Đề cương ôn tập học kỳ II Toán lớp 11

Chương 4 : Giới hạn
Bài toán 1. Tính giới hạn của dãy sô:
Ví dụ: Tìm các giới hạn: 
1/ 2/ 3/ 4/ 
Giải:
1/ 	3/ .
2/ 	4/=lim 
Bài tập: Tính các giới hạn sau: 
1) Lim	 2) lim 
3) lim
4) lim 	
5) lim(n – 2n3) 
6) lim ( 
7) lim 
8) lim	
9) 
10) lim
Bài toán 2: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Phương pháp giải: Sử dụng công thức: 
Ví dụ: Tính tổng 
Giải:
	Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, với và . Vậy: 
Bài tập: Tính tổng 
1/ 	2/ S = 
3/ 
Bài toán 3: Tính giới hạn của hàm số 
Phương pháp chung:
- Sử dụng kết quả của đlí 2 và các giới hạn cơ bản sau:
1. (C = const)
2. Nếu h/s f(x) x/đ tại điểm x0 thì 
3. (với n > 0)
- Khử dạng vô định ; ; ; 0 x ∞
Ghi chú:
* Nếu PT f(x) = 0 có nghiệm x0 thì f(x) = (x-x0).g(x)
* Liên hợp của biểu thức:
 	1. là 	 	2. là 	
 3. là 	4. là 
Bài tập: Tính các giới hạn sau:
1, 
2, 
3, 
4, 
5, 
6, 
7, 
8, 
9, 
10, 
11, 
12, 
13, 
14, 
15, 
16, 
17, 
Bài toán 4: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm 
– Dạng I: Cho h/s Xét tính liên tục của h/s tại điểm x0 ?
Phương pháp chung:
B1: Tìm TXĐ: D = R
B2: Tính f(x0); 
B3: = f(x0) KL liên tục tại x0
– Dạng II: Cho h/s Xét tính liên tục của h/s tại điểm x0 ?
Phương pháp chung:
B1: Tính f(x0) = f1(x0)
B2: (liên tục phải) tính:
B3: (liên tục trái) tính: 
B4: L1 = L2 = f1(x0)KL liên tục tại x0
Bài toán 5: Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng
Phương pháp chung:
B1: Xét tính liên tục của h/s trên các khoảng đơn
B2: Xét tính liên tục của h/s tại các điểm giao
B3: Kết luận
Bài toán 6: Sử dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm
Phương pháp chung: Cho PT: f(x) = 0. Để c/m PT có k nghiệm trên :
B1: Tính f(a), f(b) Þ f(a).f(b) < 0	
B2: Kết luận về số nghiệm của PT trên 
Bài tập 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau:
1, tại x = -2	2, f(x) = tại x = 3
3, tai x = 0	 4, tại x = 1
Bài tập 2: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng
1, 	2, 
3, 	4, 
5, 	6, 
Bài tập 3: Tìm số thực a sao cho các hàm số liên tục trên R:
1, 	2, 
 Bài tập 4:
1, CMR phương trình có ít nhất một nghiệm
Xét hàm số liên tục trên R nên f(x) liên tục trên [0;1]
 	 Và 
Nên phương trình có ít nhất một nghiệm , vậy bài toán được chứng minh.
2, CMR phương trình sau có ít nhất hai nghiệm: 
3, CMR phương trình sau có it nhất một nghiệm âm: 
4, CMR: Phương trình x4-3x2 + 5x – 6 = 0 có nghiệm trong khoảng (1; 2).
5, Chứng minh phương trình có ít nhất một nghiệm . 
6, Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
Chương 5 : Đạo hàm
- Các công thức tính đạo hàm: 
Đạo hàm của hàm số sơ cấp cơ bản
Đạo hàm của hàm số hợp
=0
(C lµ h»ng sè)
=1
(kx)’=k (k lµ h»ng sè )
=n.xn-1
(nN, n2)
=n.Un-1.
(x0)
=
(x>0)
- Các quy tắc tính đạo hàm (Ký hiệu U=U(x), V=V(x)).
 (k là hằng số)
- Đạo hàm của hàm số hợp: g(x) = f[U(x)] , x = . 
- Đạo hàm cấp cao của hàm số 
 Đạo hàm cấp 2 : 
 Đạo hàm cấp n : 
Bài toán 1. Tìm đạo hàm của hàm số:
Bài tập 1: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
9. 
10. 
11. 
12.
13. 14. 15. 16. 
18) y = 
19) 20) 
21) 
22) 
23) 
24) 
25) 
26) 
27) 
28/ y= x 
29/ y= (x2-+1) 
30/ y= 
31/ y= (2x+3)10 
32/ y= (x2+3x-2)20 
Bài tập 2: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
1) 2) 3) 4) 5) 
6) 7) 
8) 
9) 
10) 11) 
12) y = 
13) y = cos ( x3 ) 
14) y= 5sinx-3cosx 
15) y = x.cotx 
16) 
17) y= sin(sinx)
18) 
19) 
20) 
21) 
22) 
Bài tập 3: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
Áp dung: 
Dạng toán 2. Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm: 
Bài tập: Tìm đạo hàm các hàm số sau tại điểm đã chỉ ra:
a) y = x2 + x ; x0 = 2
b) y = ; x0 = 2
c) y = ; x0 = 0
d) y = - x; x0 = 2	
e) y = x3 - x + 2; x0 = -1
f) y = ; x0 = 3
g) y = x.sinx; x0 = 
h) y = 4cos2x + 5 sin3x; x0 = 
i) Cho , tính f ’’(1)
k) Cho y = x cos2x . Tính f”(x)
m) Cho .
l). Tính 
Dạng toán 3: CMR hệ thức chứa đạo hàm:
Bài tập 1. CM các hàm số thỏa mãn các hệ thức
a) b) 
c) Cho hàm số y =; y’' = - y	d) Cho y = ; 2(y’)2 =(y -1)y’’
e) Cho y = ; y’ = cotg4x	f) Cho f(x) = ; 
g) Chứng tỏ hàm y = acosx+bsinx thỏa hệ thức y’’ + y = 0 
h) Cho hàm số: . Chứng minh rằng: 2y.y’’ – 1 =y’2
i) Cho hàm số y = cos22x.
a) Tính y”, y”’.
b) Tính giá trị của biểu thức: A= y’’’ +16y’ + 16y – 8.
 Bài tập 2. Giải phương trình : f’(x) = 0 biết rằng:
a) f(x) = cos x +sin x + x.	b) f(x) = 	
c) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x	d) f(x) = 2x4 – 2x3 – 1 
 Bài tập 3. Giải bất phương trình f/(x) < 0 với f(x) = x3+x2+ p .
Bài tập 4. Cho . Tìm x để: a) y’> 0 b) y’< 0
Bài tập 5. Cho hàm số 
Dạng toán 4: Viết PTTT của đường cong (C):
+ Đi qua 1 điểm:biết hoành độ (hoặc tung độ) của tiếp điểm;
+ Biết hệ số góc của tiếp tuyến hoặc biết tiếp tuyến song song (hoặc vuông góc) với 1 đường thẳng
Bài toán 1 :Viết PTTT với đồ thị ( C ) tại điểm M0(x0;y0) thuộc ( C ) 
 - PTTT có dạng (d) : y = f’(x0) (x – x0) + y0
- Tìm x0 , y0 , f’(x0) theo sơ đồ : x0 Þ y0 Þ f’(x0)
-Thế vào tìm (d)
Bài toán 2 : Viết PTTT với đồ thị ( C ) có hệ số góc k
Cách 1: Giải pt f’(x) = k tìm x0 Þ y0 Þ (d)
Cách 2: 
- Pt dường thẳng (d) có hệ số góc k là : (d) : y = kx +b
- (d) tiếp xúc với ( C ) Û 
 - Giải hệ tìm b Þ (d)
Ví dụ: Viết PTTT của (C ): 
1/	Tại điểm A(2;1)
2/	Song song với đường y = 5x + 1
	Giải: Ta có: = 3x2- 4x + 1
1/	Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là k = (2) = 5 PTTT cần viết là: 
y = 5 (x-2) +1 = 5x - 9.
2/	Cách 1: Gọi tiếp điểm là M(x0;y0)
	Theo giả thuyết, ta có: (x0) = 5 3x02- 4x0 + 1 = 5x0 = 2 ; x0 = 
	+ Với x0 = 2y0=1 PTTT là: y = 5x - 9. 
	+ Với x0 =y0= PTTT là: y=5x 
Cách 2: 
- Pt dường thẳng (d) có hệ số góc k = 6 là : (d) : y = 5x +b
- (d) là tiếp tuyến của ( C ) Û 
	- Giải hệ pt trên ta được: x = 2 ; x = 
	 + Với x = 2 b = -9 PTTT là: y = 5x - 9. 
	+ Với x =b = PTTT là: y=5x 
Bài tập: 
1/ Cho đường cong (C) có phương trình: y=x3 + 4x +1
a) Viết PTTT với đương cong (C) tai điểm có hoành độ x0 = 1;
b) Tiếp tuyến có hệ số góc k = 31;
c) Song song với đường thẳng: y = 7x + 3;
d) Vuông góc với đường thẳng: y = -.
2/ Cho (C): f(x) = x4 + 2x2 – 1.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) trong mỗi trường hợp sau:
a) Biết tung độ của tiếp điểm bằng 2 ;
b) Biết rằng tiếp tuyến song song với trục hoành ;
c) Biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = - 1/8 x + 3 ;
d) Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm A (0;6).
	3/ Viết PTTT của (C ): y=x3-3x+7
1/Tại điểm A(1;5)
2/Song song với đường y=6x+1
4/ Cho (C): . Viết pttt của (C) biết nó song song với đường thẳng 3x – y – 1 = 0.
	5/ Cho đường cong (C): y =. Tìm toạ độ giao điểm của các tiếp tuyến của (C) với trục ox. Biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y =-x+1
 6/ Viết PTTT của đồ thị hàm số . Biết tiếp tuyến vuông góc với đt .
7/ Viết PTTT của đồ thị hàm số . Biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng .
8/ Cho hàm số y = f(x) = có đồ thị (C). Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = x
Dạng toán 5. Vi phân: df(x) = f ’(x)dx hay dy = y ’ dx
Ví dụ: 1/ Cho y = f(x) = x2 + 3x – 5. Ta có dy = (2x+3)dx
	2/ Cho y = f(x) = sin2x. Ta có: dy = 2cos2x dx
Bài tập . Tìm vi phân của các hàm số:
1. 2. 3.
4. 5. 
6. 7/ y= (2x+3)10 8) 9) 10) 11) 12) 
13) 14) 
Hình học
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
1. Chứng minh .
+ Cần khai thác các tính chất về quan hệ vuông góc đã biết trong mặt phẳng.
+ Chứng minh góc giữa hai đường thẳng a và b bằng .
+ ( lần lượt là vectơ chỉ phương của a và b).
+ 
2. Chứng minh .
+ .
+ .
+ 
3. Chứng minh .
4. Tính góc giữa hai đường thẳng a và b.
Tìm hai đường thẳng cắt nhau a’ và b’ lần lượt song song với a và b góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a’ và b’.
5. Tính góc giữa đường thẳng a và .
Tìm đường thẳng a’ là hình chiếu vuông góc của a trên góc giữa đường thẳng a và bằng góc giữa hai đường thẳng a và a’.
6. Tính góc giữa hai mặt phẳng và .
Tìm đường thẳng , đường thẳng góc giữa hai mặt phẳng và bằng góc giữa hai đường thẳng a và b.
7. Tính .
 (với H là hình chiếu vuông góc của M trên a)
8. Tính .
 (với H là hình chiếu vuông góc của M trên )
9. Tính (a và b là hai đường thẳng chéo nhau).
a
a’
b
M
N
- B1. Xác định đường vuông góc chung D ^a và D ^b
- B2: (nếu không thực hiện được B1) 
+ Xác định và .
+ Xác định a’ Ì (a), a’ // a, a’Ç b = N
+ Tìm điểm M trên a sao cho MN ^a .
Bài tập:
1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, tâm O và AB = SA = a, BC = , SA (ABCD) 
a. Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.
b. Gọi I là trung điểm của SC. Chứng minh IO(ABCD)
c. Tính góc giữa SC và (ABCD).
2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh bằng 1 và các cạnh bên bằng nhau và bằng .
a. Chứng minh (SBD) (SAC)
b. Tính độ dài đường cao của hình chóp.
c. Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy.
3) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tâm tại A, SA = AB = AC = a SA đáy
a. Gọi I là trung điểm BC. Chứng minh BC (SAI)
b. Tính SI
c. Tính góc giữa (SBC) và mặt đáy.
4) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA (ABCD) . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD.
a. Chứng minh BC (SAB), BD (SAC)
b. Chứng minh SC (AHK)
c. Chứng minh HK (SAC)
5) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, tâm O và SA = SC, SB = SD. 
a. Chứng minh SO (ABCD)
b. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh IKSD
6) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O, SA = a và SA (ABCD) .
a. Tính khoảng cách từ A đến (SBD).
b. Chứng minh (SBC) (SAB)
c. Tính khoảng cách từ C đến (SBD).
7) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng a, SA = a, SA vuông góc với cạnh BC, khoảng cách từ S đến cạnh BC là a.Gọi M trung điểm BC.
a) CMR: BC vuông góc với (SAM)
b) Tính chiều cao của hình chóp
c) Dựng và tính đoạn vuông góc chung của SA và BC.
8) Tứ diện S.ABC có góc ABC = 1v, AB = 2a, BC = , SA vuông góc với (ABC), SA = 2a.Gọi M là trung điểm của AB.
a)Tính góc giữa (SBC) và (ABC).
b)Tính đường cao AK của tam giác AMC
c)Tính góc giữa (SMC) và (ABC).
d