Đề kiểm tra học kỳ II môn: Toán - Lớp 11 nâng cao

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II
MÔN: TOÁN - LỚP 11 NÂNG CAO
Thời gian: 90 phút (không kể thời gian phát đề)
------------------------------------------------------------------------
Bài 1 ( 1,75 điểm ) Tìm các giới hạn sau :
a/ b/ c/ 
Bài 2 ( 1,75 điểm ) 
a/ Cho hai hàm số , 
 Tính f ‘(1) và g’(0)
b/ Giải phương trình y’’= -36 , biết rằng .
Bài 3 ( 1, 25 điểm) Cho hàm số . 
a/ Tìm các khoảng của x để y ’ > 0 . 
b/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ bằng 3.
Bài 4 . (1 , 25 điểm ) 
Cho hàm số với m là một tham số thực .
a/ Khi 
b/ Với giá trị nào của m thì phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 sao cho ba số 
 lập thành một cấp số nhân hữu hạn theo thứ tự đó. 
Bài 5 ( 0,75 điểm) 
Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại x = 3
Bài 6 ( 2,75 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O , AB = a ; AD = 2a ; SA = 2a 
 SA ^ (ABCD) ( với a > 0) , M là trung điểm của SD .
a/ Chứng minh rằng : (SAM) ^ (SCD) . Tính AM.
b/ Tính góc tạo bởi đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) .
c/ Mặt phẳng (Q) đi qua đường thẳng AM và vuông góc với SD . Mặt phẳng (Q) cắt SC tại điểm N . Chứng minh rằng : Bốn điểm A , M , N, B đồng phẳng và MN // (ABCD) .
 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và CD .
Bài 7 (0,5 điểm) Gọi S là tổng các hệ số của đa thức sau :
Hãy so sánh tổng S với số 2 .
-------------------------------------------------------------------------------------------------
Học sinh không được sử dụng tài liệu trong khi làm bài .
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm .
ĐÁP ÁN TOÁN 11 NÂNG CAO
Bài
Câu
Nội dung
Điểm
1
1,75đ
a/
0,5
b/
Vì khi x ® 2- thì (x – 2) < 0 và (x – 2) ® 0 
và 
0.5
c/
 0,25
0,5
2
(1,75đ)
a
* 
* 
0,25
0,25
0,25
0,25
b
.
0,25
0,25
0,25
3
1,25đ
a
0,25
0,5
b
Khi x = 3 thì y = 4 .
Ta có điểm M(3 ; 4) thuộc đồ thị hàm số đã cho . 
y’(3) = 0
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm M là 
y = 0(x – 3) + 4 hay y = 4
0,25
0,25
4
1,25đ
a
Khi m = 1 ta có 
0,25
0,25
b
Phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 khi và chỉ khi 
.
Theo định lí Viet ta có : x1 + x2 = 2m ; x1x2 = -(3m + 2)
Ba số x1 , , x2 lập thành một cấp số nhân theo thứ tự đó khi và chỉ khi . 
 0,25
0,25
0,25
5
0,75đ
Với x ≠ 3 ta có 
Để hàm số đã cho liên tục tại x = 3 thì
0,25
0,5
6
2,75đ
0,25
a
 Ta có CD ^ AD ( Vì ABCD là hình chữ nhật)
Và CD ^ SA ( Vì SA ^ (ABCD) )
Do đó CD ^ (SAD) .
Vì SA = AD = 2a nên tam giác SAD cân tại A . Mà M là trung điểm của SD nên AM ^ SD .
Lại có AM ^ CD ( vì CD ^ (SAD) )
Vậy AM ^ (SCD) Þ (SAM) ^ (SCD).
Tam giác SAD vuông tại A và AM là đường cao nên 
0,25
0,25
0,25
b
Vì SA ^ (ABCD) tại A , SB cắt (ABCD) tại B nên AB là hình chiếu vuông góc của SB trên mặt phẳng (ABCD).
Tam giác SAB vuông tại A nên 
SA = 2a ; ABCD là hình chữ nhật có AB = a 
0,25
0,25
0,25
c
Mặt phẳng (Q) cắt (SCD) theo giao tuyến MN .
Theo giả thiết SD ^ (Q) nên SD ^ MN
Trong mặt phẳng (SCD) có CD và MN cùng vuông góc với SD nên 
CD // MN .
Lại có CD // AB 
Þ MN // AB . Do đó bốn điểm A , B , N , M đồng phẳng .
Vì (ABNM) đi qua BM và song song với CD nên khoảng cách giữa BM và CD bằng khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABNM).
Mà MD ^ (ABNM) tại M nên 
Vậy 
0,25
0,25
0,25
0,25
7
Suy ra S < 2
0,5