Đề cương ôn thi THPT Quốc gia năm học 2014-2015 - Đại số tổ hợp, xác suất - Nguyễn Quang Tuấn

 chia hết cho 5. Gọi A là biến cố chọn dc số chia hết cho 5 thì n(A)=1560
Ví dụ 4. Cho tập . Viết ngẫu nhiên lên bảng hai số tự nhiên, mỗi số gồm 3 chữ số đôi một khác nhau thuộc tập E. Tính xác suất để trong hai số đó có đúng một số có chữ số 5.
Lời giải
Số các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau thuộc tập E là: 
Trong đó số các số không có mặt chữ số 5 là 4.3.2=24, và số các số có mặt chữ số 5 là .
Gọi A là biến cố “hai số được viết lên bảng đều có mặt chữ số 5”, B là biến cố “hai số viết lên bảng đều không có mặt chữ số 5”. Rõ ràng A,B xung khắc. Do đó áp dụng qui tắc cộng xác suất ta có:
.
Suy ra xác suất để trong hai số đó có đúng một số có chữ số 5 là .
Ví dụ 5. Trong một kì thi. Thí sinh được phép thi 3 lần. Xác suất lần đầu vượt qua kì thi là 0,9. Nếu trượt lần đầu thì xác suất vượt qua kì thi lần hai là 0,7. Nếu trượt cả hai lần thì xác suất vượt qua kì thi ở lần thứ ba là 0,3. Tính xác suất để thí sinh thi đậu.
Lời giải
	Gọi Ai là biến cố thí sinh thi đậu lần thứ i (i = 1;2;3). Gọi B là biến cố để thí sinh thi đậu.
Ta có: 
Suy ra: 
Trong đó: 
Vậy:
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1) Từ các chữ số của tập , người ta ghi ngẫu nhiên hai số tự nhiên có ba chữ số khác nhau lên hai tấm thẻ. Tính xác suất để hai số ghi trên hai tấm thẻ đó có ít nhất
một số chia hết cho 5.
2) Có 10 học sinh lớp A; 9 học sinh lớp B và 8 học sinh lớp C. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ các học sinh trên. Tính xác suất sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn và có ít nhất 2 học sinh lớp A. 
3) Một hộp đựng 11 viên bi được đánh số từ 1 đến 11. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi rồi cộng các số trên viên bi lại với nhau. Tính xác suất để kết quả thu được là một số lẻ.
4) Một chiếc hộp đứng 6 cái bút màu xanh, 6 cái bút màu đen, 5 cái bút màu tím và 3 cái bút màu đỏ. Lấy ngẫu nhiên ra 4 cái bút. Tính xác suất để lấy được ít nhất 2 bút cùng màu.
CHUYÊN ĐỀ 6: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Biên soạn và sưu tầm: Hoàng Văn Quý – GV trường THPT Lương Tài số 2
1. Kiến thức liên quan
1.1. Công thức nguyên hàm cơ bản
Nguyên hàm của hàm số cơ bản
Nguyên hàm mở rộng
1.2. Công thức tích phân
	F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] thì
1.3. Phương pháp đổi biến số
1.3.1. Dạng 1 : Tính I = 
+ Đặt t = 
x
 a b
t
 + Đổi cận : 
 	 I = 
1.3.2. Dạng 2 : Tính I = bằng cách đặt x = 
 Dạng chứa  : Đặt x = asint, t (a>0)
1.4. Phương pháp tích phân từng phần
 * Công thức tính : 
ò Đặt 
Ta thường gặp hai loại tích phân như sau:
* Loại 1: 
 , trong đó là đa thức bậc n. 
*Loại 2: 
1.5. Tính chất tích phân
Tính chất 1: , k: hằng số
Tính chất 2: 
Tính chất 3: 
1.6. Diện tích hình phẳng
1.6.1. Dạng 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b]. khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a và x = b là:
 (*)
Lưu ý: 
 vô nghiệm trên (a;b) thì
 có 1 nghiệm thì 
1.6.2. Dạng 2: Cho hai hàm số y = f1(x) và y = f2(x) liên tục trên [a; b]. Khi đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số f1(x), f2(x) và hai đường thẳng x = a, x = b là: 
 (**)
	Lưu ý: Khử dấu giá trị tuyệt đối của công thức (**) thực hiện tương tự đối với công thức (*).
1.7. Thể tích vật thể tròn xoay
Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 
y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quay xung quanh trục Ox là: 
Lưu ý: Diện tích, thể tích đều là những giá trị dương.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau
Lời giải
Ví dụ 2. Tính các tích phân sau
Lời giải
Đặt ta được 
Đổi cận: 
Khi đó 
Đặt ta được 
Đổi cận
Khi đó 
Tính ta được kết quả
Đặt ta được 
Đổi cận
Khi đó 
Vậy ta được 
Tính ta được kết quả 
Tính 
Đặt ta được 
Đổi cận 
Khi đó 
Vậy ta được 
Ví dụ 3. Tính các tích phân sau
Lời giải
Đặt 
Đổi cận
Khi đó
Đặt
Đổi cận
Khi đó
Đặt 
* Chú ý: Ta thường đặt t là căn, mũ, mẫu.
 - Nếu hàm có chứa dấu ngoặc kèm theo luỹ thừa thì đặt t là phần bên trong dấu ngoặc nào có luỹ thừa cao nhất.
	- Nếu hàm chứa mẫu số thì đặt t là mẫu số.
	- Nếu hàm số chứa căn thức thì đặt t = căn thức.
 - Nếu tích phân chứa thì đặt .
 - Nếu tích phân chứa thì đặt .
 - Nếu tích phân chứa thì đặt .
 - Nếu tích phân chứa thì đặt .
 - Nếu tích phân chứa thì đặt .
 - Nếu tích phân chứa thì đặt .
 - Nếu tích phân chứa thì đặt .
 - Nếu tích phân chứa thì đặt .
Ví dụ 3. Tính các tích phân
a) 	
Lời giải
 a) 
Ví dụ 4. Tính các tích phân sau
Lời giải
Tính 
Vậy 
Vậy 
Đặt 
Ví dụ 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
a) , trục hoành và hai đường thẳng x=0, x=2.
b) , và hai đường thẳng x =0, x=2.
c) 
Lời giải
a) , trục hoành và hai đường thẳng x= 0, x=2.
Trên [0; 2] ta có 
Diện tích của hình phẳng đã cho:
b) Đặt 
Ta có: 
Diện tích hình phẳng đã cho
c) Ta có: 
Diện tích hình phẳng
Ví dụ 6. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình (D) quanh trục Ox biết (D) giới hạn bởi 
Lời giải
Ta có: 
Áp dụng công thức: 
Ta có: 
Bài Tập tự luyện
Bài 1: Tính các tích phân sau
1.	2. 	3. 	
4. 	5. 	6. 
7. 	8. 	9. 
10. 	11. 	12. 
13. 	14. 	15. 
16. 
Bài 2: Tính các tích phân sau
1. 	2. 	3. 
4. 	5. 	6. 
7. 	8. 	9.
12. 	11. 	12. 
13. 	14. 	15. 
16. 	17. 	18. 
19. 	20. 	21. 
22. 	23. 	24. 
Bài 3: Tính các tích phân sau 
1. 	2. 	3. 
4. 	5. 	6. 
7. 	8. 	9. 
10. 	11. 	12. 
13. 	14. 	
Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) , trục hoành, x = 0 và x = 2.
b) và trục hoành.
c) 
d) và tiếp tuyến của nó tại điểm có tung độ bằng -2.
e) 
f)
g) 
Bài 5: Tính thể tích vật tròn xoay khi quay các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục hoành:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
CHUYÊN ĐỀ 7: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Biên soạn và sưu tầm: Hoàng Văn Quý – GV trường THPT Lương Tài số 2
1. Kiến thức liên quan
1.1. Một số phép toán vectơ
11. M là trung điểm AB
12. G là trọng tâm tam giác ABC
1.2. Phương trình mặt phẳng
*) Phương trình mp(a) qua M(xo ; yo ; zo) có vtpt = (A;B;C)
A(x – xo) + B(y – yo ) + C(z – zo ) = 0
 (a) : Ax + By + Cz + D = 0 thì ta có vtpt = (A; B; C)
*) Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) là
 Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng ta cần xác định tọa độ điểm đi qua và 1 véctơ pháp tuyến.
*) Vị trí tương đối của hai mp (a1) và (a2) :
 	° cắt
	° 
	° 
 ° 
*) Khoảng cách từ M(x0,y0,z0) đến (a) : Ax + By + Cz + D = 0
*) Góc giữa hai mặt phẳng : 
1.3. Phương trình đường thẳng
*) Phương trình tham số của đường thẳng d qua M(xo ;yo ;zo) có vtcp = (a1;a2;a3)
*) Phương trình chính tắc của d : 
*) Vị trí tương đối của 2 đường thẳng d , d’ : Ta thực hiện hai bước
 + Tìm quan hệ giữa 2 vtcp , 
 + Tìm điểm chung của d , d’ bằng cách xét hệ: 
Hệ (I)
Quan hệ giữa , 
Vị trí giữa d , d’
Vô số nghiệm
Cùng phương
Vô nghiệm
Có 1 nghiệm
Không cùng phương
d cắt d’
Vô nghiệm
d , d’ chéo nhau
*). Góc giữa 2 đường thẳng : Gọi là góc giữa d và d’
1.4. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Các bài toán cơ bản( các yếu tố đã cho sẵn)
Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm, đi qua một điểm và song song với mặt phẳng cho trước...
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm, song song với đường thẳng cho trước... 
Chứng minh ABCD là một tứ diện, tính diện tích tam giác biết tọa độ ba điểm...
Tìm tọa độ hình chiếu của điểm trên đường thẳng, mặt phẳng...
Viết phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính, đi qua 4 điểm đã cho...
Dạng 2: Bài toán về phương trình mặt phẳng và các vấn đề liên quan
Viết phương trình mặt phẳng bằng cách xác định VTPT
Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách 
Viết phương trình mặt phẳng dạng đoạn chắn
Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc
Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu
Các dạng toán khác về mặt phẳng
Dạng 3: Bài toán về phương trình đường thẳng và các vấn đề liên quan 
Viết phương trình đường thẳng bằng cách xác định VTCP
Viết phương trình đường thẳng liên quan đến đường thẳng khác 
Viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách 
Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc 
Viết phương trình đường thẳng liên quan đến diên tích tam giác
Dạng 4 Các bài toán tổng hợp
1.5. Phương trình mặt cầu
1.5.1. Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c), bán kính R 
 (1)
 +/(2) ()
	+/Ta có: Tâm I(a ; b ; c) và	
1.5.2. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
 Cho và ( a) : Ax + By + Cz + D = 0 
	Gọi d = d(I,(a)) : khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mp(a).
d > r : (S) Ç (a) = 
d = r : (a) tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm, (a): tiếp diện)
*Tìm tiếp điểm H (là hình chiếu vuông góc của tâm I trên mp(a) )
+ Viết phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc mp(a) : ta có 
+ H = d (a)
Gọi H (theo t) d 
H(a) t = ? tọa độ H
d < r : (a) cắt (S) theo đường tròn (C): 
 *Tìm bán kính R và tâm H của đường tròn giao tuyến:
	+ Bán kính 
	+ Tìm tâm H ( là hình chiếu vuông góc của tâm I trên mp(a) )
1.5.3. Các dạng toán cơ bản về mặt cầu
Viết phương trình mặt cầu bằng cách xác định tâm và bán kính.
Viết phương trình mặt cầu bằng cách xác định hệ số của phương trình tổng quát.
Bài toán khác liên quan đến mặt cầu.
2. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 
Chứng minh hai đường thẳng song song. Viết phương trình mp(P) chứa 2 đường thẳng trên
Lời giải
Ta có suy ra hai véc tơ cùng phương.
Ta có và 
Suy ra hai đường thẳng song song
Ta có với N(0;1;0)
Phương trình mp(P): x+z-4=0
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x-2y-3z+1=0 và mặt phẳng (Q): 5x+2y+5z-1=0. Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với mp(P) và mp(Q) đồng thời biết khoảng cách từ gốc tọa độ đến mp(R) bằng 1.
Lời giải
Ta có 
Suy ra phương trình (R) là: -4x-30y+16z+D=0
Ta có
Vậy phương trình mp(R) là: 
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0,1,2), B(2,-2,1), C(-2;0;1)
1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C
 2. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng 2x+2y+z-3=0 sao cho MA=MB=MC
Lời giải
1.Viết phương trình mặt phẳng đi q