Đề giao lưu Olympic môn Toán Lớp 8 - Năm học 2018-2019 - Trường THCS Nam Sách (Có đáp án)

PHÒNG GD& ĐT NAM SÁCH
TRƯỜNG THCS
ĐỀ GIAO LƯU OLYMPIC LỚP 8
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2,0 điểm).
a) Rút gọn biểu thức: A= (x2 + x - 12) : (x - 3) – (x2y – xy) : xy.
b) Biết x + y = 4 và x2 + y2 = 14. Tính giá trị của biểu thức B= x5 + y5 
Câu 2 (2,0 điểm). 
	a) Tìm đa thức f(x), biết f(x) chia cho x + 3 thì dư 5, f(x) chia cho x +2 thì dư 7, f(x) chia cho (x +2)(x +3) được thương là 2x và còn dư.
	b) Giải phương trình: 
Câu 3 (2,0 điểm).
a) Tìm (x;y) nguyên thỏa mãn: 
	b) Tìm số tự nhiên x biết: và p là số nguyên tố.
Câu 4 (3,0 điểm). 
Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh DC lấy điểm E (). Trên cạnh BC lấy điểm F sao cho , DB cắt AE, AF thứ tự tại M và N.
a) Chứng minh: AEC đồng dạng với ANB
b) Chứng minh 
c) Gọi H là giao điểm của MF và NE. Chứng minh rằng:
 FH.FM + EH.EN = EE2 
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hai số thực dương x; y thỏa mãn x + y 6. 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 
----------------------------Hết-------------------------
PHÒNG GD&ĐT NAM SÁCH
TRƯỜNG THCS
HƯỚNG DẪN CHẤM 
ĐỀ GIAO LƯU OLYMPIC LỚP 8
MÔN: TOÁN
Câu
Đáp án
Điểm
1
( 2,0 điểm)
a) (1,0 điểm) 
A= ( x - 3)(x+4) : (x - 3) – xy(x – 1) : xy
0,25
 = (x+4) – (x – 1) 
0,25
 = x+4 – x +1 
0,25
 = 5
0,25
b) (1,0 điểm)
 Vì (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 
 mà x2 + y2 = 14 và x + y =4 Suy ra xy= 1
0,25
 Tính x3 + y3 = (x+y)(x2 - xy + y2) =4(14-1) =52
0,25
(x3 + y3) (x2 + y2) = x5 + x3 y2 + x2 y3 +y5
 = (x5 +y5) + (xy)2 (x+ y) 
0,25
Suy ra x5 +y5 =14. 52 – 1.4=724
0,25
2
( 2,0 điểm)
a) (1,0 điểm)
Vì đa thức chia có bậc là 2 nên đa thức dư có dạng: 
ax + b suy ra f(x) = 2x.(x +2)(x +3) + ax + b
0,25
Do f(x) chia cho x + 3 dư 5, f(x) chia cho x +2 dư 7
Nên 
0,25
Suy ra: a=2 và b= 11
0,25
Tìm được: f(x) = 2x3 + 7x2 +14x +11
0,25
b) (1,0 điểm) 
ĐKXĐ: và 
0,25
Biến đổi về phương trình: x2 - 4x + 3=0 
0,25
Giải ra được: 
0,25
Đối chiếu với ĐKXĐ kết luận nghiệm x=1
0,25
3
( 2,0 điểm)
a) (1,0 điểm) 
Biến đổi phương trình thành: (x+5)(3y+1)=13
0,25
Vì x;y nguyên nên (x+5);(3y+1) nguyên suy ra
hoặchoặchoặc
0,25
Giải ra được: ; ; 
0,25
Vậy (x;y) nguyên là: (-4;4) và (8;0)
0,25
b) (1,0 điểm) 
Vì là số lẻ nên x là số lẻ suy ra: x=2k+1 (k)
0,25
Ta có: (2k+1)2 = 4p + 1p=k(k+1)
0,25
Vì kk < k+1, mà p nguyên tố nên k=1p=2
0,25
 ( vì x). Vậy x=3
0,25
4
( 3,0 điểm)
a) (1,0 điểm)
Hình vẽ đúng cho phần a
0,25
Vì tứ giác ABCD là hình vuông 
0,25
Ta có 
0,25
Xét ∆AEC và ∆ANB có: 
; 
Þ ∆AEC đồng dạng ∆ANB (g-g)
0,25
b) (1,0 điểm)
ABC vuông tại B AC2 = AB2 + BC2 (định lí Py-ta-go). 
Mà AB = BC (vì tứ giác ABCD là hình vuông)
 AC2 = 2AB2 
0,25
Ta có ∆ANB đồng dạng ∆AEC (g-g) (1)
Chứng minh tương tự phần a, ta được ∆AMD đồng dạng ∆AFC (2)
Từ (1) và (2) 
0,25
Xét AMN và AFE có và chung
AMN đồng dạng AFE (c-g-c)
tỉ số đồng dạng là 
0,25
0,25
c) (1,0 điểm)
 Theo chứng minh trên ta có: 
 Xét ANE và ABC có:
 và 
 ANE đồng dạngABC (c – g – c)
Chứng minh tương tự ta có 
0,25
 Vẽ HI^ EF tại I.
 Chứng minh ∆FHI đồng dạng ∆FEM(g.g)
 FH.FM = FI.FE (3)
0,25
Tương tự ta có EH.EN = EI.EF (4)
0,25
Từ (3) và (4) FH.FM + EH.EN = FI.FE + EI.EF
 FH.FM + EH.EN = FE(FI + EI) = EF.EF = EF2
 FH.FM + EH.EN= EF2 
0,25
5
( 1,0 điểm
0,25
Vì x, y > 0, áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương và ; và ta được:
 ; 
0,25
 ( vì x + y 6 )
Dấu "=" xảy ra ó 
0,25
Vậy GTNN của P là 48 khi x=y=3
0,25