Đề kiểm tra học kì I môn: Toán - Khối 11 (Đề 2)

KIỂM TRA HỌC KỲ I
Họ và tên :..... Môn : TOÁN - LỚP 11 NÂNG CAO
Lớp :.. Thời gian làm bài : 90 phút
ĐỀ SỐ 1 
Bài 1(2,5 điểm) 
 Giải các phương trình : 
1/ 2sin( 2x + 150 ).cos( 2x + 150 ) = 1 2/ cos2x – 3cosx + 2 = 0
3/ 
Bài 2 (0,75điểm )
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :
Bài 3 ( 1, 5 điểm ) 
1/ Tìm hệ số của số hạng chứa x 31 trong khai triển biểu thức ( 3x – x3 )15 .
2/ Từ các chữ số 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số khác nhau .
Bài 4 ( 1,5 điểm ) Một hộp chứa 10 quả cầu trắng và 8 quả cầu đỏ ,các quả cầu chỉ khác nhau về màu . Lấy ngẫu nhiên 5 quả cầu .
1/ Có bao nhiêu cách lấy đúng 3 quả cầu đỏ .
2/ Tìm xác suất để lấy được ít nhất 3 quả cầu đỏ .
Bài 5 ( 1,5 điểm ) 
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(- 2 ; 3) , B(1 ; - 4) ;
đường thẳng d : 3x – 5y + 8 = 0 ; đường tròn (C ) : (x + 4)2 + (y – 1)2 = 4. 
Gọi B’ , (C’) lần lượt là ảnh của B , (C ) qua phép đối xứng tâm O .Gọi d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ .
1/ Tìm toạ độ của điểm B’ ; Tìm phương trình của d’ và (C ’ ) .
2/ Tìm phương trình đường tròn (C”) ảnh của (C )qua phép vị tâm O tỉ số k = -2
Bài 6 ( 2,25 điểm ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành .Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , SD và P là điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho AP = 2PB .
1/ Chứng minh rằng MN song song với mặt phẳng (ABCD).
2/ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (SAD).
3/ Tìm giao điểm Q của CD với mặt phẳng (MNP). Mặt phẳng (MNP) cắt hình chóp S.ABCD theo một thiết diện là hình gì ? .
4/ Gọi K là giao điểm của PQ và BD .Chứng minh rằng ba đường thẳng NK , PM và SB đồng qui tại một điểm.
..
ĐÁP ÁN ĐỀ TOÁN 11 NÂNG CAO
H ỌC KỲ I
--------------------------------------
ĐỀ SỐ 1
Bài 
câu 
Hướng dẫn
Điểm
1
1
Bài 1(2,5 điểm) 
 Giải các phương trình : 
1/ 2sin( 2x + 150 ).cos( 2x + 150 ) = 1 
 sin(4x +300) =1 
0,5
2/ cos2x – 3cosx + 2 = 0
 2cos2x - 1 - 3cosx + 2 = 0
 2cos2x - 3cosx + 1 = 0 
1
3/ (1)
ĐK : 
Với điều kiện đó thì phương trình (1) tương đương với phương trình sau:
sin2x - 4sinx.cosx - 5cos2x = 0
Ta có cosx = 0 không thoả mãn phương trình (1)
Do đó , cosx ≠ 0 , chia hai vế của phương trình (1) ta được phương trình tan2x - 4tanx - 5 = 0
Giải phương trình này ta có :
hoặc tanx = 5 
Kết hợp với điều kiện , ta được nghiệm của phương trình đã cho là :
1
2
Bài 2 (0,75điểm )
1/ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :
 với cosa = và sina = 
Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng - 5 
khi 
Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 5 khi 
0,75
3
1
Bài 3 ( 1, 5 điểm ) 
1/ Tìm hệ số chứa x 31 trong khai triển biểu thức 
( 3x – x3 )15 .
Số hạng tổng quát của khai trển trên là :
với 0 ≤ k ≤ 15 , k ÎZ
Theo giả thiết số hạng cần tìm chứa x31 nên 
15 + 2k = 31 k = 8 ( thoả mãn)
Hệ số của số hạng cần tìm là : = 
0,75
2
2/ Từ các chữ số 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số khác nhau .
Số cần tìm có dạng ,trong đó a , b , c , d thuộc tập hợp và đôi một khác nhau .
Vì số cần lập là số chẵn nên d 
Do đó chữ số d có 3 cách chọn .
Có cách chọn ba chữ số a ,b ,c .
Vậy có số thoả yêu câu bài toán .
0,75
4
1
Bài 4 ( 1,5 điểm ) Một hộp chứa 10 quả cầu trắng và 8 quả cầu đỏ ,các quả cầu chỉ khác nhau về màu . Lấy ngẫu nhiên 5 quả cầu .
1/ Có bao nhiêu cách lấy đúng 3 quả cầu đỏ .
Số cách lấy đúng 3 quả cầu màu đỏ là 
0,5
Không gia mẫu ,(của phép thử ngẫu nhiên lấy 5 quả cầu từ 18 quả cầu khác màu ) có số phần tử là : =8568 
Gọi A là biến cố lấy được ít nhất 3 quả cầu màu đỏ .
-Số cách lấy được đúng 3 quả cầu màu đỏ là : 2520
- Số cách lấy được 4 quả cầu đỏ là 
-Số cách lấy được 5 quả cầu đều màu đỏ là : 
Xác suất của biến cố lấy được ít nhất 3 quả caàu màu đỏ là :
1
5
1
Bài 5 ( 1,5 điểm ) 
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(- 2 ; 3) , B(1 ; - 4) ;
đường thẳng d : 3x – 5y + 8 = 0 ; đường tròn 
(C ) : (x + 4)2 + (y – 1)2 = 4 .Gọi B’ , (C’) lần lượt là ảnh của B , (C ) qua phép đối xứng tâm O .Gọi d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ .
1/ Tìm toạ đồ của điểm B’ ; Tìm phương trình của d’ , (C ’ ) .
Ta có : B’ = (-1 ; 4 )
 d’: -3x + 5y + 8 = 0
Đường tròn (C ) có tâm I(-4 ; 1) và bán kính R = 2
Đường tròn (C’) có tâm I’(4 ; - 1) và R’ = 2
(C’) : (x – 4)2 + (y + 1)2 = 4
0,75
2
2/ Tìm phương trình đường tròn (C”) ảnh của (C )qua phép vị tâm O tỉ số k = -2
Gọi I’’ là tâm của đường tròn (C’’) ,khi đó mà 
Suy ra => 
 Và R’’ = 2R = 4
Vậy (C’’) : (x – 8)2 + (y + 2)2 = 16
0,75
6
1
Bài 6 ( 2,25 điểm ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành .Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , SD và P là điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho AP = 2PB .
1/ Chứng minh rằng MN song song với mặt phẳng (ABCD).
MN là đường trung bình của tam giác SAD .
Vì MN nằm ngoài mặt phẳng (ABCD) và MN // AD nên MN // (ABCD).
0,75
2
 Giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (SAD)là đường thẳng đi qua S và song song với AD .
0,25
3
3/ Tìm giao điểm Q của CD với mặt phẳng (MNP). Mặt phẳng (MNP) cắt hình chóp S.ABCD theo một thiết diện là hình gì ? .
Ba mặt phẳng (MNP) ,(SAD) và (ABCD) cắt nhau theo ba giao tuyến MN , PQ , AD , đồng thời MN //AD nên ba đường thẳng PQ , MN . AD đôi một song song .
Trong mặt phẳng (ABCD) , qua điểm P kẻ đường thẳng song song với AD ,cắt CD tại Q . Điểm Q là giao điểm cần tìm .
0,75
4
4/ Gọi K là giao điểm của PQ và BD .Chứng minh rằng ba đường thẳng NK , PM và SB đồng qui tại một điểm.
Trong mặt phẳng (SAB) , hai đường thẳng SB và PM không song song nên chúng cắt nhau tại I .
Suy ra I là điểm chung của hai mặt phẳng (MNP) và (SBD) .
Lại có (SBD) và (MNP) cắt nhau theo giao tuyến KN nên điểm I phải thuộc đường thẳng NK .
Vậy ba đường thẳng SB , MP , NK đồng qui tại I .
0,5