Đề cương ôn tập học kỳ II, môn Toán lớp 11

p dụng các công thức tính đạo hàm
+) Các quy tắc tính đạo hàm:
+) Đạo hàm của hàm hợp: Nếu thì 
+) Đạo hàm của các hàm số lượng giác: 
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
Phương pháp:pt tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0 có hoành độ x0 có dạng:
	 y = f’(x0) (x – x0) + f(x0)
3/ Vi phân
- Vi phân của hàm số tại nột điểm: 
- Ứng dụng vi phân vào tính gần đúng: 
- Vi phân của hàm số: hay 
4/ Đạo hàm cấp cao:
Đạo hàm cấp hai của hàm số: f’’= (f’)’.
Đạo hàm cấp n của hàm số: f(n) = [f(n-1)]’.
II. BÀI TẬP
CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN
Bài 1: Chứng minh các dãy số sau có giới hạn 0:
Bài 2: Tìm các giới hạn sau:
 với 
ĐS: a) -3 b) +¥ c) 0 d) -3/25 e) -1 f) -2/3 g) -1/2 h) 1 i) 1
Bài 3 : Tính các giới hạn sau:
ĐS: a) +¥ b) - ¥ c) +¥ d) +¥	 e) - ¥ f) - ¥ g) 0	 h) +¥ i) -¥ k) -1/2 l) -3/2 m) 1/3
Bài 4: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau:
a) 	b) 
ĐS: a) 2/3	b) 3/2
Bài 5: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng ):
a) 	b)	c) 	 
 d) 	f) 	
ĐS: a) -1/2 b) -¥ c) - ¥ d) -¥ e) 0 f) -1/5
Bài 6: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng: a.¥):
a) 	 	b) 	c)	
d) 	e) 	f)
ĐS: a) +¥ b) - ¥ c) + ¥ d) +¥ e) - ¥	 f) + ¥
Bài 7: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Giới hạn một bên):
a)	b) c) d) 	e) f) 
ĐS: a) - ¥ b) - ¥ c) + d) + e) 1	 f) +
Bài 8: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng ):
a/	 b/ c) d) 	 e) 
f) g) h) i) k) 
ĐS: a) 6 b) -1 c) -4 d) 3/2 e) 4/3 f) -6 g) 24	 h) 4/3 i) 2 k) 0
Bài 9: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng 0. ¥):
a) b) c) d/ 
ĐS: a) -1 b) 0 c) +¥ d) 0 
Bài 10: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng ¥ - ¥):
a) 	b) 	c) 	d) 
ĐS: a) 0 b) 1 c) 1/4 d) 1/2 
Bài 11: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Áp dụng )
a) b) c) d) 
ĐS: a) 3 b) 2/3 c) 1 d) n!
Bài 12: Xét tính liên tục của các hàm số sau:
a) tại x0 = -2 	b) tại x0 = 3 
c) tại x0 = 1 	d) tại x0 = 3 
e/ tại x0 = 	f) tại x0 = 2
ĐS: a) liên tục ; b) không liên tục ; c) liên tục ; d) không liên tục ; e) liên tục ; f) liên tục
Bài 13: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng:
a) 	b)	
c)	d)	 
ĐS: a) hsliên tục trên R ; 	b) hs liên tục trên mỗi khoảng (-¥; 2), (2; +¥) và bị gián đọan tại x = 2.
 c) hsliên tục trên R ; 	d) hs liên tục trên mỗi khoảng (-¥; 1), (1; +¥) và bị gián đọan tại x = 1.
Bài 14: Tìm điều kiện của số thực a sao cho các hàm số sau liên tục tại x0.
a) với x0 = -1	b) với x0 = 1
c) với x0 = 2	d) với x0 = 1
ĐS: a) a = -3 b) a = 2 c) a = 7/6 d) a = 1/2
Bài 15: Chứng minh rằng phương trình:
a) có ít nhất một nghiệm.
b) có ít nhất một nghiệm.
c) có ít nhất một nghiệm
d) có ít nhất 2 nghiệm.
e) cosx = x có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; p/3)
f) cos2x = 2sinx – 2 = 0 có ít nhất 2 nghiệm.
g) có 3 nghiệm phân biệt.
h) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-1; -2) với mọi m.
i) luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi m. 
CHƯƠNG V : ĐẠO HÀM
Bài 1: Dùng định nghĩa tìm đạo hàm các hàm số sau:
a) 	b) 	 c) 	d) 
Bài 2: Tính đạo hàm các hàm số sau:
1)	2) 	3) 
4) 	5) y = (x3 – 3x )(x4 + x2 – 1)	6) 7) 	8)	9) 	
10) 	11)	12) y = ( 5x3 + x2 – 4 )5 
13)	14) 	15) 
 16) 	17) 	18) 
19) 	20) 	21) 22) 	23) 	24)
25) 	26) y = (x2-+1) 	27) 
Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1) y = 5sinx – 3cosx 2) y = cos (x3)	3) y = x.cotx 	 4) 5) 	6) 	7) 	 8) 9) 	10) 	11) 	 12) 
13) 	14) 	15)	 16) 
17) 18) 	19) 	 20) 
Bài 4: Cho hai hàm số : và
Chứng minh rằng: .
Bài 5: Cho . Tìm x để: a) y’ > 0 b) y’ < 3 
ĐS: a) 	b) 
Bài 6: Giải phương trình : f’(x) = 0 biết rằng:
a) f(x) = cos x + sin x + x.	b) f(x) = 	
c) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x	d) f(x) = 2x4 – 2x3 – 1 
Bài 7: Cho hàm số 
Bài 8: a) Cho hàm số: . Chứng minh rằng: 2y.y’’ – 1 =y’2
b) Cho hàm số y = . Chứng minh rằng: 2(y’)2 =(y -1)y’’
c) Cho hàm số . Chứng minh rằng:
Bài 9: Chứng minh rằng , biết:
a/ b/ 
Bài 10: Cho hàm số (C)
a) Tính đạo hàm của hàm số tại x = 1.
b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 = -1.
Bài 11: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 2x2 (C)
a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) > 0.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 = 2.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = - x + 2.
Bài 12: Gọi ( C) là đồ thị hàm số : . Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) 
a) Tại M (0;2).
b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 1.
c) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y =x – 4.
Bài 13: Cho đường cong (C): . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
a) Tại điểm có hoành độ bằng 1	
b) Tại điểm có tung độ bằng 
c) Biết tiếp tuyến đó có hệ số góc là 
Bài 14: Tính vi phân các hàm số sau:
a) 	b) c) d) 	e) 
Bài 15: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
1) 2) 3)	 4) 
5) 6) 	7) y = x.cos2x 	8) y = sin5x.cos2x 
ĐS: 1) 	 2) 3) 	4) 
5) 6) 	7) y’’ = -4sin2x – 4xcos2x
8) y’’ = -29sin5x.cos2x – 20cos5x.sin2x 
Bài 16: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau:
a) 	b) y = sinx
ĐS: a) 	b) 
B. HÌNH HỌC
I. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng a và b vuông góc
Phương pháp 1: Chứng minh góc giữa hai đường thẳng a và b bằng .
Phương pháp 2: ( lần lượt là vectơ chỉ phương của a và b).
Phương pháp 3: Chứng minh hoặc 
Phương pháp 4: Áp dụng định lí 3 đường vuông góc ( với b’ là hình chiếu của đt b lên mp chứa đt a).
Dạng 2: Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp (P).
Phương pháp 1: Chứng minh: d ^ a và d ^ b với a Ç b = M; a,b Ì (P)
Phương pháp 2: Chứng minh d // a, a ^ (P)
Phương pháp 3: Chứng minh: d Ì (Q) ^ (P), d ^ a = (P) Ç (Q). 
Phương pháp 4: Chứng minh: d = (Q) Ç (R) và (Q) ^(P), (R) ^ (P).
Dạng 3: Chứng minh hai mp (P) và (Q) vuông góc.
Phương pháp 1: Chứng minh (P) É a ^ (Q).
Phương pháp 2: Chứng minh (P) // (R) ^ (Q).
Phương pháp 3: Chứng minh (P) // a ^ (Q).
Dạng 4: Tính góc giữa 2 đt a và b.
Phương pháp: - Xác định đt a’// a, b’// b ( a’ Ç b’ = O)
 - Khi đó: (a, b) = (a’, b’).
Dạng 5: Tính góc giữa đt d và mp(P).
Phương pháp: Gọi góc giữa đt d và mp(P) là j
+) Nếu d ^ (P) thì j = 900.
+) Nếu d không vuông góc với (P): - Xác định hình chiếu d’ của d lên mp(P)
	 - Khi đó: j = (d,d’)
Dạng 6: Tính góc j giữa hai mp (P) và (Q).
Phương pháp 1:
Xác định a ^ (P), b ^ (Q).
Tính góc j = (a,b)
Phương pháp 2: Nếu (P) Ç (Q) = d
Tìm (R) ^ d
Xác định a = (R) Ç (P)
Xác định b = (R) Ç (Q)
Tính góc j = (a,b).
Dạng 7: Tính khoảng cách.
Tính khoảng từ một điểm M đến đt a:
Phương pháp: (với H là hình chiếu vuông góc của M trên a).
Tính khoảng từ một điểm A đến mp (P):
Phương pháp: - Tìm hình chiếu H của A lên (P).
- d(M, (P)) = AH
Tính khoảng giữa đt D và mp (P) song song với nó: d(D, (P)) = d(M, (P)) (M là điểm thuộc D).
Xác định đoạn vuông góc chung và tính khoảng giữa 2 đt chéo nhau a và b:
+) Phương pháp 1: Nếu a ^ b :
Dựng (P) É a và (P) ^ b
Xác định A = (P) Ç b
Dựng hình chiếu H của A lên b
AH là đoạn vuông góc chung của a và b
+) Phương pháp 2: 
Dựng (P) É a và (P) // b.
Dựng hình chiếu b’ của b lên (P). b’ // b, b’ Ç a = H
Dựng đt vuông góc với (P) tại H cắt đt b tại A.
AH là đoạn vuông góc chung của a và b.
+) Phương pháp 2: 
Dựng đt (P) ^ a tại I cắt b tại O
Xác định hình chiếu b’ của b trên (P) (b’ đi qua O).
Kẻ IK ^ b’ tại K.
Dựng đt vuông góc với (P) tại K, cắt b tại H.
Kẻ đt đi qua H và song song với IK, cắt đt a tại A.
AH là đoạn vuông góc chung của a và b.
II. BÀI TẬP
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. SA ^ (ABC).
Chứng minh: BC ^ (SAB).
Gọi AH là đường cao của DSAB. Chứng minh: AH ^ SC.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. SA ^ (ABCD). Chứng minh rằng:
BC ^ (SAB).
SD ^ DC.
SC ^ BD.
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB=AC, DB=DC. Gọi I là trung điểm của BC.
Chứng minh: BC ^ AD.
Gọi AH là đường cao của DADI. Chứng minh: AH ^ (BCD).
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA = SC = SB = SD = . 
Chứng minh SO ^ (ABCD).
Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh IK^SD
Tính góc giữa đt SB và mp(ABCD).
Bài 5: Cho tứ diện ABCD có AB ^ CD, BC ^ AD. Gọi H là hình chiếu của A lên mp(BCD). Chứng minh:
H là trực tâm DBCD.
AC ^ BD.
Bài 6: Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng các cặp cạnh đối diện của tứ diện vuông góc với nhau từng đôi một.
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, tâm O và AB = SA = a, BC = , SA ^ (ABCD).
Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.
Gọi I là trung điểm của SC. Chứng minh IO^ (ABCD).
Tính góc giữa SC và (ABCD).
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA (ABCD) . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD.
Chứng minh BC ^ (SAB), BD ^ (SAC).
Chứng minh SC ^ (AHK).
Chứng minh HK ^ (SAC).
Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA = AB = AC = a, SA ^ (ABC).
Gọi I là trung điểm BC.
a) Chứng minh BC ^ (SAI).
b) Tính SI.
c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC).
Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. SA ^ (ABC) và SA = a, AC = 2a.
Chứng minh rằng: (SBC) ^ (SAB).
Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC).
Tính góc giữa (SBC) và (ABC).
Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và BC.
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1: Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc và OA= OB = OC = a.
 Gọi I là trung điểm BC; H, K lần lượt là hình chiếu của O lên trên các đường thẳng AB và AC. 
 1. CMR: BC(OAI).
 2. CMR: (OAI)(OHK).
 3. Tính khoảng cách từ điểm O đến mp (ABC). ĐS:
 5. Tính côsin của góc giữa OA và mp (OHK). ĐS:
 6. Tính tang của góc giữa (OBC) và (ABC). ĐS: 
 7. Tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng HK và OI. Tính khoảng cách giữa hai 
 đường ấy. ĐS: 
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, và .
 1. CMR: Các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
 2. CMR: mp (SAC)mp(SBD) .
 3. Tính góc giữa SC và mp (ABCD), góc giữa SC và mp (SAB). ĐS: 
 4. Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). ĐS: 
 5. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC), khoảng cách từ điểm A đến mp (SCD).
 ĐS: 
 6. Tìm đường vuông góc chung của các đườ