Đề giao lưu Olympic môn Toán Lớp 8 - Trường THCS Nam Sách (Có đáp án)

PHÒNG GD&ĐT NAM SÁCH
TRƯỜNG THCS
ĐỀ GIAO LƯU OLYMPIC LỚP 8
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian giao đề)
ĐỀ BÀI
Bài 1 (2,0 điểm)	
	a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 + 2019x2 + 2018x + 2019
b) Rút gọn biểu thức A = ( với )
Bài 2 (2,0 điểm) 
a) Tìm các số nguyên a và b để đa thức A(x) = chia hết cho đa thức 
b) Cho x, y, z khác 0 và . Tính giá trị của biểu thức: 
Bài 3 (2,0 điểm)
a) Giải các phương trình sau: 
b) Tìm các số tự nhiên x, y biết: xy – 4x = 35 – 5y
Bài 4 (3,0 điểm) 
	Cho ABC vuông tại A, đường cao AH (H BC). Lấy điểm M trên BC (M không trùng với B, H, C). Từ M hạ các đường MK, MD lần lượt vuông góc với các cạnh AB, AC. 
Chứng minh: AH2 = BH.HC
Chứng minh KHD vuông.
Gọi Q là giao của KH và MD. Chứng minh: KH.KQ + DM.DQ = AM2
Bài 5 (1,0 điểm)
Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
...................................Hết .....................................
PHÒNG GD&ĐT NAM SÁCH
TRƯỜNG THCS
HƯỚNG DẪN CHẤM 
ĐỀ GIAO LƯU OLYMPIC LỚP 8
MÔN:TOÁN
Câu
Đáp án
Điểm
1
2,0 đ
a) x4 + 2019x2 + 2018x + 2019
= x4 + 2019x2 + 2019x – x + 2019
0,25
= ( x4 – x ) + (2019x2 + 2019x + 2019)
0,25
= x(x – 1)( x2 + x+1 ) + 2019 (x2 + x + 1)
0,25
= (x2 + x + 1) (x2 – x + 2019)
0,25
 b) A = 
 A = 
0,25
 A = 
0,25
 A = = 
0,25
 Vậy với thì A =
0,25
2
2,0 đ
a) 
Nếu A(x) chia hết cho B(x) thì A(x) = (x+1)(x - 4). M(x)
0,25
Xét A(-1) = 4 – a + b = 0 hay a – b = 4 
0,25
Xét A(4) = 64 + 4a + b = 0 hay 4a + b = -64
0,25
Suy ra a = - 12 và b = -16
0,25
b) Cho x, y, z khác 0 và . Tính giá trị của biểu thức: 
Do nên = 
Áp dụng bài toán: Nếu a + b + c = 0 thì = 3abc
0,25
0,5
0,25
 3
2,0 đ
 a) 
0,25
0,25
0,25
0,25
b) Do xy – 4x = 35 – 5y
 0,25
Do x, y là các số tự nhiên nên x+ 5 5 do đó 15 = 5.3 = 15.1
Xét: x+ 5 = 5 và y – 4 = 3 suy ra x = 0 và y = 7 (t/m)
Xét: x+ 5 = 15 và y – 4 = 1 suy ra x = 10 và y = 5 (t/m)
Vậy các cặp số tự nhiên (x, y) cần tìm là (0,7) và (10, 5)
0,25
0,25
0,25
4
3,0 đ
Vẽ đúng hình
0,25
a) CM: AH2 = BH.HC
CM được: 
0,5
 0,25
b) CM:KHD vuông
- CM: tứ giác AKMD là hình chữ nhật 
0,25
- Gọi O là giao của AM và DK, suy ra AM = DK
0,25
- Xét HAM vuông tại H có HO = AM
0,25
Suy ra HO = DK KHD vuông tại H.
0,25
c) Chứng minh: KH.KQ + DM.DQ = AM2
Hạ QP DK
0,15
CM: 
0,3
0,3
Từ (1) và (2) suy ra:
 DM.DQ + KH.KQ = DP.DK + PK.DK = (DP + PK) . DK = DK2
0,25
 5
1,0 đ
Từ: a + b + c = 1 	
Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 2019, khi a = b = c = 
0,25
0,25
0,25
0,25
Ghi chú: HS làm theo cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.