Đáp án Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng môn Toán khối A năm 2007

1/4 
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM 
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2007
Môn: TOÁN, khối A 
(Đáp án - Thang điểm gồm 04 trang) 
Câu Nội dung Điểm 
I 2,00 
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1,00 điểm) 
 Khi m 1= − ta có 
2x 3 1y x 2
x 2 x 2
−= = − ++ + . 
• Tập xác định: D = \{ 2}−\ . 
• Sự biến thiên: 
2
2 2
1 x 4x 3y ' 1
(x 2) (x 2)
+ += − =+ + , 
x 3
y ' 0
x 1.
= −⎡= ⇔ ⎢ = −⎣ 
0,25 
Bảng biến thiên: 
yCĐ = ( ) ( )CTy 3 6, y y 1 2.− = − = − = − 
0,25 
• Tiệm cận: Tiệm cận đứng x = − 2, tiệm cận xiên y = x − 2. 0,25 
• Đồ thị: 
0,25 
2 Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu và  (1,00 điểm) 
( )
2 2
2
x 4x 4 my '
x 2
+ + −= + . 
Hàm số (1) có cực đại và cực tiểu ⇔ ( ) 2 2g x x 4x 4 m= + + − có 2 nghiệm 
phân biệt x ≠ −2 ( )
2
2
' 4 4 m 0
g 2 4 8 4 m 0
⎧∆ = − + >⎪⇔⎨ − = − + − ≠⎪⎩
 ⇔ m ≠ 0. 
0,50 
x − ∞ −3 −2 −1 + ∞
y' + 0 − − 0 + 
 y −6 + ∞ + ∞ 
 −∞ − ∞ −2 
x 
y 
− 3
− 6
−2
O 
−1−2
2/4 
Gọi A, B là các điểm cực trị ⇒ ( )A 2 m; 2− − − , ( )B 2 m;4m 2− + − . 
Do ( )OA m 2; 2 0= − − − ≠JJJG G , ( )OB m 2;4m 2 0= − − ≠JJJG G nên ba điểm O, A, B 
tạo thành tam giác vuông tại O ⇔ 2OA.OB 0 m 8m 8 0= ⇔ − − + =JJJG JJJG 
⇔ m 4 2 6= − ± (thỏa mãn m ≠ 0). 
Vậy giá trị m cần tìm là: m 4 2 6= − ± . 
0,50 
II 2,00 
1 Giải phương trình lượng giác (1,00 điểm) 
Phương trình đã cho ⇔ (sinx + cosx)(1 + sinxcosx) = (sinx + cosx)2 
 ⇔ (sinx + cosx)(1−sinx)(1−cosx) = 0. 0,50 
⇔ π πx kπ, x k2π, x k2π
4 2
= − + = + = (k ∈Z ). 0,50 
2 Tìm m để phương trình có nghiệm (1,00 điểm) 
Điều kiện: x 1≥ . Phương trình đã cho ⇔ 4x 1 x 13 2 m (1).
x 1 x 1
− −− + =+ + 
Đặt 4 x 1t
x 1
−= + , khi đó (1) trở thành 
23t 2t m (2).− + = 
0,50 
Vì 4 4x 1 2t 1
x 1 x 1
−= = −+ + và x 1≥ nên 0 t 1.≤ < 
Hàm số 2f (t) 3t 2t, 0 t 1= − + ≤ < có bảng biến thiên: 
Phương trình đã cho có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm t ∈ [0; 1) ⇔ 11 m
3
− < ≤ . 
0,50 
III 2,00 
1 Chứng minh d1 và d2 chéo nhau (1,00 điểm) 
+) d1 qua M(0; 1; −2), có véctơ chỉ phương 1u
JJG
= (2; −1; 1), 
 d2 qua N(−1; 1; 3), có véctơ chỉ phương 2u
JJG
= (2; 1; 0). 
0,25 
+) 1 2[u , u ]
JJG JJG
= (−1; 2; 4) và MNJJJJG = (−1; 0; 5). 0,50 
+) 1 2[u , u ]
JJG JJG
. MN
JJJJG
= 21 ≠ 0 ⇒ d1 và d2 chéo nhau. 0,25 
2 Viết phương trình đường thẳng d (1,00 điểm) 
Giả sử d cắt d1 và d2 lần lượt tại A, B. Vì A ∈ d1, B ∈ d2 nên 
A(2s;1 s; 2 s), B( 1 2t;1 t;3).− − + − + + 
⇒ ABJJJG = (2t − 2s − 1; t + s; − s + 5). 
0,25 
(P) có véctơ pháp tuyến n
G
 = (7; 1; − 4). 
AB ⊥ (P) ⇔ ABJJJG cùng phương với nG 0,25 
⇔ 2t 2s 1 t s s 5
7 1 4
− − + − += = − ⇔ 
5t 9s 1 0
4t 3s 5 0
+ + =⎧⎨ + + =⎩ ⇔ 
s 1
t 2
=⎧⎨ = −⎩ 
⇒ ( ) ( )A 2;0; 1 , B 5; 1;3 .− − − 
0,25 
Phương trình của d là: x 2 y z 1
7 1 4
− += = − . 0,25 
1 1/3 0
f(t) 
t 
0
1/3 
-1 
3/4 
IV 2,00 
1 Tính diện tích hình phẳng (1,00 điểm) 
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường đã cho là: 
(e + 1)x = (1 + ex)x ⇔ (ex − e)x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1. 0,25 
Diện tích của hình phẳng cần tìm là: S = 
1
x
0
xe ex dx−∫ = 1 1 x
0 0
e xdx xe dx.−∫ ∫ 0,25 
Ta có: 
1
0
e xdx∫ = 2 1ex 02 = e2 , 
1 1
x x x
0 0
1
xe dx xe e dx
0
= −∫ ∫ = x 1e e 10− = . 
Vậy eS 1
2
= − (đvdt). 
0,50 
2 Tìm giá trị nhỏ nhất của P (1,00 điểm) 
Ta có: 2x (y z)+ 2x x≥ . Tương tự, 2y (z x)+ ≥ 2y y , 2z (x y)+ ≥ 2z z . 0,25 
⇒ 2y y2x x 2z zP
y y 2z z z z 2x x x x 2y y
≥ + ++ + + . 
Đặt a = x x 2y y+ , b = y y 2z z+ , c = z z 2x x+ . 
Suy ra: 4c a 2bx x
9
+ −= , 4a b 2cy y
9
+ −= , 4b c 2az z
9
+ −= . 
0,25 
Do đó 2 4c a 2b 4a b 2c 4b c 2aP
9 b c a
+ − + − + −⎛ ⎞≥ + +⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 2 c a b a b c4 6
9 b c a b c a
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ≥ ( )
2 4.3 3 6 2.
9
+ − = 
(Do c a b
b c a
+ + = c a
b c
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠+ 
b 1
a
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠ − 1 ≥ 2
a
b
 + 2 b
a
 − 1 ≥ 4 − 1 = 3, 
hoặc c a b
b c a
+ + ≥ 3 c a b3
b c a
⋅ ⋅ = 3. Tương tự, a b c
b c a
+ + ≥ 3). 
0,25 
Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z = 1. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2. 0,25 
V.a 2,00 
1 Viết phương trình đường tròn (1,00 điểm) 
Ta có M(−1; 0), N(1; −2), ACJJJG = (4; − 4). Giả sử H(x, y). Ta có: 
BH AC
H AC
⎧ ⊥⎪⎨ ∈⎪⎩
JJJG JJJG
⇔ 4(x 2) 4(y 2) 0
4x 4(y 2) 0
+ − + =⎧⎨ + − =⎩ ⇔ 
x 1
y 1
=⎧⎨ =⎩ ⇒ H(1; 1). 
0,25 
Giả sử phương trình đường tròn cần tìm là: 2 2x y 2ax 2by c 0+ + + + = (1). 0,25 
Thay tọa độ của M, N, H vào (1) ta có hệ điều kiện: 
2a c 1
2a 4b c 5
2a 2b c 2.
− =⎧⎪ − + = −⎨⎪ + + = −⎩
 0,25 
1a
2
1b
2
c 2.
⎧ = −⎪⎪⎪⇔ =⎨⎪ = −⎪⎪⎩
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: 2 2x y x y 2 0.+ − + − = 
0,25 
4/4 
2 Chứng minh công thức tổ hợp (1,00 điểm) 
Ta có: ( )2n 0 1 2n 2n2n 2n 2n1 x C C x ... C x ,+ = + + + ( )2n 0 1 2n 2n2n 2n 2n1 x C C x ... C x− = − + + 
( ) ( ) ( )2n 2n 1 3 3 5 5 2n 1 2n 12n 2n 2n 2n1 x 1 x 2 C x C x C x ... C x .− −⇒ + − − = + + + + 
( ) ( ) ( )1 12n 2n 1 3 3 5 5 2n 1 2n 12n 2n 2n 2n
0 0
1 x 1 x
dx C x C x C x ... C x dx
2
− −+ − −⇒ = + + + +∫ ∫ 
0,50 
• ( ) ( ) ( ) ( )( )
1 2n 2n 2n 1 2n 1
0
11 x 1 x 1 x 1 x
dx
02 2 2n 1
+ ++ − − + + −= +∫ = 2n2 12n 1−+ (1) 
• ( )1 1 3 3 5 5 2n 1 2n 12n 2n 2n 2n
0
C x C x C x ... C x dx− −+ + + +∫ 
12 4 6 2n
1 3 5 2n 1
2n 2n 2n 2n
0
x x x xC . C . C . ... C .
2 4 6 2n
−⎛ ⎞= + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠
 1 3 5 2n 12n 2n 2n 2n
1 1 1 1C C C ... C
2 4 6 2n
−= + + + (2). 
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh. 
0,50 
V.b 2,00 
1 Giải bất phương trình logarit (1,00 điểm) 
Điều kiện: x > 3
4
. Bất phương trình đã cho ⇔ 
2
3
(4x 3)log
2x 3
−
+ ≤ 2 0,25 
⇔ (4x − 3)2 ≤ 9(2x + 3) 0,25 
⇔ 16x2 − 42x −18 ≤ 0 ⇔ − 3
8
 ≤ x ≤ 3. 0,25 
Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là: 3
4
 < x ≤ 3. 0,25 
2 Chứng minh AM ⊥ BP và tính thể tích khối tứ diện CMNP (1,00 điểm) 
Gọi H là trung điểm của AD. 
Do SAD∆ đều nên SH AD.⊥ 
Do ( ) ( )SAD ABCD⊥ nên 
( )SH ABCD⊥ 
( )SH BP 1 .⇒ ⊥ 
Xét hình vuông ABCD ta có 
CDH BCP∆ = ∆ ⇒ 
( )CH BP 2 .⊥ Từ (1) và (2) 
suy ra ( )BP SHC .⊥ 
Vì MN // SC và AN // CH 
nên ( ) ( )AMN // SHC . Suy ra 
( )BP AMN⊥ ⇒ BP AM.⊥ 
0,50 
Kẻ ( ) ( )MK ABCD , K ABCD .⊥ ∈ Ta có: CMNP CNP1V MK.S .3= 
Vì 
2
CNP
1 a 3 1 aMK SH , S CN.CP
2 4 2 8
= = = = nên 
3
CMNP
3aV
96
= (đvtt). 
0,50 
NÕu thÝ sinh lµm bµi kh«ng theo c¸ch nªu trong ®¸p ¸n mµ vÉn ®óng th× ®−îc ®ñ ®iÓm tõng phÇn nh− 
®¸p ¸n quy ®Þnh. 
----------------Hết---------------- 
A 
S 
D C 
B 
H 
M 
N 
P 
K