Đáp án Đề thi tuyển sinh Đại học môn Toán khối A năm 2008

 Trang 1/5 
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 
 ĐỀ CHÍNH THỨC 
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM 
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2008 
Môn thi: TOÁN, khối A 
(Đáp án - thang điểm gồm 05 trang) 
Câu Nội dung Điểm 
I 2,00 
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1,00 điểm) 
Khi m = 1 hàm số trở thành:
2x x 2 4y x 2 .
x 3 x 3
+ −
= = − +
+ +
• TXĐ: { }D \ 3 .= −\ 
• Sự biến thiên:
2
2 2
4 x 6x 5y ' 1 ,
(x 3) (x 3)
+ +
= − =
+ +
x 1
y ' 0
x 5
= −⎡
= ⇔ ⎢
= −⎣ 
• yCĐ ( )y 5 9= − = − , yCT ( )y 1 1.= − = − 
0,25 
• TCĐ: x 3= − , TCX: y x 2.= − 0,25 
• Bảng biến thiên: 
0,25 
•Đồ thị: 
0,25 
2 Tìm các giá trị của tham số m ... (1,00 điểm) 
2 2mx (3m 2)x 2 6m 2y mx 2 .
x 3m x 3m
+ − − −
= = − +
+ +
• Khi 1m
3
= đồ thị hàm số không tồn tại hai tiệm cận. 
0,25 
• Khi 1m
3
≠ đồ thị hàm số có hai tiệm cận : 
 d1: x 3m x 3m 0,= − ⇔ + = d2: y mx 2 mx y 2 0.= − ⇔ − − = 
0,25 
Vectơ pháp tuyến của d1, d2 lần lượt là 1n (1;0)=
JJG
, 2n (m; 1).= −
JJG
Góc giữa d1 và d2 bằng o45 khi và chỉ khi 
1 20
2 2
1 2
n .n m m 2cos45 m 1.
2n . n m 1 m 1
= = ⇔ = ⇔ = ±
+ +
JJG JJG
JJG JJG 
0,50 
x −∞ 5− 3− 1− +∞ 
y’ + 0 − − 0 + 
y 
−∞ −∞
+∞ +∞ 
1−
9− 
-3 
-1 
O -1 
-9 
-5 
y 
x 2 
-2 
 Trang 2/5 
II 2,00 
1 Giải phương trình lượng giác (1,00 điểm) 
Điều kiện sin x 0≠ và 3πsin(x ) 0.
2
− ≠ 
Phương trình đã cho tương đương với: 1 1 2 2(s inx + cosx)
s inx cosx
+ = − 
⇔ 1(s inx + cosx) 2 2 0.
s inxcosx
⎛ ⎞
+ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
0,50 
• s inx + cosx 0 x k .
4
π
= ⇔ = − + π 
• 1 2 2
s inxcosx
+ = 0 2sin 2x x k
2 8
π
⇔ = − ⇔ = − + π hoặc 5x k .
8
π
= + π 
Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là : 
x k ;
4
π
= − + π 5x k ; x k (k ).
8 8
π π
= − + π = + π ∈] 
0,50 
2 Giải hệ... (1,00 điểm) 
2 3 2
4 2
5x y x y xy xy
4
5x y xy(1 2x)
4
⎧
+ + + + = −⎪⎪⎨⎪ + + + = −⎪⎩
( )2 2
2 2
5x y xy xy x y
4
5(x y) xy
4
⎧
+ + + + = −⎪⎪
⇔ ⎨⎪ + + = −⎪⎩
 ( )∗ 
 Đặt 
2u x y
v xy
⎧ = +⎨
=⎩
. Hệ phương trình ( )∗ trở thành 
2
5u v uv
4
5u v
4
⎧
+ + = −⎪⎪⎨⎪ + = −⎪⎩
2
3 2
5 5v u u 0, v
4 4
u 1 3u u 0 u , v .
4 2 2
⎧ ⎡
= − − = = −⎪ ⎢⎪
⇔ ⇔ ⎢⎨ ⎢⎪ + + = = − = −⎢⎪⎩ ⎣
0,50 
• Với u = 0, 5v
4
= − ta có hệ pt 
2x y 0
5xy
4
⎧ + =⎪⎨
= −⎪⎩
 ⇔ 3 5x
4
= và 3 25y
16
= − . 
• Với 1 3u , v
2 2
= − = − ta có hệ phương trình 
2 33 1x 0 2x x 3 0
2x 2
33 yy 2x2x
⎧ ⎧− + = + − =⎪⎪ ⎪
⇔⎨ ⎨
= −⎪ ⎪
= − ⎩⎪⎩
 ⇔ x 1= và 3y .
2
= − 
Hệ phương trình có 2 nghiệm : 3 35 25;
4 16
⎛ ⎞
−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
 và 31; .
2
⎛ ⎞
−⎜ ⎟⎝ ⎠ 
0,50 
III 2,00 
1 Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của A trên d (1,00 điểm) 
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương ( )u 2;1;2 .G Gọi H là hình chiếu vuông góc 
của A trên d, suy ra H(1 + 2t ; t ; 2 + 2t) và AH (2t 1; t 5;2t 1).= − − −
JJJG
0,50 
Vì AH ⊥ d nên AH. u 0=
JJJG G
 ⇔ 2(2t – 1 ) + t – 5 + 2(2t – 1) = 0 ⇔ t = 1. 
Suy ra ( )H 3;1;4 . 0,50 
 Trang 3/5 
2 Viết phương trình mặt phẳng ( )α chứa d sao cho... (1,00 điểm) 
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng ( ).α 
Ta có d(A, (α) ) = AK ≤ AH (tính chất đường vuông góc và đường xiên). Do đó 
khoảng cách từ A đến ( )α lớn nhất khi và chỉ khi AK = AH, hay K ≡ H. 
0,50 
Suy ra ( )α qua H và nhận vectơ AH
JJJG
 = (1 ; – 4 ; 1) làm vectơ pháp tuyến. 
Phương trình của ( )α là 
1(x 3) 4(y 1) 1(z 4) 0− − − + − = ⇔ x 4y z 3 0.− + − = 
0,50 
IV 2,00 
1 Tính tích phân... (1,00 điểm) 
I = ( )
π π
4 46 6
2 2
0 0
tg x tg xdx dx.
cos 2x 1 tg x cos x
=
−
∫ ∫ 
Đặt 2
dxt tgx dt .
cos x
= ⇒ = Với x 0= thì t 0= ; với x
6
π
= thì 1t .
3
= 
0,25 
Suy ra 
1
3 4
2
0
tI dt
1 t
=
−
∫ ( )
1 1
3 3
2
0 0
1 1 1t 1 dt dt
2 t 1 t 1
⎛ ⎞
= − + + −⎜ ⎟+ −⎝ ⎠∫ ∫
3 1t 1 t 1t ln 3
3 2 t 1
0
⎛ ⎞+
= − − +⎜ ⎟
−⎝ ⎠
 0,50 
 ( )1 10ln 2 3 .2 9 3= + − 0,25 
2 Tìm các giá trị của m... (1,00 điểm) 
Điều kiện: 0 x 6≤ ≤ . 
Đặt vế trái của phương trình là f (x) , [ ]x 0; 6 .∈ 
Ta có 
3 34 4
1 1 1 1f '(x)
2x 6 x2 (2x) 2 (6 x)
= + − −
−
−
3 34 4
1 1 1 1 1
2 2x 6 x(2x) (6 x)
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= − + −⎜ ⎟⎜ ⎟
−⎝ ⎠−⎝ ⎠
, x (0;6).∈ 
Đặt 
3 34 4
1 1 1 1u(x) , v(x) .
2x 6 x(2x) (6 x)
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= − = −⎜ ⎟⎜ ⎟
−⎝ ⎠−⎝ ⎠
Ta thấy ( ) ( )u 2 v 2 0= = ⇒ f '(2) 0.= Hơn nữa u(x), v(x) cùng dương trên 
khoảng ( )0;2 và cùng âm trên khoảng ( )2;6 . 
0,50 
Ta có bảng biến thiên: 
Suy ra các giá trị cần tìm của m là: 42 6 2 6 m 3 2 6.+ ≤ < + 
0,50 
f’(x) + 0 − 
x 0 2 6
f(x) 
3 2 6+
42 6 2 6+ 4 12 2 3+
 Trang 4/5 
V.a 2,00 
1 Viết phương trình chính tắc của elíp... (1,00 điểm) 
Gọi phương trình chính tắc của elíp (E) là: 
2 2
2 2
x y 1
a b
+ = , a b 0.> > 
Từ giả thiết ta có hệ phương trình: ( )
2 2 2
c 5
a 3
2 2a 2b 20
c a b .
⎧
=⎪⎪⎪
+ =⎨⎪
= −⎪⎪⎩
0,50 
Giải hệ phương trình trên tìm được a = 3 và b = 2. 
Phương trình chính tắc của (E) là 
2 2x y 1.
9 4
+ = 
0,50 
2 Tìm số lớn nhất trong các số 0 1 na ,a ,..., a ... (1,00 điểm) 
Đặt ( ) ( )n n0 1 nf x 1 2x a a x ... a x= + = + + + n1 n0 na a 1a ... f 2 .2 2 2
⎛ ⎞⇒ + + + = =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
Từ giả thiết suy ra n 122 4096 2= = n 12.⇔ = 
0,50 
Với mọi { }k 0,1, 2,...,11∈ ta có k kk 12a 2 C= , k 1 k 1k 1 12a 2 C+ ++ = 
k k
k 12
k 1 k 1
k 1 12
a 2 C1 1
a 2 C+ ++
< ⇔ < ( )
k 1 1
2 12 k
+
⇔ <
−
 23k .
3
⇔ < 
Mà k ∈] k 7.⇒ ≤ Do đó 0 1 8a a ... a .< < < 
Tương tự, k
k 1
a 1 k 7.
a +
> ⇔ > Do đó 8 9 12a a ... a .> > > 
Số lớn nhất trong các số 0 1 12a ,a ,..., a là 
8 8
8 12a 2 C 126720.= = 
0,50 
V.b 2,00 
1 Giải phương trình logarit... (1,00 điểm)) 
Điều kiện: 1x
2
> và x 1.≠ 
Phương trình đã cho tương đương với 
 22x 1 x 1log (2x 1)(x 1) log (2x 1) 4− +− + + − = 
2x 1 x 11 log (x 1) 2log (2x 1) 4.− +⇔ + + + − = 
Đặt 2x 1t log (x 1),−= + ta có 
2 t 12t 3 t 3t 2 0
t 2.t
=⎡
+ = ⇔ − + = ⇔ ⎢
=⎣ 
0,50 
• Với 2x 1t 1 log (x 1) 1 2x 1 x 1 x 2.−= ⇔ + = ⇔ − = + ⇔ = 
• Với 
−
=⎡⎢
= ⇔ + = ⇔ − = + ⇔ ⎢ =⎣
2
2x 1
x 0 (lo¹i)
t 2 log (x 1) 2 (2x 1) x 1 5
x (tháa m·n)
4
Nghiệm của phương trình là: x 2= và 5x .
4
= 
0,50 
 Trang 5/5 
2 Tính thể tích và tính góc... (1,00 điểm) 
Gọi H là trung điểm của BC. 
Suy ra A 'H ⊥ (ABC) và AH = 1
2
BC = 2 21 a 3a a.
2
+ = 
Do đó 2 2 2A 'H A 'A AH= − 23a= A 'H a 3.⇒ = 
Vậy 
3
A'.ABC ABC
1 aV A'H.S
3 2Δ
= = (đvtt). 
0,50 
Trong tam giác vuông A 'B'H có: 2 2HB' A 'B' A 'H 2a= + = nên tam giác 
B'BH cân tại B '. 
Đặt ϕ là góc giữa hai đường thẳng AA ' và B'C ' thì nB'BHϕ = 
Vậy a 1cos
2.2a 4
ϕ = = . 
0,50 
Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì được đủ điểm từng phần 
như đáp án quy định. 
-------------Hết------------- 
C 
A 
B 
B'
A '
H 
C '