Đề cương Ôn tập chương I: Giải tích cơ bản - Nguyễn Tuấn Dũng

 phải tăng dần)
 * y/ > 0 thì hàm số tăng ; y/ < 0 thì hàm số giảm 
 + Kết luận : hàm số đồng biến , nghịch biến trên khoảng ...
Định lý 2 (dùng để tìm giá trị m): 
	a) f(x) tăng trong khoảng (a;b) thì f/(x) ³ 0 " x Ỵ (a;b) 
	b) f(x) giảm trong khoảng (a;b) thì f/(x) £ 0 " x Ỵ (a;b).
Bài tập áp dụng
Xét đồng biến, nghịch biến các hàm số 
  Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Bài tốn 2: Cực trị hàm số 
· Dấu hiệu I :
 + MXĐ D=?
 + Đạo hàm : y/ = ? .. 
 cho y/ = 0 ( nếu cĩ ) xét dấu y/ 
 + BBT : (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần) 
 + Tính yCĐ ; yCT ; kết luận cực trị ?
Chú ý: 
Nếu hàm số luơn tăng ( giảm)trên (a;b) thì khơng cĩ cực trị trên (a;b).
Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y/ = 0.
đổi dấu qua x0
x0 là cực trị của hàm số ĩ
· Dấu hiệu II:
 + MXĐ
 + Đạo hàm: y/ = ? .. y// = ? .. 
 cho y/ = 0 ( nếu cĩ ) => x1 , x2 .. .
 + Tính y//(x1); y//(x2).
 Nếu y//(x0) > 0 thì hàm số đạt CT tại x0 , yCT= ? 
 Nếu y//(x0) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại x0 , yCĐ= ?
· Tìm m để hàm số đạt cực trị tại xo:
 + xo là điểm cực trị 
 + xo là điểm cực đại 
 + xo là điểm cực tiểu 
· Hàm số đạt cực trị bằng y0 tại x0
 Hàm số đạt cực trị bằng y0 tại x0 khi
Chú ý : dấu hiệu II dùng cho những h/s mà y/ khĩ xét dấu (như hàm lượng giác,mũ,logarit,luỹ thừa, )
* Nếu y = f(x) là đa thức thì đường thẳng đi qua các điểm cực trị là:
y = phần dư của phép chia f(x) cho f/(x).
Dạng 2: Cực trị của hàm hữu tỉ :
Cho h/s y = 	u(x) ; v(x) là các đa thức cĩ MXĐ: D
Và y/ = = dấu của y/ là dấu của g(x) 
Nếu hàm số đạt cực tri tại x0 thì y/(x0)= 0 => g(x0) = 0 u/v-v/u = 0 
=> . Do đĩ giá trị cực trị y(x0) = 
Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp
Để hàm số cĩ 2 cực trị 
Để hàm số cĩ hai cực trị nằm về 2 phía đối với tung 
Để hàm số cĩ hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung 
Để hàm số cĩ hai cực trị nằm trên trục hồnh 
Để hàm số cĩ hai cực trị nằm dưới trục hồnh 
Để hàm số cĩ cực trị tiếp xúc với trục hồnh 
Bài tập áp dụng
 Œ Tìm cực trị của hàm số (dấu hiệu I)
 v Định m để hàm số: 
 Đạt cực trị tại x = 2.
 	 Đạt cực tiểu tại x = 1.
 	Đạt cực đại tại x = 2.
 w Tìm a,b để hàm số :
 Đạt cực trị bằng 1 khi x = 2.
 Đạt cực tiểu bằng 2 khi x = 1.
  Cho hàm số y = (m là tham số)
Chứng minh rằng với mọi giá trị của m hàm số cĩ cực đại, cực tiểu.
Tìm giá trị của m để hàm số đạt cực đại tại x = 2.
Tìm giá trị của m để hàm số cĩ giá trị cực tiểu là 3.
 Cho hàm số y = x3 – 3x2 + m. Với giá trị nào của m thì hàm số cĩ cực đại cực tiểu sao cho yCĐ và yCT trái dấu.
‘ Cho hàm số y = 
Xác định m để hàm số cĩ cực đại, cực tiểu.
Xác định m để yCĐ và yCT cùng dấu.
 ’ Tìm m để hàm số y = cĩ các điểm CĐ – CT nằm về 2 phía đối với trục tung.
 “* Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 4m3. Xác định m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Bài tốn 3: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 
1. Phương pháp tìm GTLN và GTNN của h/s y = f(x) trên [a;b]:
xét hàm số y = f(x)= trên [a;b]
Đạo hàm : y/ = ? .. 
	 cho y/ = 0 ( nếu cĩ ) _ x1 , x2 .. . chỉ chọn các nghiệm thuộc [a;b]
Tính f(x1) ; f(x2) . 	So sánh ® KL 
 f(a) ; f(b) 
Kết luận: ? ?
2. P/pháp tìm GTLN hoặc GTNN của h/s trên (a;b) hoặc MXĐ :
Miền đang xét (a;b) hoặc TXĐ 
Đạo hàm : y/ = ? .. 
 cho y/ = 0 ( nếu cĩ ) xét dấu y/ 
Lập BBT:
Từ BBT kết luận
	 * Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CT thì GTNN bằng giá trị CT 
 * Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CĐ thì GTLN bằng giá trị CĐ yCĐ
 * Nếu hàm số luơn tăng (giảm) trên (a;b) thì khơng cĩ cực trị trên khoảng (a;b).
Chú ý : Khi gặp h/s khơng cho miền đang xét thì ta tìm TXĐ của hàm số đĩ :
Nếu TXĐ là một đoạn [a;b] hoặc nữa khoảng thì ta dùng cách 1 
Nếu TXĐ là một khoảng thì dùng cách 2
Đơi khi: Đặt ẩn phụ t=u(x) Biến bài tốn tìm GTLN,NN của hàm số y = f(x) trên một khoảng nào đĩ thành bài tốn tìm GTLN,NN của hàm số y = g(t) trên 1 đoạn khác 
Bài tập áp dụng
 Œ Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất các hàm số sau 
  Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất các hàm số sau 
 trên đoạn 
TÌM CÁC TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ
Bài tốn 4: Cách xác định tiệm cận :
Tiệm cận đứng : => x = x0 là tiệm cận đứng 
 Chú ý : tìm x0 là những điểm hàm số không xác định 
Tiệm cận ngang : => y = y0 là tiệm cận ngang
 Chú ý : hàm số có dạng phân thức ( hoặc có thể đưa về dạng phân thức ) và bậc tử £ bậc mẫu thì có tiệm cận ngang 
Tiệm cận xiên (ban cơ bản khơng cĩ phần này): 
 Cách 1: + viết hàm số dưới dạng : f(x) = ax + b + e (x) 
 [f(x) –(ax + b)] == 0 Þ y = ax + b là tiệm cận xiên 
 Cách 2: ta tìm hai hệ số a và b ; ; 
y = ax + b là tiệm cận xiên 
Bài tập áp dụng
 Œ Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số:
KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Bài tốn 5: Khảo sát hàm số
SƠ ĐỒ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 
1.Tìm tập xác định: D=
Tính đạo hàm: y’= cho y’=0 và tìm nghiệm
3.Tính giới hạn:
 với xo là nghiệm mẫu 
4.Tìm phương trình tiệm cận (nếu cĩ)
5.Lập bảng biến thiên
6.Chỉ ra khoảng đồng biến,nghịch biến 
7.Chỉ rõ điểm CỰC ĐẠI,CỰC TIỂU
8.Xét tính lồi lõm và điểm uốn (Đối với hàm số bậc 3 và hàm trùng phương)
Tính y’’ cho y’’=0 tìm nghiệm và lập bảng xét dấu y’’
9.Nhận xét về đồ thị: 
Chỉ rõ tâm đối xứng(trục đối xứng của đồ thị)
Chỉ rõ giao điểm của (C) với trục Oy và Ox
Cho thêm điểm đặt biệt để vẽ
10. Vẽ đồ thị.
1.Hàm số bậc 3 : y = ax3 + bx2 + cx + d ( a ¹ 0 ) 
+ TXĐ : D = R
+ Đạo hàm: y/ = 3ax2 + 2bx + c với D/ = b2 - 3ac
D/ £ 0 
D/ > 0
y/ cùng dấu với hệ số a
·KL: hàm số tăng trên? (giảm trên?)
 y/ = 0 có hai nghiệm x1; x2 
·KL: hàm số tăng? Giảm?
·Hàm số không có cực trị 
· Cực tri ̣ cực đại? Cực tiểu?
+ Giới hạn: · = 
	 · = 
+ Bảng biến thiên: 
x
- +
x
a > 0
- x1 x2 +
y/
 +
y/
 + 0 - 0 +
y
 + 
 -
y
 CĐ +
- CT
x
- +
x
a < 0
- x1 x2 +
y/
 -
y/
 - 0 + 0 -
y
+ 
 -
y
+ CĐ 
 CT - 
Chú ý : dù y/ = 0 có nghiệm kép việc xét dấu vẫn đúng
Điểm uốn I(-;f(-))
+ Vẽ đồ thị : · xác đinh Cực trị ?
	 · ; điểm đặc biệt
 a>0 ; có 2 CT a0,không CT a<0,không CT
Bài tập áp dụng
u Khảo sát , vẽ đồ thị các hàm số sau:
2 Hàm trùng phương y = ax4 + bx2 + c ( a ¹ 0 ) 
+ TXĐ : D = R
+ Đạo hàm: y/ = 4ax3 + 2b.x =2x.(2a x2+ b) 
a,b cùng dấu
a, b trái dấu
y/ = 0 Û x = 0 
·KL: tăng? Giảm?
 y/ = 0 Û 2x (2ax2 + b) = 0 Û x= 0; x1,2=±
·KL: tăng? Giảm?
·Giá trị cực trị : y(0) = c 
có một cực trị
· Giá trị cực trị: y(0)= c ; y(±) =-
Có 3 cực trị
+ Giới hạn : = 
+ Bảng biến thiên : 
x
- 0 +
x
a > 0
- x1 0 x2 +
y/
 - 0 +
y/
 - 0 + 0 - 0 +
y
CT
+ +
y
+ CĐ +
 CT CT
x
- 0 +
x
- x1 0 x2 +
y/
 + 0 -
y/
a < 0
 + 0 - 0 + 0 -
y
CĐ
- -
y
 CĐ CĐ
- CT -
 + Vẽ đồ thị : · cực đại , cực tiểu ; · y = 0 -> x= ? giải pt trùng phương 
 a> 0
 b>0
a< 0
b <0
a0
 a> 0
 b <0
Bài tập áp dụng
v Khảo sát , vẽ đồ thị các hàm số sau:
3.Hàm phân thức : y = ( c ¹ 0; ad - bc ¹ 0 ) 
+ TXĐ : D = R\
+ Đạo hàm : y/ = 
ad-bc < 0
ad-bc > 0
y/ < 0 " x ỴD
y/ > 0 " x ỴD
Hàm số không có cực trị
Hàm số nghịch biến trên D
Hàm số đồng biến trên D
+ Tiệm cận: · x =là tiệm cận đứng vì = ¥
 	 · y = là tiệm cận ngang vì = 
+Bảng biến thiên :
x
- -d/c +
x
- -d/c +
y/
 - || -
y/
 + || +
y
a/c ||+ 
 - a/c
 y
 +|| a/c
a/c -
+ Vẽ đồ thị : - Vẽ tiệm cận , điểm đặc biệt 
 	 - Cho 2 điểm về 1 phía của tiệm cận đứng vẽ một nhánh , lấy đối xứng nhánh đó qua giao điểm hai tiệm cận .
x= -d/ c
y= a/c
x= -d/ c
y= a/c
Bài tập áp dụng
 w Khảo sát , vẽ đồ thị các hàm số sau:
; 	; ; ; ; 
; ; ; ; ; 
; 
BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH DỰA VÀO ĐỒ THỊ.
Bài toán 6: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị :
 Giả sử phải biện luận số nghiệm của Pt : F(x; m) = 0 . 
Biến đổi phương trình F(x; m) = 0 về dạng f(x) = g(x) Trong đó đồ thị hàm số y = f(x) đã vẽ và y=g(x) là 1 đường thẳng song song với Ox 
Chú ý: Ở mức độ khĩ hơn thì đồ thị y=g(x) // với đường thẳng cố định hoặc quay quanh 1 điểm cố định)
Vẽ đồ thị:y = g(x) ; đồ thị (C): y =f(x) 
Dựa vào đồ thị xét sự tương giao của đồ thị (C) với đồ thị y = g(x) 
Bài tập áp dụng
 Œ Cho hàm số: có đồ thị là (C) 
 Khảo sất hàm số
 Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phưong trình:
  Cho hàm số: có đồ thị là (C) :
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 
Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phưong trình : 
 w cho hàm số: 
 a) Khảo sát vã vẽ đồ thị hàm số.
 b) Biện luân bằng đồ thị số nghiệm của phương trình: 
PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN.
Bài toán 7: Phương trình tiếp tuyến :
Yêu Cầu Viết PTTT của (C): y=f(x) biết 
Tiếp tuyến tại M(x0; f(x0)) 
TT có phương trình là : y - f(x0)= f/(x0)(x- x0) 
Từ x0 tính f(x0) ; Đạo hàm : y/ = f/(x) => f/(x0) = ? 
P.trình tiếp tuyến tại M là: y = f/(x0)(x- x0) + f(x0)
2. Tiếp tuyến có hệ số góc k :
Nếu : tiếp tuyến // đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = a
 tiếp tuyến ^ đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = - 
Giả sử M(x0; f(x0)) là tiếp điểm => hệ số góc của tiếp tuyến f/(x0).
Giải phương trình f/(x0) = k => x0 = ? -> f(x0) = ?
Phương trình tiếp tuyến y = k (x - x0) + f(x0) 
Chú ý : + Hai đường thẳng vuông góc nhau : k1.k2 = -1 
 + Hai đường thẳng song song nhau : k1 = k2 
3. Tiếp tuyến đi qua(kẻ từ) một điểm A(x1; y1) của đồ thị h/s y =f(x) (nâng cao) 
Gọi k là hệ số góc của