Đề cương ôn thi THPT Quốc gia năm học 2014-2015 - Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan - Ngô Văn Khánh

của đồ thị hàm số với đường thẳng y = m – 1.
Vậy
: Phương trình có 1 nghiệm.
: Phương trình có 2 nghiệm.
: Phương trình có 3 nghiệm.
: Phương trình có 2 nghiệm.
: Phương trình có 1 nghiệm.
Ví dụ 2.Cho hàm số có đồ thị (C)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).
Dựa vào đồ thị (C) tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
Giải
a)
	Thực hiện các bước tương tự như bài tập 2, ta được đồ thị hàm số sau:
b)
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y=m+1.
Dựa vào đồ thị, phương trình có 4 nghiệm phân biệt 
Ví dụ 3. Cho hàm số có đồ thị (C).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y = x – m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.
Giải
a) HS tự trình bày.
b)
Đường thẳng y = x – m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Xét phương trình: 
	Có 
Vậy với mọi m thì đường thẳng y = x – m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.
Ví dụ 4.Cho hàm số .Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(- 1; 0) với hệ số góc là k ( k thuộc R). Tìm k để đường thẳng d cắt (C) tại ba điểm phân biệt và hai giao điểm B, C (B, C khác A ) cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1.
Giải
Đường thẳng d đi qua A(-1; 0) với hệ số góc là k, có phương trình là:
 y = k(x+1) = kx+ k.
Nếu d cắt (C) tại ba điểm phân biệt thì phương trình: x3 – 3x2 + 4 = kx + k 
x3 – 3x2 – kx + 4 – k = 0 (x + 1)( x2 – 4x + 4 – k ) = 0
 có ba nghiệm phân biệt g(x) = x2 – 4x + 4 – k = 0 có hai nghiệm phân biệt khác - 1
Với điều kiện: (*) thì d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C.Với A(-1;0), do đó B,C có hoành độ là hai nghiệm của phương trình g(x) = 0. 
Gọi với là hai nghiệm của phương trình: . Còn . 
Ta có: 
Khoảng cách từ O đến đường thẳng d: 
Vậy theo giả thiết: 
Ví dụ 5. Cho hàm số Tìm tham số m để đường thẳng d: y = - 2x + m cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng .
Giải
Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (C):
D cắt (C) tại 2 điểm phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt khác -1.. 
Chứng tỏ với mọi m d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B
Gọi . Với: là hai nghiệm của phương trình (1) 
Ta có .
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên d, thì khoảng cách từ O đến d là h:
Theo giả thiết: 
Vậy: 
Với m thỏa mãn điều kiện (*) thì d cắt (C) tại A, B thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 6. Cho hàm số (1). Tìm m để đường thẳng d: y = x + 4 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tam giác MBC có diện tích bằng 4. (Điểm B, C có hoành độ khác không ; M(1;3) ).
Giải
Đồ thị (1) cắt d tại ba điểm A, B, C có hoành độ là nghiệm của phương trình:
Với m thỏa mãn (*) thì d cắt (1) tại ba điểm A(0; 4), còn hai điểm B,C có hoành độ là hai nghiệm của phương trình: 
- Ta có 
-Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên d. h là khoảng cách từ M đến d thì:
- Theo giả thiết: S = 4 
Kết luận: với m thỏa mãn: (chọn).
Ví dụ 7. Cho hàm số . Xác định để đồ thị cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt sao cho hình phẳng giới hạn bởi và trục Ox có diện tích phần phía trên trục Ox bằng diện tích phần phía dưới trục Ox.
Giải
 Đồ thị hàm số cắt Ox tại 4 điểm phân biệt (1) có 4 nghiệm phân biệt
(2) có 2 nghiệm dương phân biệt
Hai nghiệm của (2) là , do nên 4 nghiệm phân biệt của (1) theo thứ tự tăng là: 
Hàm số là chẵn nên hình phẳng trong bài toán nhận Oy làm trục đối xứng. Khi đó đồ thị có dạng như hình bên.
Bài toán thỏa mãn 
. 
KL: thỏa mãn yêu cầu
Ví dụ 8. Gọi là đồ thị của hàm số . Tìm để đường thẳng cắt tại bốn điểm phân biệt A, B, C, D sao cho 
Giải
Xét phương trình hoành độ giao điểm 
Đặt , ta có phương trình 
Để có 4 giao điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm dương phân biệt 
Với điều kiện trên phương trình (*) có hai nghiệm dương . Theo Vi-et ta có, 
Từ 
Đặt 
Theo đề 
Vậy điều kiện phải tìm là .
Ví dụ 9. Cho hàm số có đồ thị là . Định để đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.
Giải
	Xét phương trình hoành độ giao điểm: 	(1)
Đặt thì (1) trở thành: .
Để (Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt thì phải có 2 nghiệm dương phân biệt 
	 (*)
Với (*), gọi là 2 nghiệm của , khi đó hoành độ giao điểm của (Cm) với Ox lần lượt là: 
	 lập thành cấp số cộng 
Vậy 
Ví dụ 10. Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2.
Giải
	Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và đường thẳng : 
	 Û Û 
Đường thẳng cắt (Cm) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác ±1 và nhỏ hơn 2
	Û Û 
Bài tập đề nghị.
Bài 1. (Cho hàm số và đường thẳng Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt
a) có hoành độ dương
b) có hoành độ lớn hơn 2
c) có hoành độ thỏa mãn 	
Bài 2. Cho hàm số và đường thẳng Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt
a) có hoành độ lớn hơn –1
b) có hoành độ thỏa mãn 
Bài 3. Cho hàm số và đường thẳng Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn hoặc bằng 1.
Bài 4. Cho hàm số 
Tìm m để đồ thị (C) cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương.
Bài 5. Cho hàm số y = 2x3 – 3x2 – 1, có đồ thị là (C). Gọi (dk) là đường thẳng đi qua A(0; –1) và có hệ số góc bằng k. Tìm k để đường thẳng dk cắt (C) tại 
a) 3 điểm phân biệt.
b) 3 điểm phân biệt, trong đó hai điểm có hoành độ dương.
Bài 6. Cho hàm số y = x3 + 2mx2 + (m + 3)x + 4, có đồ thị (Cm).
a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
b) Cho d là đường thẳng có phương trình y = x + 4 và điểm K(1 ; 3). Tìm m để d cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0 ; 4), B, Csao cho tam giác KBC có diện tích bằng .
Bài 7. Cho hàm số (1), m là tham số thực
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi .
b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại 3 điểm phân biệt ; B; C sao cho tam giác có diện tích , với 
Cho hàm số có đồ thị là (C) và hai điểm 
	a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	b) Tìm các điểm M thuộc (C) sao cho tam giác ABM cân tại M
Cho hàm số: 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	b) Viết phương trình đường thẳng d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N sao cho và 
Cho hàm số 
	a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
	b) Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị (C). Tìm tọa độ các điểm M thuộc (C) sao cho tam giác MAB cân tại M. 
Cho hàm số: 
	a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm m để đường thẳng cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho A cố định và diện tích tam giác OBC gấp hai lần diện tích tam giác OAB
Cho hàm số có đồ thị là (Cm).Tìm m để đường thẳng (d): y = x + 4 cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho với D(1; 3).
Cho hàm số có đồ thị với m là tham số 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi 
b) Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt sao cho bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng với 
Cho hàm số: (C)
	a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m=1
	b) Tìm m để đồ thị hàm số (C) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn điều kiện 
Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 1 có đồ thị là (Cm); (m là tham số) Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0;1), D, E sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại D và E vuông góc với nhau
Cho hàm số y = x3- (m+1)x2 + (m - 1)x + 1Chứng tỏ rằng với mọi giá trị khác 0 của m, đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt A, B, C trong đó B, C có hoành độ phụ thuộc tham số m. Tìm giá trị của m để các tiếp tuyến tại B, C song song với nhau.	
Cho hàm số có đồ thị là (Cm), m là tham số.
	a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
	b) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 3.
Cho y =x4 -2(m+1)x2 +2m+1Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng
Cho hàm số: có đồ thị ( ).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ). 
b)Xác định m để đường thẳng (d): cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng (với O là gốc tọa độ).
(KB-2010) Cho hàm số: y = 
	a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ). 
	b) Tìm m để đường thẳng y = -2x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng (O là gốc tọa độ).
Cho hàm số .
	a) Khảo sát hàm số 
	b) Gọi (d) là đường thẳng qua A( 1; 1 ) và có hệ số góc k. Tìm k sao cho (d) cắt ( C ) tại hai điểm M, N và .
Cho hàm số có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm m để đường thẳng cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho .
Cho hàm số có đồ thị là (C). Chứng minh đường thẳng d: y = -x + m luôn luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.
Cho hàm số có đồ thị là (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 
 b) Tìm m để đường thẳng (d): y = mx+3 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O. 
Cho hàm số ( C )
a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số.
b) Tìm m để (dm) cắt (C) tại hai điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của (C).
 Cho hàm số y = (1). Tìm m để đường thẳng dm: y = mx + 2 - 2m cắt đồ thị của hàm số (1) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh khác nhau.
 Cho hàm số: .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị m thì trên (C) luôn có cặp điểm A, B nằm về hai nhánh của (C) thỏa mãn 
Cho hàm số y = (C) và đường thẳng d: y = x+m cắt đồ thị tại các điểm và sao cho tam giác nhận điểm làm trực tâm. Với I là giao điểm của hai đường tiệm cận
Cho hàm số (C). Tìm số thực dương m để đường thẳng cắt (C) tại hai điểm A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 1 trong đó O là gốc tọa độ.
Cho hàm số . Tìm những điểm trên (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại điểm đó tạo với hai trục tọa độ một tam giác có trọng tâm cách trục hoành một khoảng bằng .
Cho hàm số (1).Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C), đường thẳngcắt tại hai điểm A, B với có hoành độ dương. Viết phương t