Đề cương ôn tập học kỳ II Toán 11

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II TOÁN 11
PHẦN GIẢI TÍCH
A-Lý thuyết
I-Giới hạn của dãy số
1-Một vài giới hạn đặc biệt
a)
b)với 
 c)lim( u )=c (c là hằng số) thì lim( u )=limc=c
d)Nếu thì 
d)Nếu thì 
2-Định lý về giới hạn của dãy số
 Nếu lim( u )=a , lim( v )=b thì:
 3-Tổng của CSN lùi vô hạn có công bội q,với : 
II-Giới hạn của hàm số
1-Một số giới hạn đặc biệt
2-Định lý
2)Nếu thì: 
3-Quy tắc về tính giới hạn vô cực
a)Quy tắc tính giới hạn của tích f(x).g(x)
L>0
+
+
-
-
L<0
+
-
-
+
 b)Quy tắc tính giới hạn của một thương f(x)/g(x)
Dấu của g(x)
L
Tùy ý
0
L>0
0
+
+
-
-
L<0
+
-
-
+
III-Hàm số liên tục 
1-Định nghĩa
 Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng K và x thuộc K,f(x) được gọi là liên tục tại điểm x khi 
2-Định lý
-Hàm đa thức liên tục trên R
-Hàm phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên TXĐ của nó
-Hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a,b] và f(a)f(b)<0 thì tồn tại ít nhất một điểm c thuộc khoảng (a,b) sao cho f(c)=0
IV-Đạo hàm
1-Định nghỉa
 Cho f(x) xác định trên khoảng (a,b),x thuộc khoảng(a,b)
 Để tính đạo hàm của hàm số tại điểm xo ta thực hiện
B1: Giả sử là số gia của đối số tại điểm xo, khi đó 
B2: Lập tỉ số 
B3: Tìm 
2-Quy tắc tính đạo hàm
Quy tắc tính đạo hàm
Đạo hàm của các hàm số thường gặp
Đạo hàm của hàm số hợp
3-Phương trình tiếp tuyến 
 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y=f(x) tại điểm M(x ,f(x )) là:
 y - y =f’(x )(x - x ) (*) trong đó f’(x )là hệ số góc,y =f(x ) 
Dạng 1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm 
Phương pháp: phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm là 
Chú ý: +) nếu bài toán yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ tiếp điểm , ta vẫn là dạng toán này
 +) Nếu bài toán yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ tiếp điểm , ta giải phương trình để tìm hoành độ tiếp điểm
Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số , biết rằng tiếp tuyến đó có hệ số góc là k
Phương pháp:
B1: Tính đạo hàm của hàm số 
B2: Gọi là hoành độ tiếp điểm. Giải phương trình để tìm hoành độ tiếp điểm 
B3: Viết phương trình tiếp tuyến dạng 1
4-Đạo hàm cấp hai
 Đạo hàm cấp hai f’’(x) = [f’(x)]’
 Đạo hàm cấp ba f’’’(x) = [f’’(x)]’
 Đạo hàm cấp n f (x) = [f (x)]’ 
B-BÀI TẬP
Bài 1: Tính các giới hạn sau
a) b) c)
d) e) f)
Bài 2: Tính tổng
S=+ 2++ 1 + +..
 S= -10 + 1 - +
 c) +
 d) +
Bài 3: Tính các giới hạn sau: 
Bài 4:Xét tính liên tục của hàm số: . Tại điểm xo = 2.
Bài 5: Xét tính liên tục của hàm số: Trên tập xác định của nó
Bµi 6 Xét tính liên tục của hàm số: 
 tại x=1
Bµi 7 Xét tính liên tục của hàm số trên R: 
Bài 8 a)Chứng minh phương trình 2x4+4x2+x-3=0 có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng (- 1; 1 )
 b) chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm : 2x3 – 10x – 7 = 0
 c). Chứng minh phương trình : 1-x-sinx=0 luôn có nghiệm
 d) Chứng minh phương trình : có 3 nghiệm phân biệt
Bài 9 Tìm đạo hàm các hàm số sau:
a) ; b) c) 
d) e) g) 
 h) i) k) 
l) m) n) 
Bµi 10. Giải phương trình f’(x) = 0, biết rằng
 a) f(x) = b) g(x)= 
Bài 11: Cho hàm số f(x) = x5 + x3 – 2x - 3. Chứng minh rằng
 f’(1) + f’(-1) = - 4f(0)
Bµi 12.Cho hàm số (C).
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(2; –7).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với d: .
e) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với D: 2x + 2y – 5 = 0.
Bài 13: Cho hàm số y =
a) Viết các phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có tung độ 3
b) Viết các phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 3
Bài 14 Cho hàm số .
a) Tính 	b) Tính 
PHẦN HÌNH HỌC.
I-LÝ THUYẾT
1. Véc tơ trong không gian:
Các phép toán về véc tơ, các qui tắc: qui tắc 3 điểm,qui tắc hình bình hành, qui tắc hình hộp.
Các tính chất: tính chất trung điểm, tính chất trọng tâm tam giác, trọng tâm tứ diện.
Ba véc tơ đồng phẳng, không đồng phẳng.
2.Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc:
* Góc giữa 2 đường thẳng, 2 đường thẳng vuông góc.
*.Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
-Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, áp dụng cho hình chóp, hình lăng trụ.
- Các tính chất của lăng trụ đứng, hình chóp đều.
- Điều kiện để 1 đường thẳng vuông góc với 1 mặt phẳng.
- Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc.
- Định lí 3 đường vuông góc.
* Hai mặt phẳng vuông góc:
- Góc giữa 2 mặt phẳng, cách xác định,áp dụng trong hình chóp.
- Điều kiện để 2 mặt phẳng vuông góc.
Các hệ quả của định lí 1, định lí 2, áp dụng cho hình chóp.
* Khỏang cách: 
 - Khỏang cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng ,1mặt phẳng : cách xác định, cách tính.
 - Khỏang cách giữa 2 đường thẳng song song, 2 mặt phẳng song song, giữa đường thẳng và mặt phảng song song.
 - Khỏang cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau: 3 cách tính tùy theo từng khả năng cho phép.
II-BÀI TẬP
Loại 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, với đường thẳng:
Bài 1 : Tứ diện S.ABC có SA^(ABC), DABC vuông ở B. Gọi AH là đường cao của SAB. Chứng minh rằng a) BC^ (SAB) ;b) AH^ (SBC)
Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O; gọi I, J lần lượt là trung điểm AB, BC. Biết SA=SC, SB=SD. Chứng minh rằng: a)SO ^ (ABCD). b) IJ ^ (SBD)
Bài 3 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có SA ^ (ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên SB, SC, SD. Chứng minh rằng 
a) CD ^ (SAD), BD ^ (SAC); b) SC ^ (AHK) và I Î (AHK)
c) HK (SAC), từ đó suy ra HK AI
Bài 4 Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là 2 tam giác đều, gọi I là trung điểm BC. Vẽ đường cao AH của DAID. Chứng minh rằng:
a) BC (AID); 	b) AH (BCD)
Bài 5 Tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau. Gọi H Î (ABC): OH (ABC) .Chứng minh rằng: a) BC (OAH); 
 b) H là trực tâm của ABC; c) 
Loại 2: Chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc: 
Bài 6 Cho tứ diện ABCD có 2 mặt phẳng (ABC), (ABD) cùng vuông góc với đáy (DBC). Vẽ các đường cao BE, DF của tam giác BCD; đường cao DK của tam giác ACD. Chứng minh rằng:
a) AB (BCD); b) (ABE) và (DFK) cùng vuông góc (ADC)
c)Gọi O,H lần lượt là trực tâm DBCD, DACD. Cm:OH^(ADC)
Bài 7 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh 2a; góc BAC = 600, SA (ABCD) và SA = . Chứng minh:
a)(SAC) (ABCD) và (SAC) (SBD); b)(SBC) (SDC)
Bài 8 Hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi tâm O, SA = SC, SB = SD. a)Chứng minh: SO ^ (ABCD); (SAC) ^(SBD)
b)Một mặt phẳng (a) đi qua A và song song với BD cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Chứng minh AC’ B’D’ 
Bài 9 Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm của BC, D là điểm đối xứng với A qua I. Dựng đoạn SD= vuông góc với (ABC). Cminh: (SAB) (SAC); (SBC) (SAD)
Loại 3: Góc của 2 đường thẳng ,góc giữa đường thẳng và mặt phẳnggóc giữa mặt phẳng và mặt phẳng:,:
Bài 10 Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A, D; 
AD = DC = a, AB = 2a. SA ^ AB và SA ^ AD, SA = . Tính góc: a) SB và DC (300); b) SD và BC 
Bài 11 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, BC, C’D’. Hăy Tính góc giữa:
a) AB’ và BC’; AC’ và CD’	(600 và 900)
b) MN và C’D’; BD và AD’; A’P và DN.	 (600, 450, 900)
Bài 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, 
SA = vuông góc với đáy. Tính góc của:
a) SC với (ABCD); b) SC với (SAB); c) SB với (SAC)
Bài 13 Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong 2 mặt phẳng vuông góc. Gọi I là trung điểm AB.
a)Chứng minh rằng: SI(ABCD). Tính góc hợp bởi SC với (ABCD)	
b)Tính khoảng cách d[B,(SAD)]. Suy ra góc SC với (SAD)	
c)Gọi J là trung điểm CD, chứng tỏ (SIJ) (ABCD). Tính góc hợp bởi SI với (SDC) 
Bài 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a và SO vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SA và BC. Biết góc giữa MN và (ABCD) là 600
a) Tính MN, SO. b) Tính góc của MN với mặt phẳng(SBD) 
Bài 16 Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = SB = SC. Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB, BC. Tính góc của 2 mặt phẳng: (SAJ) và (SCI)	(600) 
Bài 17 Cho hình chóp D đều có cạnh đáy 3a, cạnh bên 2a.
a) Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy	(300)
b) Tính góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy	
Bài 18 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đáy đều bằng a. Biết góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là 600 và hình chiếu H của A lên (A’B’C’) trùng với trung điểm B’C’.
Tính khoảng cách giữa 2 mặt đáy	
Tính góc giữa BC và AC’; (ABB’A’) và mặt đáy	
Bài 19 Cho hình vuông ABCD cạnh a, vẽ SA=; SA^(ABCD). 
Tính góc: a) (SAB),(ABC); b)(SBD),(ABD); c)(SAB),(SCD)
Bài 20 Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O; SA ^ (ABCD). Tính SA theo a để góc [(SBC), (SCD)] = 600. (SA = a)
Bài 21 Cho hình thoi ABCD cạnh a có tâm O, vẽ SO ^ (ABCD). SO = ; OB = . Chứng minh rằng: a)=900; b)(SAB)^ (SAD)
Bài 22 Tứ diện ABCD có ABC là Dđều, DDBC vuông cân tại D. Biết AB = 2a, AD =. Tính góc [(ABC),(DBC)] (300) 
Loại 4 Các bài toán về khoảng cách:
Bài 23 Tứ diện ABCD có BCD là D đều cạnh a, AB (BCD) và AB = a. Tính khoảng cách: a) d[D; (ABC)]; b) d[B; (ACD)]
Bài 24 Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAB) ^ (ABCD) và SA = SB = b. Tính: a) d[S; (ABCD)] 
b)Từ trung điểm I của CD đến (SHC), H là trung điểm AB c)d[AD;(SBC)]. 
Bài 25 Hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a. SC = SA = SB = AD = a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD;BC
a)Chứng minh rằng: (SIJ) (SBC). 	b)Tính d[AD; SB]	
Bài 26 Lăng trụ ABC.A’B’C’ có AA’^(ABC); AA’= a, DABC vuông tại A có BC = 2a, AB=a. Tính a) d[AA’; (BCC’B’)];	
b) d[A; (A’BC)]. c) Chứng minh rằng: AB^(ACC’A’) và tính d[A’; (ABC’)]
Bài 27 Cho hình vuông ABCD cạnh a. Vẽ SA^(ABCD), SA=a. Tính độ dài đoạn vuông góc chung của:
a) SB; AD. b) AB; SC	
Bài 28 Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy. Tính a) d[SC; BD]; b) d[AC; SD]