Đề cương ôn tập học kỳ I môn Toán lớp 11 AMSTERDAM

2
x π⎡ ⎤∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦ 
c) cos có nghiệm ( )2 2 1 cos 1 0x m x m− + + + = 3; .
2 2
x π π⎡ ⎤∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦ 
 info@hn-ams.edu.vn 
 2
d) có nghiệm ( )4 42 sin cos cos 4 2sin 2 0x x x x m+ + + − = 0
3
x ; .π⎡ ⎞∈ − ⎟⎢⎣ ⎠ 
7. a) Giải phương trình sin 3 cos 2 1 2sin cos 2 .x x x+ = + x 
b) Tìm các giá trị của a để phương trình đã cho tương đương với phương trình 
( ) 2sin 3 sin 4 2 sin .x a x a x= + − 
8. a) Giải phương trình 1sin cos 2 sin 2 cos3 sin 5 .
2
x x x x x= − 
b) Tìm a để phương trình cos 2 cos 4 cos6 1a x a x x+ + = có nghiệm là nghiệm của phương 
trình đã cho và chỉ có nghiệm ấy. 
9. Chứng minh rằng 
a) Δ vuông nếu sinABC sin sin 1 cos cos cos .A B C A B+ + = + + + C 
b) vuông nếu ABCΔ sin sin sin .cos .cos .1 1
cos cos
B C A B C
B C
+ =
+
10. a) Chứng minh rằng ABCΔ vuông cân nếu 
2cos cos sin
2 .
cos cos sin sin
AB C
b c a
B C B
⎧ =⎪⎪⎨⎪ + =⎪⎩ C
b) Cho không tù thỏa ABCΔ cos 2 2 2 cos 2 2 cos 3.A B C+ + =
.C x x+ + = −
 Tìm các góc của .ABCΔ
B. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT 
11. Trình bày hai quy tắc đếm cơ bản; hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp; nhị thức Newton; phép thử ngẫu 
nhiên, không gian mẫu; định nghĩa và các quy tắc tính xác suất. 
12. Giải phương trình 
a) C C b) 1 2 3 26 6 9 14x x x ( )2 272 6 2n n n nP A A P+ = +
13. Giải bất phương trình: 
a) 12 2
5 .
2
n n
n n
2
nA
−
+ ++ >C C b) ( )
5 2
360 .!
n k
n
P
A
n k
+ +
+≤− 
14. Giải các hệ phương trình: 
a) ( ) ( )2 22 2
2 2
36 3
.
54
y y
x x x
y y
x x x x
C A C A
C A C A
⎧ + + = x
⎪ + + =⎩
0
0
⎪⎨ b) 2 5 9
5 2 8
y y
x x
y y
x x
A C
A C
⎧ + =⎪⎨ − =⎪⎩
15. a) Có 12 học sinh nam và 8 học sinh nữ. Cần chọn một nhóm gồm 9 học sinh. Có bao nhiêu 
cách chọn trong đó số học sinh nữ có không quá 6 học sinh. 
 info@hn-ams.edu.vn 
 3
b) Có 30 bài toán khác nhau, gồm 5 bài toán khó, 15 bài toán trung bình, 10 bài toán dễ. Từ 30 
bài toán đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra biết mỗi đề gồm 5 bài toán khác nhau, sao 
cho trong mỗi đề phải có đủ 3 loại bài toán (khó, trung bình, dễ). 
16. Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 
6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ 
ngồi sao cho: 
a) Bất kỳ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau cũng như đối diện nhau thì khác trường nhau. 
b) Bất kỳ hai học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường nhau. 
17. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số thoả mãn điều 
kiện: Sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của ba chữ số đầu nhỏ hơn 
tổng của ba chữ số cuối một đơn vị. 
18. Cho 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5.
a) Lập được bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số mà các chữ số đôi một khác nhau. 
b) Lập được bao nhiêu số có 3 chữ số, mà trong mỗi số đó thì các chữ số xếp theo thứ tự giảm 
dần. 
c) Lập được bao nhiêu số có 4 chữ số mà các chữ số đôi một khác nhau. Tính tổng các số đó. 
d) Lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số, các chữ số đôi một khác nhau và mỗi số đó đều lớn 
hơn 300. 
e) Lập được bao nhiêu số có 7 chữ số, trong các chữ số đó chữ số 1 xuất hiện 2 lần, các chữ số 
còn lại xuất hiện đúng một lần. 
f) Lập được bao nhiêu số có 4 chữ số, các chữ số đôi một khác nhau, và hai chữ số 1; 2 đứng 
kề nhau. 
19. a) Tìm hệ số của 8x có trong khai triển 53
1 ,
n
x
x
⎛ +⎜⎝ ⎠
⎞⎟ . biết rằng ( )14 3 7 3n nn nC C n++ +− = +
b) Tìm hệ số đứng trước 4x trong khai triển ( )1023 1+ +x x . 
20. a) Có bao nhiêu số hạng hữu tỷ trong khai triển ( )12443 5− . 
b) Tìm hệ số lớn nhất của các số hạng trong khai triển nhị thức ( )102 1+x . 
21. Đội văn nghệ của khối lớp 11 gồm có 10 học sinh, trong đó lớp 11A có 4 em, lớp 11T có 3 em, 
lớp 11L có 3 em. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh trong đội văn nghệ đó. Tìm xác suất để: 
a) Ba học sinh ở 3 lớp khác nhau. 
b) Trong đó có đúng 2 học sinh của lớp 11A. 
c) Cả 3 em đều là học sinh của lớp 11A. 
22. Một hộp đựng 6 quả cầu màu đỏ và 4 quả cầu màu xanh. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 3 quả cầu. 
Tìm xác suất của các biến cố sau: 
 info@hn-ams.edu.vn 
 4
a) Có đúng 1 quả màu đỏ. b) Có ít nhất 1 quả màu đỏ. 
c) Các quả cầu có đủ hai màu. d) Lấy được các quả cầu cùng màu. 
C. CÁC PHÉP BIẾN HÌNH 
23. Trình bày định nghĩa và các tính chất liên quan của các phép biến hình: phép tịnh tiến; phép 
đối xứng trục; phép đối xứng tâm; phép quay; phép dời hình; phép vị tự; phép đồng dạng. 
24. a) Cho đường tròn ( ) 2 2: 4 2 3C x y x y+ − − + = 0. Lập phương trình đường tròn ( )1C đối 
xứng với đường tròn ( qua điểm )C ( )1; 2 .A 
b) Cho đường tròn ( ) 2 2:C x y+ =16 và 2 điểm ( ) ( )3; 3 , 3; 3 .B C− − Điểm A di động trên 
đường tròn . Tìm tập hợp các điểm là trọng tâm ( )C G .ABCΔ 
25. Trong hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình : 2 3 4 0.d x y− + = Tìm phương trình 
đường thẳng là ảnh của qua phép dời hình có được nhờ việc thực hiện liên tiếp phép đối 
xứng tâm I, với 
1d d
( )1; 2 ;I − phép quay tâm O, góc quay và phép đối xứng trục Ox. 090
26. Cho tam giác Dựng về phía ngoài của tam giác ABC các tam giác ABE và cùng 
vuông cân tại A. Gọi 
.ABC ACF
,M I và theo thứ tự là trung điểm của J ,EB BC và Chứng ming 
rằng tam giác là tam giác vuông cân. 
.CF
IMJ
27. Cho ba điểm A, B, C cố định và điểm M bất kỳ. Gọi 1M là ảnh của M qua phép đối xứng tâm 
A, M2 là ảnh của M1 qua phép đối xứng tâm B, M3 là ảnh của M2 qua phép đối xứng tâm C, M4 
là ảnh của M3 qua phép đối xứng tâm A, M5 là ảnh của M4 qua phép đối xứng tâm B, M6 là ảnh 
của M5 qua phép đối xứng tâm C. Chứng minh rằng M6 luôn trùng với M khi M thay đổi. 
28. Cho điểm A nằm trên nửa đường tròn tâm O đường kính Dựng về phía ngoài tam giác 
ABC hình vuông ABEF. Gọi 
.BC
I là tâm của hình vuông. Tìm quỹ tích của điểm I khi A chạy 
trên nửa đường tròn ( ).O 
D. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 
29. Trình bày cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng; cách tìm giao điểm của đường thẳng và mặt 
phẳng; cách chứng minh hai đường thẳng song song; cách chứng minh đường thẳng và mặt 
phẳng song song; cách chứng minh hai mặt phẳng song song; cách chứng minh ba điểm thẳng 
hàng; cách chứng minh ba đường thẳng đồng quy; cách chứng minh hai đường thẳng chéo 
nhau; cách tìm quỹ tích một điểm;  
30. Cho hình chóp có đáy là hình thang, .S ABCD ABCD AB là đáy lớn. Gọi M và theo thứ 
tự là trung điểm của 
N
, .SB SC
a) Tìm giao tuyến của ( với )SAD ( ).SBC 
b) Tìm giao điểm của đường thẳng với SD ( ).AMN 
c) Tìm thiết diện của với .S ABCD ( ).AMN 
 info@hn-ams.edu.vn 
 5
31. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi .S ABCD ABCD ,M N lần lượt là trung điểm 
các cạnh , .AB CD Gọi là trung điểm của P .SA
a) Chứng minh rằng MN song song với các mặt phẳng ( )SBC và ( ).SAD 
b) Chứng minh rằng song song với mặt phẳng ,SB SC ( ).MNP 
c) Gọi theo thứ tự là trọng tâm 1 2,G G ABCΔ và .SBCΔ Chứng minh rằng song song 
với mặt phẳng 
1 2G G
( ).SAD
32. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm Gọi.S ABCD .O , ,M N P lần lượt là trung điểm 
của và ,SB SD .OC
a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng ( )MNP với mặt phẳng ( ).SAC 
b) Tìm giao điểm của với mặt phẳng SA ( ).MNP 
c) Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng ( ).MNP 
d) Mặt phẳng ( )MNP cắt các cạnh lần lượt tại , ,SA BC CD , , .I J K Tính , ,
IS
.IA JB KC
JC KD
33. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. .S ABCD ,M N lần lượt là trung điểm của , .AD CS 
a) Xác định giao điểm I của và mặt phẳng AN ( ).SBD 
b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng ( )SBD và ( ).SMN 
c) Dựng thiết diện tạo bởi mặt ( )DAN với hình chóp. 
34. Cho tứ diện Gọi .ABCD , ,I J K lần lượt là trung điểm của ,BC CD và .DB 
a) Chứng minh rằng các mặt phẳng ( ) ( ) ( ), ,ADI ABJ ACK có chung một đường thẳng. 
b) Gọi là trọng tâm 'D ,ABC EΔ là trung điểm Chứng minh rằng là chéo nhau với 
bất kì một cạnh của tứ diện. 
.AJ 'D E
c) Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi ( )' .KD E 
35. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh , , 3.SA SB a SC SD a= = = =a Gọi E, 
F lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB. M là điểm trên cạnh BC sao cho 
 ( )0 .BM x x a= < <
a) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MEF). Thiết diện là hình gì? 
b) Tính diện tích thiết diện theo a và x. 
c) Tìm vị trí điểm M để diện tích thiết diện đạt giá trị nhỏ nhất. 
 info@hn-ams.edu.vn 
 6
36. Tính diện tích thiết diện theo a và x. Cho tứ diện có ABCD AB CD⊥ và .AB AC CD a= = = 
Điểm M thuộc sao cho AC (0 ).AM x x a= < < 
a) Cho 
3
ax = và gọi G là trọng tâm tam giác Chứng minh rằng .BCD MG song song với 
( ).ABD 
b) Gọi là mặt phẳng qua ( )P ,M song song với AB và Dựng thiết diện của tứ diện tạo 
bởi ( Chứng minh rằng thiết diện là hình chữ nhật. 
.CD
).P
c) Tính diện tích thiết diện theo a và .x Tìm vị trí của M để diện tích thiết diện là lớn nhất. 
d) * Chứng minh rằng giao điểm hai đường chéo của thiết diện thuộc đường thẳng cố định khi 
M di động trên cạnh .AC
PHẦN HAI. MỘT SỐ ĐỀ THAM KHẢO 
ĐỀ SỐ 1. 
Câu 1. 
a) Giải phương trình 3 cos cos 2 cos3 2sin .sin 2 1.x x x x x+ − = −
b) Tìm điều kiện của để phương trình đã cho tương đương với phương trình m
( ) ( ) ( )2cos3 4 1 2 sin 7 4 cos 4 2 1 0.m x m x m x m+ − + − + − = 
Câu 2. 
a) Tính giá trị của biểu thức ( )
4 3
1 3
1 !
n nA AA
n
+ += + biết rằng 
2 2 2 2
1 2 3 42 2 149.n n n nC C C C+ + + ++ + + =
b) Với n là số nguyên dương, gọi 3 3na − là hệ số của 
3 3nx − có trong khai triển thành đa thức của 
 Tìm n để ( ) ( )2 1 2n nx x+ + . 3 3 26 .na n− = 
Câu 3. 
Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình .: 3 3 4 0d x y+ − = Tìm phương 
trình đường thẳng là ảnh của qua phép đồng dạng có được nhờ việc thực hiện liên tiếp 
phép tịnh tiến theo vectơ 
1d d
( )2;3 ;v −G phép quay tâm O, góc quay và phép vị tự tâm 090−
( )2; 3 ,J − − tỷ số 3.k = − 
Câu 4. 
Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi .S ABCD M và theo thứ tự là trung điểm của N
AB và .SC
a) Xác định giao điểm I và của mặt phẳng J ( )SBD với các đường thẳng và AN .MN 
 info@hn-ams.ed