Đề ôn thi học sinh giỏi Toán 11 (Đề 11)

Toán học, Học sinh giỏi tỉnh Nam Định, Lớp 11, 2004
Bài từ Thư viện Khoa học VLOS.
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÀN TỈNH NAM ĐỊNH 
 Trường học 
 Trung học phổ thông 
 Lớp học 
 11 
 Năm học 
 2004 
 Môn thi 
 Toán học 
 Thời gian 
 150 phút 
 Thang điểm 
 20 
Câu I   (6 điểm).
Cho phương trình sau: 
1) Giải phương trình khi .
2) Xác định tham số m để phương trình có đúng một nghiệm 
Câu II   (4 điểm)
Trên mặt phẳng cho tứ giác lồi ABCD có AB = BC = CD = a.
1) Nếu biết Hãy tính diện tích tứ giác ABCD theo a.
2) Giả sử tứ giác ABCD thay đổi, mà AB = BC = CD = a không đổi. Hãy tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác ABCD.
Câu III   (7 điểm)
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a.
1) Ta coi hình chóp đã cho là tứ diện SABC có trọng tâm O, gọi là góc giữa mp(SAB) và mp(ABC). Hãy tính để O cách đều tất cả các mặt của SABC.
2) Biết Xét mặt phẳng (P) thay đổi đi qua A, sao cho mp(P) cắt các đoạn thẳng SB, SC thứ tự tại B', C'. Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác AB'C' theo a.
Câu IV   (3 điểm).
Cho phương trình: 
Chứng minh rằng phương trình có 3 nghiệm phân biệt x1, x2, x3.
Giả sử x1 < x2 < x3, chứng minh rằng:
và