Đề cương Ôn tập học kì II môn Toán lớp 11 - Đỗ Mạnh Hùng

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ 2
A. Lý thuyết:
I/ Đại số và giải tích:
1/ Giới hạn của dãy số 
2/ Giới hạn của hàm số 
3/ Hàm số liên tục 
4/ Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm 
5/ Các quy tắc tính đạo hàm 
6/ Đạo hàm của các hàm số lượng giác 
7/ Đạo hàm cấp hai của hàm số 
II/ Hình học: 
1/ Hai đường thẳng vuông góc 
2/ Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 
3/ Hai mặt phẳng vuông góc 
4/ Khoảng cách 
B. Bài tập:
I/Đại số và Giải tích 
1/ Tìm giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số.
2/ Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 
3/ Xét tính liên tục của hàm số tại 1 điểm, trên tập xác định 
4/ Ứng dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh sự tồn tại nghiệm.
5/ Tính đạo hàm bằng định nghĩa
6/ Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong tại một điểm 
 7/ Dùng các qui tắc, tính chất để tính đạo hàm của một hàm số
II/ Hình học
1/Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau 
2/Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 
3/ Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau 
4/ Tính được các góc, các khoảng cách.
C. Bài tập ôn tập
I. Đại số và giải tích 
Bµi 1. Cho cấp số nhân (un) có 
 a, Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân;
 b, Hỏi tổng của bao nhiêu số hạng đầu tiên bằng 3069?
Bµi 2. Một cấp số nhân có 5 số hạng, công bội bằng một phần tư số hạng thứ nhất, tổng của hai số hạng đầu tiên bằng 24. Tìm cấp số nhân đó.
Bài 3. Tính các tổng sau
 (suy ra nghiệm của phương trình B = 0) 
Bài 4. Tìm các giới hạn:
a) 	 d) c) 
 d) 	 e) 	f) 
Bài 5: Tính các giới hạn sau
 A= B= 
 C= D= E= F= 
 G= H= I= K= 
 L*= M= N=
 O= P=
 Q**= S**= 
Bài 6. Xét tính liên tục của hàm số: . Tại điểm xo = 2.
Bài 7. Xét tính liên tục của hàm số: Trên tập xác định của nó.
Bài 8. a) Chứng minh phương trình 2x4+4x2+x-3=0 có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng (- 1; 1 )
 b) chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm : 2x3 – 10x – 7 = 0
 c) Chứng minh phương trình : 1-x-sinx=0 lu«n cã nghiÖm
 d) Chứng minh phương trình : có 3 nghiệm phân biệt
Bài 9. Tìm đạo hàm các hàm số sau:
 a) b) c) 
 d) e) g) 
 h) i) k) 
 l) m) n) 
Bµi 10. Giải phương trình f’(x) = 0, biết rằng
 a) f(x) = b) g(x)= 
Bài 11. Cho hàm số f(x) = x5 + x3 – 2x - 3. Chứng minh rằng
 f’(1) + f’(-1) = - 4f(0)
Bµi 12. Cho hµm sè f(x)=x3+2x2-3x+1 cã ®å thÞ lµ (C)
 a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh f’(x)=0
 b) ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi (C) biÕt tiÕp tuyÕn cã hoµnh ®é 2
 c) ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi (C) biÕt tiÕp tuyÕn cã tung ®é 1
 d) ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi (C) t¹i giao ®iÓm cña (C) víi ®å thÞ hµm sè g(x)=x3
Bài 13. Cho hàm số y =
a) Viết các phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có tung độ 3
b) Viết các phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 3
II/ Hình học: 
Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O; SA (ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên SB, SC, SD.
a) Chứng minh rằng BC ( SAB); CD (SAD); BD (SAC)
b) Chứng minh rằng AH, AK cùng vuông góc với SC. Từ đó suy ra ba đường thẳng AH, AI, AK cùng chứa trong một mặt phẳng.
c) Chứng minh rằng HK (SAC). Từ đó suy ra HK AI 
Bài 15. Cho tứ diện SABC có SA = SC và mặt phẳng (SAC) (ABC). Gọi I là trung điểm của cạnh AC. Chứng minh SI (ABC).
Bài 16. Cho tam giác ABC vuông góc tại A; gọi O, I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AB, AC. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại O ta lấy một điểm S khác O). Chứng minh rằng:
a)Mặt phẳng (SBC) (ABC);
b)Mặt phẳng (SOI) (SAB);
c)Mặt phẳng (SOI) (SOJ).
Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Mặt SAB là tam giác cân tại S và mặt phẳng (SAB) (ABCD). Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Chứng minh rằng:
a)BC và AD cùng vuông góc với mặt phẳng (SAB).
b)SI (ABCD).
Bài 18. Cho tứ diện ABCD có AB (BCD). Gọi BE, DF là hai đường cao của tam giác BCD; DK là đường cao của tam giác ACD.
a)Chứng minh hai mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với mặt phẳng (ADC);
b) Gọi O và H lần lượt là trực trâm của hai tam giác BCD và ACD. Chứng minh OH (ADC).
Bµi 19. ( 6-174) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a.MÆt bªn SAB lµ tam gi¸c ®Òu , .Gäi H vµ K lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AB vµ AD
 a) Chøng minh r»ng SH (ABCD)
 b) Chøng minh AC SK vµ CK SD
 Bµi 20. (7-174) . Cho chãp S.ABCD cã SA (ABCD) vµ SA=a, ®¸y ABCD lµ h×nh thang vu«ng ®­êng cao AB=a, BC=2a. Ngoµi ra SC BD
 a) Chøng minh tam gi¸c SBC vu«ng
 b) TÝnh AD
 Bµi 21. Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y lµ h×nh vu«ng ABCD c¹nh a.C¹nh bªn SA (ABCD) vµ SA=a
 a) TÝnh gãc gi÷a ®­êng th¼ng SB vµ CD
 b) Chøng minh mÆt ph¼ng (SAB) (SBC)
Bµi 22. Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng cÆnh b»ng a vµ SA (ABCD), SA=a
TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®­êng th¼ng SB vµ AD theo a
Bµi 23. Cho hình vuông ABCD. Gọi Slà điểm trong không giấno cho SAB là tam giác đều và mp(SAB) (ABCD).
a) CMR mp(SAB) mp(SAD) và mp(SAB) mp(SBC)
b) Tính góc giữa hai mp(SAD) và (SBC)
Bµi 24. Cho chãp S.ABC cã ®¸y ABC lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i B vµ AC=2a,SA=a vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng ABC
Chøng minh r»ng (SAB) (SBC)
TÝnh kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn (SBC)
Gäi O lµ trung ®iÓm AC. TÝnh kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn (SBC)
 Bµi 25. (10-206): Cho chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt víi AB=a, AD=2a, SA=a vµ vu«ng gãc víi (ABCD). Gäi I,M theo thø tù lµ trung ®iÓm c¹nh SC, CD
TÝnh kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn (SBD)
TÝnh kho¶ng c¸ch tõ I ®Õn (SBD)
TÝnh kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn (SBM)
Bµi 26. Cho chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng t©m O c¹nh a, SA=a vµ vu«ng gãc víi (ABCD). TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c ®­êng th¼ng
SB vµ AD
SC vµ BD
SB vµ CD
SC vµ AD
SB vµ AC
Bµi 27. Cho chãp S.ABC cã SA=2a vµ vu«ng gãc víi mp(ABC), ®¸y ABC lµ tam gi¸c vu«ng t¹i B víi AB=a. Gäi M lµ trung ®iÓm cña AB. H·y dùng vµ tÝnh ®é dµi ®o¹n vu«ng gãc chung cña SM vµ BC
Bµi 28. Cho tø diÖn OABC trong ®ã OA,OB,OC ®«i mét vu«ng gãc vµ OA=OB=OC=a. Gäi I lµ trung ®iÓm cña BC. H·y dùng vµ tÝnh ®é dµi ®o¹n vu«ng gãc chung cña c¸c cÆp ®­êng th¼ng
OA vµ BC
AI vµ OC
Bµi 29. Cho hình chóp S. ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, cạnh bên SA vuông góc với đáy ,SA = a. Tínhcác góc giữa các mp chứa các mặt bên và mp đáy của hình chóp.
Bài 30. Hình chóp S.ABCD có dáy là hình thoi ABCD tâm O cạnh a, góc . Đường cao SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và đoạn SO =. Gọi E là trung điểm của BC, F là trung điểm của BE.
a) Chứng minh (SOS) (SBC)
b) Tính các khoảng cách từ O và A đến mặt phẳng (SBC).
c) Gọi () là mặt phẳng qua AD và vuông góc với mặt phẳng (SBC). Xác định thiết diện của hình chóp với mp (). Tính diện tích thiết diện này.
Bài 31. Cho hình chóp S.ABCD , có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a ; SA ^(ABCD) tan của góc hợp bởi cạnh bên SC và mặt phẳng chứa đáy bằng .
a) Chứng minh tam giác SBC vuông
Chứng minh BD ^ SC và (SCD)^(SAD) 
c) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCB) 
Bài 32. Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy băng 3a, cạnh bên bằng .
a) Tính khoảng cách từ S tới mặt đáy của hình chóp
b) Tính góc hợp bởi cạnh bên SB với mặt đáy của hình chóp.
c) Tính tan của góc hợp bởi mặt phẳng (SBC) và (ABC).
Bµi 33. Tứ diện ABCD có cạnh AB vuông góc với mặt phẳng (BCD) . Trong tam giác BCD vẽ các đường caoBE và DF cắt nhau tại O. Trong mặt phẳng (ACD) vẽ DK vuông góc với AC tại K. Gọi H là trực tâm của tam giác ACD.
Chứng minh mặt phẳng (ADC) (ABE) và (ADC) (DFK)
Chứng minh OH (ACD).