Dãy số - Lý thuyết và bài tập

DÃY SỐ 
A/ LÝ THUYẾT :
1)Định nghĩa : Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N* được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số ) .Kí hiệu : u : N* R
 n u(n) .
Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển :
u1 , u2 , u3 , u4 , ,un, ,
Trong đó un = u(n) hoặc viết tắt là (un) ,và gọi u1 là số hạng đầu ,un là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số .
2) Dãy số tăng , dãy số giảm :
+ Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng nếu ta có un+1 > un với mọi nN* .
+ Dãy số (un) được gọi là dãy số giảm nếu ta có un+1 < un với mọi nN* .
* Từ đó suy ra :Để chứng minh dãy số (un) tăng , giảm ta làm như sau :
Cách 1 : Lập hiệu un+1 - un
 + Nếu un+1 - un > 0 thì dãy số (un) là dãy số tăng 
 + Nếu un+1 - un <0 thì dãy số (un) là dãy số giảm 
Cách 2 : nếu các số hạng trong dãy đều dương thì ta có thể lập tỉ số 
 + Nếu >1 thì dãy số (un) là dãy số tăng 
 + Nếu < 1 thì dãy số (un) là dãy số giảm
3) Dãy số bị chặn :
+ Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho : un M , .
+ Dãy số (un) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho : un m , .
+ Dãy số (un) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới ,tức là tồn tại các số m ,M sao cho : m un M , .
B / BÀI TẬP :
BÀI 1 :Viết 5 số hạng đầu của các dãy số sau :
 Un = 101-2n ; Un = 3n -7 ; Un = 3n – 2n ; Un = ;
 Un = ; Un = 
BÀI 2 :Xét tính tăng , giảm của các dãy số (Un) biết :
Un = 2n + 3 g) Un = 
Un = 2n3 – 5n + 1 f) Un = 
Un = 3n – n h) Un = 
Un = i) Un = 
Un = j) Un = n - 
Un = k) Un = 
BÀI 3 :Cho dãy số (Un) được xác định bởi : U1 = 1 và Un+1 = Un +7 , 
a) Tính U2 ; U4 ; U6 
b) Cmr : Un = 7n - 6 ,
BÀI 4 : Cho dãy số (Un) được xác định bởi : U2 = 2 và Un+1 = 5.Un , 
a) Tính U2 ; U4 ; U6 
b) Cmr : Un = 2.5n-1 , 
BÀI 5 : Cho dãy số (Un) được xác định bởi : U1 = 1 và Un+1 = 3Un +10 , 
Cmr : Un = 2.3n – 5 , 
BÀI 6 : Cho dãy số (Un) được xác định bởi : U1 = 2 và Un+1 = 3Un +2n-1 , 
Cmr: Un = 3n - n ,
BÀI 7 : Cho dãy số (Un) được xác định bởi : 
a) 	, 	b) , c) , 
Tìm số hạng tổng quát của các dãy số trên 
BÀI 8 :Xét tính bị chặn của các dãy số (Un) được xác định bởi :
a) , 
b) Un = , 
c) Un = 2n2 + 2 , 
d) Un = , 
e) Un = ,