
mặt đúng 3 lần còn các chữ số khác có mặt không quá một lần. 
ĐS : 11 340 số. 
Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp 
Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn 22 
Vấn đề 2: Sử đụng quy tắc tƣơng ứng 
Ví dụ 1. Cho n điểm trong mặt phẳng A1, A2, , An sao cho không có 3 điểm nào thẳng 
hàng và nối tất cả tất cả các điểm đó lại với nhau từng cặp 
 a) Tính số N các đoạn thẳng có dƣợc. 
 b) Giả sử không có 2 đƣờng thẳng nào trong đó song song. Tính số giao điểm P khác với n 
điểm trên. 
 c) Giả sử không có 3 đƣờng thẳng nào trong đó đồng qui tại một điểm khác với các điểm Ai. 
Tính số T các tam giác xác định bởi n đƣờng thẳng đó. 
GIẢI 
 a) Mỗi cặp điểm không kể thứ tự trong n điểm Ai xác định một đƣờng thẳng có N = 
đƣờng thẳng. 
 b) Mỗi tổ hợp nối lại cho ta 3 giao điểm mới 
 có N = 
 Giao điểm khác với n điểm Ai. 
 Cách 2: N = đƣờng thẳng cho giao điẻm. Nhƣng mỗi điểm Ai có n – 1 đƣờng thẳng 
đi qua nên có giao điểm trùng với Ai Có giao điểm trùng với A1, A2, , An. Vậy 
số giao điểm khác với n điểm là 
c) Cứ 3 đƣờng thẳng xác định một tam giác Có tam giác. Nhƣng vì qua mỗi đỉnh Ai có 
n – 1 đƣờng thẳng nên có tam giác suy biến thành điểm Ai Có tam giác suy biến 
thành n điểm A1, A2, , An. 
 Vậy có tam giác xác định bởi n đƣờng thẳng đó 
Ví dụ 2. Cho đa giác đều H có 20 cạnh. Xét các tam giác có 3 đỉnh lấy từ 3 đỉnh của H. 
 a) Có bao nhiêu tam giác nhƣ vậy? Có bao nhiêu tam giác có đúng 2 cạnh là 2 cạnh của H. 
 b) Có bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của H? Có bao nhiêu tam giác không có 
cạnh nào là cạnh của H 
GIẢI 
a) Số tam giác có 3 đỉnh lấy tử 3 đỉnh của H là : 
 A4 A3 
 Cứ mỗi đỉnh của H cùng với 2 đỉnh kề bên tạo 
thành một tam giác có 2 cạnh là 2 cạnh của H. Các A1 A2 
tam giác này không trùng nhau và không có cách 
nào khác để tạo tam giác có 2 cạnh là cạnh của H. 
Mà H có 20 đỉnh nên có đúng 20 tam giác tam giác có 2 cạnh là 2 cạnh của H 
b) Xét các tam giác mà một đỉnh là A1. Để có đúng một cạnh là cạnh của H ta bỏ đi 4 cạnh A1A2, 
A2A3, A1A20, A20A19. Vậy có đúng 16 tam giác mà đỉnh là A1 và có đúng 1 cạnh là cạnh của H. 
 Mà H có 20 đỉnh, vậy số tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của H là : 20.16 = 320. 
 Do đó số tam giác không có cạnh nào là cạnh của H là : 1140 – (20 + 320) = 800 
2
nC
4 1 2 33
8
n
n n n n
C
2
nC
2
NC
2
1nC
2
1nnC
3
NC
3
1nC
3
1nnC
3 3 3
N 1
1
1 2 13 20
48
nC nC n n n n n
3
20
20!
1140
3!17!
C
2 2
N 1
1 2 3
8
n
n n n n
C nC
Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp 
Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn 23 
 Ví dụ 3. Cho 5 điểm đồng phẳng sao cho các đƣờng thẳng nối các cặp điểm trong 5 điểm đó 
không có 2 đƣờng thẳng nào song song, vuông góc, hay trùng nhau. Qua mỗi điểm ta vẽ các 
đƣờng thẳng vuông góc với tất cả các đƣờng thẳng không đi qua nó. Không kể 5 điểm đã cho, số 
giao điểm của các đƣờng thẳng vuông góc đó là bao nhiêu. 
GIẢI 
 Gọi 5 điểm đó là A, B, C, D, E. Có đƣờng thẳng không đi qua A nên từ A vẽ đƣợc 6 
đƣờng thẳng vuông góc với các đƣờng thẳng không đi qua A ; tƣơng tự từ B cũng vẽ đƣợc 6 
đƣờng thẳng vuông góc với các đƣờng thẳng không đi qua B. Đáng nhẽ 2 nhóm đƣờng thẳng này 
cắt nhau tại 
6.6 = 36 điểm (không kể A và B), nhƣng vì có đƣờng thẳng không đi qua 2 điểm A, B 
nên 3 đƣờng thẳng vuông góc với chúng vẽ từ A và 3 đƣờng thẳng vuông góc với chúng vẽ từ B 
đôi một song song số giao điểm của 2 nhóm đƣờng thẳng trên chỉ còn 36 – 3 = 33 điểm. Có 
 cách chọn các cặp điểm nhƣ A, B Có 33.10 = 330 giao điểm của các đƣờng thẳng 
vuông góc. Thế nhƣng cứ mỗi 3 điểm nhƣ A, B, C thì 3 đƣờng cao của tam giác ABC đồng qui 
tại một điểm thay vì cắt nhau tại 3 điểm nên số giao điểm giảm đi 2. Vì có tam giác nhƣ 
ABC nên số giao điểm giảm đi 10.2 = 20 
 Vậy số giao điểm của các đƣờng vuông góc đó là : 330 – 20 = 310. 
BÀI TẬP 
 A4 A3 
3.18 Trong một n giác lồi có 
 a) Bao nhiêu đƣờng chéo 
 b) Bao nhiêu giao điểm của các đƣờng chéo A1 
ĐS : a) b) A2 
3.19 Trong mặt phẳng cho 1 thập giác lồi. Xét các tam giác mà 3 đỉnh của nó là 3 đỉnh của thập 
giác. Hỏi trong số các tam giác đó có bao nhiêu tam giác mà 3 cạnh của nó dều không phải là 3 
cạnh của thập giác 
ĐS : 50 
3.20 Có p điểm trong mặt phẳng trong đó có q điểm thẳng hàng, số còn lại không có 3 điểm nào 
thẳng hàng. Nối p điển đó lại với nhau. Hỏi : 
a) Có bao nhiêu đƣờng thẳng? 
b) Chúng tạo ra bao nhiêu tam giác. 
ĐS : a) 
 b) 
3.21 Cho p điểm trong không gian trong đó có q điểm đồng phẳng số còn lại không có 4 điểm 
nào đồng phẳng. Dựng tất cả các mặt phẳng chứa 3 trong p điểm đó. Hỏi : 
a) Có bao nhiêu mặt phẳng khác nhau 
b) chúng tạo ra bao nhiêu tứ diện 
ĐS : a) b) 
3.22 Trong mặt phẳng cho n đƣờng thẳng đôi một cắt nhau và không có 3 đƣờng chéo nào đồng 
qui. Hỏi chúng tạo thành : 
2
4 6C
2
3 3C
2
5 10C
3
5 10C
3
2
n n 4
nC
2 2 1 2 21
2
p q
p p q q
C C
3 3 1 2 2 2
6
p q
p p p q q q
C C
3 3 1p qC C
4 4
p qC C
Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp 
Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn 24 
a) Bao nhiêu tam giác; b) Bao nhiêu n giác; c) Bao nhiêu tứ giác 
ĐS : a) b) c) 
3.23 Cho một n giác lồi P sao cho không có 2 đƣờng chéo nào sông song và không có 3 đƣờng 
chéo nào không xuất phát từ cùng một đỉnh lại đồng qui. Gọi Pn là tổng số các giao điểm của các 
đƣờng chéo khác với các đỉnh, Pi là số giao điểm đó ở bên trong đa giác và Pe là số giao điểm đó 
ở bên ngoài đa giác. Tính Pn , Pi , Pe theo n. 
HD : a) Tính Pn. Có N = đƣờng chéo Có giao điểm. Trong đó mỗi đỉnh có n – 3 
đƣờng chéo Có giao điểm trùng với các đỉnh. Còn lại : 
Pn = giao điểm. 
b) Cứ mỗi đỉnh thì có 2 đƣờng chéo cắt nhau tại một điểm bên trong đa giác Có : 
Pi = giao đỉêm bên trong đa giác. 
c) Pe = Pn – Pi = . 
3.24 Có 2 đƣờng thẳng song song (d1) và (d2). Trên (d1) lấy 15 điểm phân biệt. Trên (d2) lấy 15 
điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh là các điểm đã lấy. 
ĐS : 1485 
3.25 Cho đa giác đều A1A2A2n (n nguyên,n 2) nội tiếp trong đƣờng tròn (O). Biết rằng số 
tam giác có đỉnh là 3 trong 2n đỉnh Ai nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 2n 
đỉnhAi. Tìm n. 
ĐS : n = 8. 
3.26 Cho một tập hợp E có n phần tử và một tập hợp F có m phần tử. Có bao tổ hợp chập k . 
a) Chứa duy nhất một phần tử của F 
b) Chứa ít nhất một phần tử của F 
ĐS : a) m b) 
3.27 Cho n số khác nhau Gọi Ep là tổ hợp chập p của n số này. 
a) có bao nhiêu tổ hợp chập p chứa phần tử ai cho sẵn 
b) Tính tổng Sp của tất cả các số ai có trong các tổ hợp của Ep (i = 1, 2, , n) 
c) Tính S = . 
ĐS ; a) b) Sp = 
 c) S = 
3.28 Có bao nhiêu cách để chọn từ n số 1, 2, , n ra m số sao cho trong đó có 2 số liên tiếp. 
HD & ĐS : Ta tìm số cách chọn m số sao cho trong đó không có 2 số liên tiếp. 
 Xét song ánh f xác định bởi 
 nghĩa là . 
 Ta có và m số không chứa 2 số liên tiếp m số 
 khác nhau. 
 Có cách chọn m số bi từ các số 1, 2, , n + 1 – m 
 Có cách chọn m số trong đó có 2 số lien tiếp. 
3
nC
1
1 !
2
n
43 nC
3
2
n n 2
NC
2
3nnC
2 2 2
N 3
1
3 7 14
8
nC nC n