Đề cương ôn tập học kỳ I môn Toán-CB lớp 11

t lớp có 20 học sinh trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách cử 3 người đi dự hội 
nghị sinh viên của trường sao cho trong 3 người có ít nhất một cán bộ lớp? 
Bài 13. Một đội văn nghệ có 20 người trong đó có 10 nam và 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 
người sao cho: 
1. Có đúng 2 người nam trong 5 người đó 
2. Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó 
Bài 14. Một lớp học có 40 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chia: 
 1. Thành 4 tổ mỗi tổ có 10 học sinh. 
 2. Thành 4 tổ mỗi tổ có 10 học sinh và có một tổ trưởng 
Bài 15. Một tổ học sinh gồm 7 nam và 4 nữ. Giáo viên muốn chọn 3 học sinh xếp vào bàn ghế của lớp, 
trong đó có ít nhất 1 nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? 
Bài 16. Giải các phương trình sau : 
MATHVN.COM | www.mathvn.com 
www.mathvn.com 6 
 a. 3 15n nC C b. 
1 2 32 2 2 7  n n nC C C n c. 
6 5 4 n n nA A A d. 
2 2
22 78 x xA A 
 e. 1 17 7 72
n n nC C C   f. 2 222 78 x xA A g. 
2 2
1 23 4  n nC nP A h. 79
12
1  nn CA
Bài 17. Cho biết trong khai triển 
n
x
x
3
2
1 
 
 
 tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba 
bằng 11. Tìm hệ số của x2 . 
Bài 18. Cho biết trong khai triển 2
1
,
n
x
x
 
 
 
 tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba là 
46. Tìm hạng tử không chứa x. 
Bài 19. Cho biết tổng của 3 hệ số của 3 số hạng đầu tiên trong khai triển 2
2
3
n
x
 
 
 
 là 97. Tìm hạng tử 
của khai triển chứa x4. 
Bài 20. Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển 
n
x
x
7
4
1 
 
 
, biết rằng: 
 nn n nC C C
1 2 20
2 1 2 1 2 1... 2 1       . 
Bài 21. Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nx(2 ) , biết rằng: 
 n n n nn n n nC C C C
0 0 1 1 2 23 3 3 ... ( 1) 2048       
www.mathvn.com 
II. XÁC SUẤT 
LÝ THUYẾT CƠ BẢN 
1. Biến cố 
  Không gian mẫu : là tập các kết quả có thể xảy ra của một phép thử. 
  Biến cố A: là tập các kết quả của phép thử làm xảy ra A. A  . 
  Biến cố không:   Biến cố chắc chắn:  
  Biến cố đối của A: \A A  
  Hợp hai biến cố: A  B  Giao hai biến cố: A  B (hoặc A.B) 
  Hai biến cố xung khắc: A  B =  
  Hai biến cố độc lập: nếu việc xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến việc xảy ra biến cố kia. 
2. Xác suất 
  Xác suất của biến cố: P(A) = 
( )
( )
n A
n 
  0  P(A)  1; P() = 1; P() = 0 
  Qui tắc cộng: Nếu A  B =  thì P(A  B) = P(A) + P(B) 
 Mở rộng: A, B bất kì: P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A.B) 
  P( A ) = 1 – P(A) 
  Qui tắc nhân: Nếu A, B độc lập thì P(A.B) = P(A). P(B) 
Bài tập 
MATHVN.COM | www.mathvn.com 
www.mathvn.com 7 
B ài 1: Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất của biến cố: 
 a) Tổng hai mặt xuất hiện bằng 8. 
 b) Tích hai mặt xuất hiện là số lẻ. 
 c) Tích hai mặt xuất hiện là số chẵn. 
B ài 2: Một lớp học có 25 học sinh, trong đó gồm có 15 em học khá môn Toán, 17 em học khá 
môn Văn. 
a) Tính xác suất để chọn được 2 em học khá cả 2 môn. 
b) Tính xác suất để chọn được 3 em học khá môn Toán nhưng không khá môn Văn. 
B ài 3: Gieo hai con súc sắc cân đối đồng chất. Tính xác suất của biến cố: 
a) Tổng hai mặt xuất hiện bằng 7. 
b) Các mặt xuất hiện có số chấm bằng nhau. 
B ài 4: Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ chỉ khác nhau về màu. Lấy ngẫu nhiên một viên 
bi, rồi lấy tiếp một viên nữa. Tính xác suất của biến cố lần thứ hai được một viên bi xanh. 
B ài 5: Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ chỉ khác nhau về màu. Lấy ngẫu nhiên 4 
viên bi. Tính xác suất để được ít nhất 3 viên bi xanh. 
B ài 6: Hai người đi săn độc lập với nhau và cùng bắn một con thú. Xác suất bắn trúng của 
người thứ nhất là 
3
5
, của người thứ hai là 
1
2
. Tính xác suất để con thú bị bắn trúng. 
B ài 7: Gieo đồng thời bốn đồng xu cân đối đồng chất. Tính xác suất của biến cố: 
a) Cả 4 đồng xu đều ngửa. 
b) Có đúng 3 đồng xu lật ngửa. 
c) Có ít nhất hai đồng xu lật ngửa. 
B ài 8: Một hộp bóng đèn có 12 bóng, trong đó có 7 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng.Tính xác 
suất để lấy được: 
a) ít nhất 2 bóng tốt b) ít nhất 1 bóng tốt.. 
B ài 9: Một hộp có 20 quả cầu giống nhau, trong đó có 12 quả cầu trắng và 8 quả cầu đen. Lấy ngẫu 
nhiên 3 quả. Tính xác suất để trong 3 quả chọn ra có ít nhất một quả màu đen. 
B ài 10: Một tổ có 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ. GVCN chọn ra 2 em đi thi văn nghệ. Tính 
xác suất để 2 em đó khác phái. 
B ài 11: Một lớp có 30 học sinh, trong đó có 8 em giỏi, 15 em khá và 7 em trung bình. Chọn 
ngẫu nhiên 3 em đi dự đại hội. Tính xác suất để : 
a) Cả 3 em đều là học sinh giỏi b) Có ít nhất 1 học sinh giỏi 
c) Không có học sinh trung bình. 
B ài 12: Cho 7 số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Gọi X là tập hợp các số gồm hai chữ số khác nhau lấy từ 7 số 
trên. Lấy ngẫu nhiên 1 số thuộc X. Tính xác suất để: 
a) Số đó là số lẻ. 
b) Số đó chia hết cho 5 
c) Số đó chia hết cho 9. 
Vấn đề 4. DÃY SỐ VÀ CẤP SỐ CỘNG (Dùng cho trắc nghiệm) 
LÝ THUYẾT CƠ BẢN 
I/ Dãy số. 
1. Dãy số 
: *
( )
u
n u n
 

 Dạng khai triển: (un) = u1, u2, , un,  
MATHVN.COM | www.mathvn.com 
www.mathvn.com 8 
2. Dãy số tăng, dãy số giảm 
  (un) là dãy số tăng  un+1 > un với  n  N*. 
  un+1 – un > 0 với  n  N*  1 1n
n
u
u
  với n  N* ( un > 0). 
  (un) là dãy số giảm  un+1 < un với n  N*. 
  un+1 – un< 0 với  n  N*  1 1n
n
u
u
  với n  N* (un > 0). 
3. Dãy số bị chặn 
  (un) là dãy số bị chặn trên  M  R: un  M, n  N*. 
  (un) là dãy số bị chặn dưới  m  R: un  m, n  N*. 
  (un) là dãy số bị chặn  m, M  R: m  un  M, n  N*. 
II. Cấp số cộng. 
1. Định nghĩa: (un) là cấp số cộng  un+1 = un + d, n  N* (d: công sai) 
2. Số hạng tổng quát: 1 ( 1)nu u n d   với n  2 
3. Tính chất các số hạng: 1 1
2
k k
k
u u
u  

 với k  2 
4. Tổng n số hạng đầu tiên: 11 2
( )
...
2
n
n n
n u u
S u u u

     = 1
2 ( 1)
2
n u n d    
Bài tập (luyện tập để chọn đáp án đúng trong câu trắc nghiệm) 
B ài 1: Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi: 
a) 
2
2
2 1
1
n
n
u
n



 b) 
( 1)
2 1
n
n
n
u
n
 


 c) 
2
1
1
n
n
u
n



 d) 2cosnu n n 
B ài 2: Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi: 
a)  1 1
1
2, 1
3n n
u u u   b) 1 2 2 115, 9, n n nu u u u u     c) 1 1 2
2
0,
1
n
n
u u
u
 

B ài 3: Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số (un), dự đoán công thức số hạng tổng quát un và 
chứng minh công thức đó bằng qui nạp: 
a) 1 11, 2 3n nu u u   b) 
2
1 13, 1n nu u u   c) 1 13, 2n nu u u  
B ài 4: Xét tính tăng, giảm của các dãy số (un) cho bởi: 
a) 
2 1
3 2n
n
u
n



 b) 
4 1
4 5
n
n n
u



 c) 
( 1)
2
n
nu n



 d) 
2
n
n
u
n

 
B ài 5: Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn của các dãy số (un) cho bởi: 
a) 
2 3
2n
n
u
n



 b) 
1
( 1)n
u
n n


 c) 2 4nu n  d) 
2
2
2
1
n
n n
u
n n


 
B ài 6: Trong các dãy số (un) dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, khi đó cho biết số hạng đầu 
và công sai của nó: 
MATHVN.COM | www.mathvn.com 
www.mathvn.com 9 
a) un = 3n – 7 b) 
3 2
5n
n
u

 c) 2nu n d) 3
n
nu  
B ài 7: Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết: 
a) 1 5 3
1 6
10
17
u u u
u u
   

 
 b) 2 5 3
4 6
10
26
u u u
u u
   

 
 c) 3
14
15
18
u
u
  


B ài 8: a) Ba góc của một tam giác vuông lập thành một cấp số cộng. Tìm số đo các góc đó. 
b) Số đo các góc của một đa giác lồi có 9 cạnh lập thành một cấp số cộng có công sai d = 30. Tìm 
số đo của các góc đó. 
c) Số đo các góc của một tứ giác lồi lập thành một cấp số cộng và góc lớn nhất gấp 5 lần góc nhỏ 
nhất. Tìm số đo các góc đó. 
B ài 9: Tìm x để 3 số a, b, c lập thành một cấp số cộng, với: 
a) 210 3 ; 2 3; 7 4a x b x c x      b) 21; 3 2; 1a x b x c x      . 
B ài 10: Người ta trồng 3003 cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất có 1 cây, hàng 
thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây, . Hỏi có bao nhiêu hàng? 
www.mathvn.com 
Vấn đề 5. PHÉP BIẾN HÌNH (Dùng cho tự luận và trắc nghiệm) 
LÝ THUYẾT CƠ BẢN 
I. Pheùp tònh tieán 
  vT : M  M  'MM v
 
  vT (M) = M, vT (N) = N  ' 'M N MN
 
  vT : M(x; y)  M(x; y). Khi ñoù: 
'
'
x x a
y y b
  
  
II. Pheùp ñoái xöùng truïc 
  Ñd: M  M  0 0'M M M M 
 
 (M0 laø hình chieáu cuûa M treân d) 
  Ñd(M) = M  Ñd(M) = M 
  Ñd(M) = M, Ñd(N) = N  MN = MN 
  ÑOx: M(x; y)  M(x; y). Khi ñoù: 
'
'
x x
y y
 
  
 ÑOy: M(x; y)  M(x; y). Khi ñoù: 
'
'
x x
y y
  
 
III. Pheùp ñoái xöùng taâm 
  ÑI: M  M  'IM IM 
 
  ÑI(M) = M  ÑI(M) = M 
  ÑI(M) = M, ÑI(N) = N  ' 'M N MN 
 
  Cho I(a; b). ÑI: M(x; y)  M(x; y). Khi ñoù: 
' 2
' 2
x a x
y b y
  
  
 Ñaëc bieät: ÑO: M(x; y)  M(x; y). Khi ñoù: 
'
'
x x
y y
  
  
MATHVN.COM | www.mathvn.com 
www.mathvn.com 10 
'
'
x x
y y
  
  
IV. Pheùp quay 
  Q(I,): M  M  
'
( ; ')
IM IM
IM IM
 
  
  Q(I,)(M) = M, Q(I,)(N) = N  MN = MN 
  Q(I,)(d) = d. Khi ñoù: 
 
0
2, '
2
neáu
d d
neáu
 
   
 
    

  Q(O,90
0
): M(x; y)  M(x; y). Khi ñoù: 
'
'
x y
y x
  
 
 Q(O,–90
0
): M(x; y)  M(x; y). Khi ñoù: 
'
'
x y
y x
 
  
V. Pheùp vò töï 
  V(I,k): M  M  ' .IM k IM
 
 (k  0) 
  V(I,k)(M) = M, V(I,k)(N) = N  ' ' .M N k MN
 
  Cho I(a; b). V(I,k): M(x; y)  M(x; y). Khi ñoù: 
' (1 )
' (1 )
x kx k a
y ky k b
   
   
 Chuù yù: Neáu pheùp dôøi hình (pheùp ñoàng daïng) bieán ABC thaønh ABC thì noù 
cuõng bieán troïng taâm, tröïc taâm, taâm caùc ñöôøng troøn noäi tieáp, ngoaïi tieáp cuûa 
ABC töông öùng thaønh troïng taâm, tröïc taâm, taâm ca