Đề ôn thi học sinh giỏi Toán 11 (Đề 6)

Sở GD&ĐT Hà tĩnh
Trường THPT đức thọ
Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 11
năm học 2008 - 2009
Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
Đề bài
Câu 1. (2,0 điểm) Giải phương trình 
Câu 2. (1,5 điểm) Chứng minh rằng với mọi số thực x, y, z khác 0, ta có:
Câu 3. (2,0 điểm) Cho dãy số (un) xác định bởi: 
Tìm công thức tính un theo n.
Câu 4. (2,0 điểm) Tổng của m những số nguyên dương liên tiếp bằng 2008. Xác định các số đó.
Câu 5. (2,5 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A’B’C’. Gọi I, J, K lần lượt là tâm của các hình bình hành ACC’A’, BCC’B’, ABB’A’.
a) Chứng minh rằng (IJK) song song với các mặt đáy.
b) Chứng minh rằng các đường thẳng AJ, CK, BI đồng quy.
_________________Hết_________________
Đáp án và thang điểm
Câu 1. (5 điểm)
Câu 2: (4 điểm)
Ta có: 
Cộng ba bất đẳng thức trên, ta được:
 (1)
áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương, ta được:
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 
Từ đó ta có bất đẳng thức cần chứng minh.
Câu 3: 
Ta có:
Dự đoán un = 10n + n (1)
Chứng minh:
Ta có: u1 = 11 = 101 + 1 công thức (1) đúng với n = 1.
Giả sử công thức (1) đúng với n = k ta có: uk = 10k + k
Ta có: uk + 1 = 10(10k + k) + 1 - 9k = 10k+1 + (k + 1). Công thức (1) đúng với n = k + 1.
Vậy un = 10n + n, 
Câu 4. (4 điểm)
	Giả sử tổng của m số nguyên dương liên tiếp bắt đầu từ số k bằng 2008:
k + (k + 1) + (k + 2) +  + (k + m - 1) = 2008 
Nếu m lẻ 2k + m - 1 chẵn. Khi đó: m = 251, 2k + m - 1 = 24 (không xảy ra)
Nếu m chẵn 2k + m - 1 lẻ. Ta có: 
Vậy các số cần tìm là 118, 119,133.
Câu 5. (3 điểm)
A
B
M
D
I
N
C
H
	Trên tia BI, lấy điểm H sao cho BH = a. Khi đó BH = AB = BC nên ta có: Do đó: MH = AM và NH = CN. Suy ra M, H, N thẳng hàng, BI vuông góc với Mn tại H và MN = AM + NC.
Vậy 
Vì AM = 3MD nên 
Đặt NC = x, áp dụng định lý Pitago cho 
tam giác vuông MDN, ta có: