Đề cương ôn tập giữa học kì 2 - Toán 11

 Đề cương ôn tập giữa học kì 2 Toán 11 – Trung tâm GDTX Thuận thành
 ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP GIỮA HỌC KÌ 2 TOÁN 11 
 ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
 CHỦ ĐỀ 1: CẤP SỐ CỘNG
 A. Lý thuyết 
 1. Số hạng tổng quát: un u1 n 1 d
 n u u n 2u1 n 1 d 
 2. Tổng n số hạng đầu: S 1 n S 
 n 2 ; n 2
 B. Bài tập.
 Dạng 1: Nhận dạng một dãy số là cấp số cộng
Câu 1: Dãy số nào sau đây là cấp số cộng?
 A. 1; 3; 6; 9; 12.B. 1; 4; 7; 10; 14.C. 1; 2; 4; 8; 16.D. 0; 4; 8; 12; 16.
Câu 2: Trong các dãy sau đây, dãy nào là cấp số cộng?
 n n 1 2
 A. un 3 . B. un 3 . C. un 3n 1. D. un 5n n.
 1 1
Câu 3: Một cấp số cộng u với u ,d có dạng khai triển nào sau đây?
 n 1 2 2
 1 1 1 1 1
 A. ; 0; 1; ; 1;... B. ; 0; ; 0; ;...
 2 2 2 2 2
 1 3 5 1 1 3
 C. ; 1; ; 2; ;... D. ; 0; ; 1; ;...
 2 2 2 2 2 2
Câu 4: Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng
 A. 1; -2; -4; -6; -8.B. 1; -3; -6; -9; -12.C. 1; -3; -7; -11; -15.D. 1; -3; -5; -7; -9.
Câu 5: Trong các dãy số sau đây dãy số nào là cấp số cộng?
 2 n 1
 A. un n 1,n 1. B. un 2n 3,n 1. C. un n 1,n 1. D. un 2 ,n 1.
Câu 6: Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?
 2 n n 1
 A. un 3n 2020. B. un 3n 2020. C. un 3 . D. un 3 .
Câu 7: Trong các dãy số un sau đây, dãy số nào không phải là cấp số cộng?
 1 Đề cương ôn tập giữa học kì 2 Toán 11 – Trung tâm GDTX Thuận thành
 n 2 2 u1 3
 A. un 3n 1. B. un 2 1. C. un n 1 n . D. 
 un 1 un 1,n 1.
Câu 8: Các dãy số sau có số dạng tổng quát un , dãy số nào không phải là cấp số cộng?
 n 2 2
 A. 1; 3; 5; 7; 9.B. 13; 17; 21; 25; 29.C. un 1 3 . D. un n 3 n .
Câu 9: Trong các dãy số sau đây dãy số nào là cấp số cộng?
 u1 1 u1 1 2 3
 A. . B. . C. un n . D. un n 1 .
 un 1 2un 1 un 1 un 1
Câu 10: Dãy số nào dưới đây là cấp số cộng?
 n * * n * 3n 1 *
A. un n 2 , n ¥ .B. un 3n 1, n ¥ . C. un 3 , n ¥ . D. un , n ¥ .
 n 2
 Dạng 2: Tìm số hạng đầu tiên, công sai của cấp số cộng, tìm số hạng thứ k của cấp 
số cộng, tính tổng k số hạng đầu tiên.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM DẠNG 2:
Câu 1: Số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng un có u2 7;u3 4 là
 A.u1 1;d 3. B.u1 10;d 3. C.u1 4;d 3. D. u1 4;d 3.
Câu 2: Cho cấp số cộng un với số hạng đầu là u1 15và công sai d 2.Số hạng thứ 8 
của cấp số cộng là
 A.u8 1. B.u8 1. C.u8 103. D. u8 64.
Câu 3: Cho cấp số cộng un có u1 1;d 2;Sn 483. Giá trị của n là
 A. n 20. B. n 21. C. n 22. D. n 23.
 u1 2
Câu 4: Cho cấp số cộng un xác định bởi . Số 70 là số hạng thứ bao nhiêu 
 un 1 un 3
của cấp số cộng?
 A. 15.B. 23.C. 25.D. 205.
Câu 5: Cho một cấp số cộng un có u1 5và tổng của 50 số hạng đầu bằng 5150. Công 
thức của số hạng tổng quát un là
 A. un 1 4n. B. un 5n. C. un 3 2n. D. un 2 3n.
 2 Đề cương ôn tập giữa học kì 2 Toán 11 – Trung tâm GDTX Thuận thành
Câu 6: Cho cấp số cộng un có un 2n 3. Biết Sn 320, giá trị của n là
 A. n 16 hoặc n 20. B. n 15.
 C. n 20. D. n 16.
Câu 7: Cho dãy số un biết un 2n 5. Chọn khẳng định đúng.
 A. un là một cấp số cộng với công sai d 2.B. un là một cấp số cộng với công sai 
 d 2.
 C. un là một cấp số cộng với công sai d 5.D. un là một cấp số cộng với công sai 
 d 5.
Câu 8: Cho cấp số cộng un biết u1 7 và d 4. Lựa chọn kết quả đúng trong các kết quả 
sau
 A.u15 u3 46. B.u29 u22 28. C.u17 u13 18. D. u1000 u100 350.
Câu 9 : Cho một cấp số cộng có u1 3; u6 27 . Tìm d ?
 A. d 5 . B. d 7 . C. d 6 . D. d 8 .
 1
Câu 10 : Cho một cấp số cộng có u ; u 26 Tìm d ?
 1 3 8
 11 3 10 3
 A. d .B. d . C. d . D. d . 
 3 11 3 10
Câu 11: Cho cấp số cộng un có: u1 0,1; d 0,1. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là: 
 A. 1,6 .B. 6 .C. 0,5.D. 0,6 .
Câu 12: Viết ba số xen giữa các số 2 và 22 để được cấp số cộng có 5 số hạng.
 A. 7; 12; 17 .B. 6; 10;14.C. 8;13;18 .D. 6;12;18.
Câu 13 : Cho dãy số un có d = –2; S8 = 72. Tính u1 ?
 1 1
 A. B. C. u D. u 
 u1 16 u1 16 1 1
 16 16 
Câu 14 : Cho dãy số un có u1 1;d 2;Sn 483. Tính số các số hạng của cấp số cộng?
 A. n 20 . B. n 21.C. n 22 .D. n 23 .
 3 Đề cương ôn tập giữa học kì 2 Toán 11 – Trung tâm GDTX Thuận thành
Câu 15 : Cho cấp số cộng un có u4 12;u14 18 . Tìm u1, d của cấp số cộng?
 A. u1 20,d 3 .B. u1 22,d 3. C. u1 21,d 3.D. u1 21,d 3.
 Chủ đề 2 : CẤP SỐ NHÂN
Dạng 1: Chứng minh một dãy un là cấp số nhân
Dạng 2: Xác định số hạng đầu, số hạng thứ k, công bội, tổng n số hạng đầu tiên của 
cấp số nhân
 Ví dụ 1. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân, biết
 u1 u5 51 u2 6
 a) b) 
 u2 u6 102 S3 43
 Hướng dẫn giải
 4
 4 u 1 q 51
 u1 u5 51 u u .q 51 1 * 
 a) Ta có 1 1 
 5 4
 u2 u6 102 u q u q 102 u q 1 q 102 ** 
 1 1 1 
 4
 u1q 1 q 102
 Chia từng vế của (**) cho (*) ta được 4
 u1 1 q 51
 51 51
 q 2 u 3
 1 1 q4 17
 Vậy u1 3 và q = 2
 u q 6
 1 u q 6
 u2 6 1 * 
 b) 1 q3 
 S 43 u 43 u 1 q q2 43 **
 3 1 1 
 1 q
 u q 6
 1 
 chia từng vế của (*) cho (**) ta được 2
 u1 1 q q 43
 4 Đề cương ôn tập giữa học kì 2 Toán 11 – Trung tâm GDTX Thuận thành
 q 6
 2 2
 43q 6 1 q q 6q 37q 6 0 1
 q 
 6
 • Với q 6 u1 1
 1
 • Với q u 36
 6 1
 1
 q 6 q 
 Vậy hoặc 6
 u1 1 
 u1 36
 BÀI TẬP TỰ LUẬN
 Bài 2. Cho cấp số nhân un có công bội nguyên và các số hạng thỏa mãn 
 u2 u4 10
 u1 u3 u5 21
 a) Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân
 b) Tổng của bao nhiêu số hạng đầu tiện bằng 1365?
 c) Số 4096 là số hạng thứ mấy của cấp số nhân?
 Bài 3. Tính các tổng sau
 1 1 1 1
 a) S ... 
 n 2 22 23 2n
 2 2 2
 1 1 n 1 
 b) Sn 3 9 ... 3 n 
 3 9 3 
 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?
 1
 u1 u1 2
 A. 2 .B. un 1 nun . C. . D. un 1 un 1 3.
 2 un 1 5un
 un 1 un
 5 Đề cương ôn tập giữa học kì 2 Toán 11 – Trung tâm GDTX Thuận thành
Câu 2: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?
 1 1 1 1
 A. u 1.B. u .C. u n .D. u n2 .
 n 3n n 3n 2 n 3 n 3
Câu 3: Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số nhân?
 1 1 1 1
 A. u 4 .B. u .C. u 2n .D. u n2 .
 n 3n n 5n 2 n 3 n 3
 1 1 1 1
Câu 4: Hỏi , , , là bốn số hạng đầu của dãy số nào sau đây?
 2 4 8 32
 1 1 1 1
 A. u .B. u .C. u . D. u .
 n 2n n 2n 1 n 2n n n2
Câu 5: Cho dãy số un có các số hạng đầu là 5, 10, 15, 20, 25, Số hạng tổng quát của 
dãy là
A. un 5(n 1) .B. un 5n .C. un 5 n .D. un 5n 1.
 1
Câu 6: Cho các cấp số nhân với u ;u 32 .Công bội của cấp số nhân là
 1 2 7
 1
 A. .B. 4.C. 2.D. 1.
 2
 3
Câu 7: Cấp số nhân u có u .2n . Số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân là
 n n 5
 6 6 6 6
 A. u ,q 3 .B. u ,q 2 .C. u ,q 2 .D. u ,q 5 .
 1 5 1 5 1 5 1 5
 1 1
Câu 8: Cho cấp số nhân có u 1;q . Số là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số 
 1 10 10103
nhân?
 A. Số hạng thứ 103. B. Số hạng thứ 104. C. Số hạng thứ 105. 
D. Số hạng thứ 106.
Câu 9: Cho cấp số nhân có u1 1,u6 0,00001. Khi đó công bội q và số hạng tổng quát 
un là
 n
 1 1 1 1 1 1 1 
A. q ,u B. q ,u 10n 1 C. q ,u D. q ,u 
 10 n 10n 1 10 n 10 n 10n 1 10 n 10n 1
 6 Đề cương ôn tập giữa học kì 2 Toán 11 – Trung tâm GDTX Thuận thành
Câu 10: Cho cấp số nhân 2;4; 8;... Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân là
 n 2n
 2 1 2 2 1 2 n 2 1 2 2 1 2 2n 
 A. B. C. D. 
 1 2 1 2 1 2 1 2
Câu 11: Cho cấp số nhân biết u1 1;q 2 . Số hạng thứ 11 là
 A. 20B. 1024C. 22D. 2008
Câu 12: Nếu cấp số nhân un có u1 3 và công bội q 3 thì giá trị u7 là
 A. 36 B. 37 C. 21D. 38
 3
Câu 13: Cấp số nhân u có u .2n . Số hạng đầu tiên và công bội q là
 n n 5
 6 6 6 6
 A. u ,q 3 B. u ,q 2 C. u ,q 2 D. u ,q 5
 1 5 1 5 1 5 1 5
 n 1
 1 
Câu 14: Cho cấp số nhân lùi vô hạn un với un . Tổng của cấp số nhân đó là
 3 
 1 1 1 1
 A. B. C. D. 
 6 4 12 12
Câu 15: Tổng 10 số hạng đầu của một cấp số nhân có u1 4,u10 2048là
 A. S10 8184 B. S10 4092 C. S10 12276 D. S10 6138
 Chủ đề 3. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
 A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số dạng đa thức, phân thức hữu tỉ
PPG:
Chia cả tử và mẫu cho nk với số mũ k cao nhất hoặc đặt nhân tử chung
Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:
 • Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0.
 • Nếu bậc của tử bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số 
 của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu.
 7 Đề cương ôn tập giữa học kì 2 Toán 11 – Trung tâm GDTX Thuận thành
 • Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là + nếu hệ số 
 cao nhất của tử và mẫu cùng dấu và kết quả là – nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu 
 trái dấu(ta thường đặt nhân tử chung của tử, mẫu riêng).
Bài tập:
Bài 1: Tìm giới hạn sau:
 2
 3n3 2n2 n n 1
 a)lim c) lim4 
 n3 4 2n n 1
 2
 – n2 + n – 1 d)lim(n n + 1).
 b) lim
 2n2 – 1
Bài 2: Tính các giới hạn sau:
 1 2.3n 7n 3n3 2n2 n
 e) lim lim
 5n 2.7n n3 4
 1 3n
 f)lim 3n3 2n2 n
 4 3n lim
 4 n2
Dạng 2: Giới hạn của dãy số chứa căn
PPG: Nhân lượng liên hợp: Dùng các hằng đẳng thức
 a b a b a b A B (A2 AB B2) A3 B3
 3 3
 3 a 3 b a2 3 ab b2 a b A B (A2 AB B2) A3 B3
 Bài 3: Tính giới hạn:
 2 2
 1) lim( n 2n n 2013) 4) lim( n 2013 n 5)
 2 2 
 2) lim n n n 5) lim n 2n n 1 
 3) lim( n2 1 n 5)
 6) lim( n2 3n n)
 8 Đề cương ôn tập giữa học kì 2 Toán 11 – Trung tâm GDTX Thuận thành
Dạng 3: Tổng của CSN lùi vô hạn
PPG: 
+ CSN vô hạn (un) có công bội q với |q| < 1 được gọi là CSN lùi vô hạn.
+ S = u1 + u2 + + un + là tổng của CSN đã cho.
 u
 S 1
 1 q
 Bài 5: Tính tổng của CSN lùi vô hạn: Bài 6: Tính tổng của CSN lùi vô hạn:
 1 1 푛
 a) S = 1 + 1 + 1 + S = 1+ + + ..+ 1 
 2 4 2 4 2
 1 1 ( 1)n
 b) S = 1 + ... ... 1 1 1푛
 10 102 10n 1 S= -1 + 
 3 ― 9 + . + 3푛―1
 B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0?
 cos n 1 2n 1 1
A. . B. . C. . D. . 
 n n n n
Câu 2: Xét các câu sau:
 n
 1 
(1) Ta có lim 0; 
 3 
 1
(2) Ta có lim 0 , với k là số nguyên tùy ý.
 nk
A. Cả hai câu đều đúng.B. Cả hai câu đều sai.
C. Chỉ (1) đúng.D. Chỉ (2) sai.
 2n 1 3 1 1
Câu 3: Giới hạn lim bằng: A. 2.B. . C. . D. .
 n 2 2 2 2
 n 1 1 1
Câu 4: Giới hạn lim bằng : A. 2.B. . C. 0.D. . 
 n2 2 2 6
 1
Câu 5. Giá trị của lim bằng: A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
 n 1
 9 Đề cương ôn tập giữa học kì 2 Toán 11 – Trung tâm GDTX Thuận thành
 n2 1
Câu 6: Giới hạn lim bằng: 
 2n 3
 1 2 2
A. 0.B. . C. . D. . 
 2 3 5
 4n2 3n 1
Câu 7. Giá trị của. B lim bằng: 
 (3n 1)2
 4
A. B. C. D. 1 
 9
 n2 2n 1
Câu 8. Kết quả đúng của lim là : 
 3n4 2
 3 2 1 1
 A. . B. . C. . D. .
 3 3 2 2
 n2 2n
Câu 9. Giá trị của B lim bằng: 
 n 3n2 1
 1
 A. B. C. 0 D. 
 1 3
 1 4n 1
Câu 10: Giới hạn lim là: A. 1.B. 1. C. 0. D. . 
 1 4n 3
 3n 4.2n 1 3
Câu 11. lim bằng: A. . B. . C. 0 . D. 1.
 3.2n 4n
Câu 12. Giá trị của. N lim 3 n3 3n2 1 n bằng: A. B. C. 0D. 1 
Câu 13: Giới hạn lim n2 2n 3 3 n2 n3 . bằng:
 2 2
A. B. C.0 D. 1
 3 3
 1 1
Câu 14: Tổng S 5 5 1 ... bằng
 5 5
 10