Đáp án Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng môn Toán khối A năm 2006

1/5 
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM 
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2006
Môn: TOÁN, khối A 
(Đáp án - Thang điểm gồm 05 trang) 
Câu Ý Nội dung Điểm 
I 2,00 
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1,00 điểm) 
 y = 3 22x 9x 12x 4.− + − 
• TXĐ: .\ 
• Sự biến thiên: ( )2y ' 6 x 3x 2= − + , y ' 0 x 1, x 2.= ⇔ = = 
0,25 
 Bảng biến thiên: 
+_+
+∞
-∞
0
1
0
0
21 +∞-∞
y
y'
x
 yCĐ = ( ) ( )CTy 1 1, y y 2 0.= = = 
0,50 
• Đồ thị: 
O 
−4 
1 
1 
2 x 
y 
0,25 
2 Tìm m để phương trình có 6 nghiệm phân biệt (1,00 điểm) 
Phương trình đã cho tương đương với: 3 22 x 9 x 12 x 4 m 4− + − = − . 
Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số 
3 2y 2 x 9 x 12 x 4= − + − với đường thẳng y m 4.= − 
0,25 
Hàm số 3 2y 2 x 9 x 12 x 4= − + − là hàm chẵn, nên đồ thị nhận Oy làm trục 
đối xứng. 
0,25 
2/5 
Từ đồ thị của hàm số đã cho suy ra đồ thị hàm số: 
3 2y 2 x 9x 12 x 4= − + − 
0,25 
Từ đồ thị suy ra phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi: 
0 m 4 1 4 m 5.< − < ⇔ < < 
0,25 
II 2,00 
1 Giải phương trình lượng giác (1,00 điểm) 
Điều kiện: ( )2sin x 1 .
2
≠ 
Phương trình đã cho tương đương với: 
( )6 6 23 12 sin x cos x sin x cos x 0 2 1 sin 2x sin 2x 04 2⎛ ⎞+ − = ⇔ − − =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 23sin 2x sin 2x 4 0⇔ + − = 
0,50 
 sin 2x 1⇔ = 
 ( )x k k .
4
π
⇔ = + π ∈] 
0,25 
Do điều kiện (1) nên: ( )5x 2m m .
4
π
= + π ∈] 0,25 
2 Giải hệ phương trình (1,00 điểm) 
Điều kiện: x 1, y 1, xy 0.≥ − ≥ − ≥ Đặt ( )t xy t 0 .= ≥ Từ phương trình thứ 
nhất của hệ suy ra: x y 3 t.+ = + 
0,25 
Bình phương hai vế của phương trình thứ hai ta được: 
( )x y 2 2 xy x y 1 16 2+ + + + + + = . 
Thay 2xy t , x y 3 t= + = + vào (2) ta được: 
2 23 t 2 2 t 3 t 1 16 2 t t 4 11 t+ + + + + + = ⇔ + + = − 
0,25 
 ( ) ( )22 2
0 t 11 0 t 11
t 3
4 t t 4 11 t 3t 26t 105 0
≤ ≤⎧ ≤ ≤⎧⎪
⇔ ⇔ ⇔ =⎨ ⎨
+ + = − + − =⎩⎪⎩
0,25 
Với t 3= ta có x y 6, xy 9.+ = = Suy ra, nghiệm của hệ là (x; y) (3;3).= 0,25 
O 
−4 
1 
1 
2 x −1 −2 
y = m − 4 
y 
3/5 
III 2,00 
1 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A 'C và MN (1,00 điểm) 
Gọi ( )P là mặt phẳng chứa A 'C và song song với MN . Khi đó: 
( ) ( )( )d A 'C, MN d M, P .= 
0,25 
Ta có: ( ) 1 1C 1;1;0 ,M ;0;0 , N ;1;0
2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
 ( ) ( )A 'C 1;1; 1 ,MN 0; 1; 0= − =JJJJG JJJJG 
 ( )1 1 1 1 1 1A 'C, MN ; ; 1;0;1 .
1 0 0 0 0 1
⎛ − − ⎞⎡ ⎤ = =⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠
JJJJG JJJJG
0,25 
Mặt phẳng ( )P đi qua điểm ( )A ' 0;0;1 , có vectơ pháp tuyến ( )n 1;0;1 ,=G có 
phương trình là: ( ) ( ) ( )1. x 0 0. y 0 1. z 1 0 x z 1 0.− + − + − = ⇔ + − = 
0,25 
Vậy ( ) ( )( )
2 2 2
1 0 1
12d A 'C, MN d M, P .
2 21 0 1
+ −
= = =
+ +
0,25 
2 Viết phương trình mặt phẳng (1,00 điểm) 
Gọi mặt phẳng cần tìm là ( ) ( )2 2 2Q : ax by cz d 0 a b c 0 .+ + + = + + > 
Vì ( )Q đi qua ( )A ' 0;0;1 và ( )C 1;1;0 nên: c d 0 c d a b.
a b d 0
+ =⎧
⇔ = − = +⎨
+ + =⎩ 
Do đó, phương trình của ( )Q có dạng: ( ) ( )ax by a b z a b 0.+ + + − + = . 
0,25 
Mặt phẳng ( )Q có vectơ pháp tuyến ( )n a;b;a b= +G , mặt phẳng Oxy có 
vectơ pháp tuyến ( )k 0;0;1=G . 
Vì góc giữa ( )Q và Oxy là α mà 1cos
6
α = nên ( ) 1cos n,k
6
=
G G
0,25 
( )22 2
a b 1
6a b a b
+
⇔ =
+ + +
 ( ) ( )2 2 26 a b 2 a b ab⇔ + = + + 
 a 2b⇔ = − hoặc b 2a.= − 
0,25 
Với a 2b= − , chọn b 1,= − được mặt phẳng ( )1Q : 2x y z 1 0.− + − = 
Với b 2a= − , chọn a 1,= được mặt phẳng ( )2Q : x 2y z 1 0.− − + = 
0,25 
IV 2,00 
1 Tính tích phân (1,00 điểm) 
Ta có: 
2 2
2 2 2
0 0
sin 2x sin 2xI dx dx.
cos x 4sin x 1 3sin x
π π
= =
+ +
∫ ∫ 
Đặt 2t 1 3sin x dt 3sin 2xdx.= + ⇒ = 
0,25 
Với x 0= thì t 1= , với x
2
π
= thì t 4.= 0,25 
Suy ra: 
4
1
1 dtI
3 t
= ∫ 0,25 
4
1
2 2t .
3 3
= = 
0,25 
4/5 
2 Tìm giá trị lớn nhất của A (1,00 điểm) 
Từ giả thiết suy ra: 2 2
1 1 1 1 1 .
x y x y xy
+ = + − 
Đặt 1 1a, b
x y
= = ta có: ( )2 2a b a b ab 1+ = + − 
 ( )( ) ( )23 3 2 2A a b a b a b ab a b .= + = + + − = + 
0,25 
Từ (1) suy ra: ( )2a b a b 3ab.+ = + − 
Vì 
2a bab
2
+⎛ ⎞≤ ⎜ ⎟⎝ ⎠ nên ( ) ( )
2 23a b a b a b
4
+ ≥ + − + 
( ) ( )2a b 4 a b 0 0 a b 4⇒ + − + ≤ ⇒ ≤ + ≤ 
Suy ra: ( )2A a b 16.= + ≤ 
0,50 
Với 1x y
2
= = thì A 16.= Vậy giá trị lớn nhất của A là 16. 0,25 
V.a 2,00 
1 Tìm điểm 3M d∈ sao cho ( ) ( )1 2d M,d 2d M,d= (1,00 điểm) 
Vì 3M d∈ nên ( )M 2y; y . 0,25 
Ta có: 
( ) ( )
( )1 22 2 22
2y y 3 3y 3 2y y 4 y 4
d M,d , d M,d .
2 21 1 1 1
+ + + − − −
= = = =
+ + −
0,25 
( ) ( )1 2d M,d 2d M,d= ⇔ 3y 3 y 42 y 11, y 1.2 2
+ −
= ⇔ = − = 0,25 
Với y 11= − được điểm ( )1M 22; 11 .− − 
Với y 1= được điểm ( )2M 2; 1 . 
0,25 
2 Tìm hệ số của 26x trong khai triển nhị thức Niutơn (1,00 điểm) 
• Từ giả thiết suy ra: ( )0 1 n 202n 1 2n 1 2n 1C C C 2 1 .+ + ++ + ⋅⋅⋅+ = 
 Vì k 2n 1 k2n 1 2n 1C C , k,0 k 2n 1
+ −
+ += ∀ ≤ ≤ + nên: 
( ) ( )0 1 n 0 1 2n 12n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 11C C C C C C 2 .2 ++ + + + + ++ + ⋅⋅⋅+ = + + ⋅⋅⋅+ 
0,25 
 Từ khai triển nhị thức Niutơn của ( )2n 11 1 ++ suy ra: 
 ( ) ( )2n 10 1 2n 1 2n 12n 1 2n 1 2n 1C C C 1 1 2 3 .++ ++ + ++ + ⋅⋅⋅ + = + = 
 Từ (1), (2) và (3) suy ra: 2n 202 2= hay n 10.= 
0,25 
• Ta có: ( ) ( )10 10 1010 k k7 k 4 7 k 11k 4010 104
k 0 k 0
1 x C x x C x .
x
−
− −
= =
⎛ ⎞
+ = =⎜ ⎟⎝ ⎠ ∑ ∑ 
0,25 
Hệ số của 26x là k10C với k thỏa mãn: 11k 40 26 k 6.− = ⇔ = 
Vậy hệ số của 26x là: 610C 210.= 
0,25 
5/5 
V.b 2,00 
1 Giải phương trình mũ (1,00 điểm) 
Phương trình đã cho tương đương với: ( )
3x 2x x2 2 23 4 2 0 1 .
3 3 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0,25 
Đặt ( )
x2t t 0
3
⎛ ⎞
= >⎜ ⎟⎝ ⎠ , phương trình (1) trở thành: 
3 23t 4t t 2 0+ − − = 0,25 
 ( ) ( )2 2t 1 3t 2 0 t
3
⇔ + − = ⇔ = (vì t 0> ). 0,25 
Với 2t
3
= thì 
x2 2
3 3
⎛ ⎞
=⎜ ⎟⎝ ⎠ hay x 1.= 
0,25 
2 Tính thể tích của khối tứ diện (1,00 điểm) 
Kẻ đường sinh AA '. Gọi D là điểm đối xứng với A ' qua O ' và H là hình 
chiếu của B trên đường thẳng A 'D. 
A 
A' 
O 
O' H D 
B 
Do BH A 'D⊥ và BH AA '⊥ nên ( )BH AOO 'A ' .⊥ 
0,25 
Suy ra: OO'AB AOO'
1V .BH.S .
3
= 0,25 
Ta có: 2 2 2 2A 'B AB A 'A 3a BD A 'D A 'B a= − = ⇒ = − = 
BO 'D⇒ Δ đều a 3BH .
2
⇒ = 
0,25 
Vì AOO' là tam giác vuông cân cạnh bên bằng a nên: 2AOO'
1S a .
2
= 
Vậy thể tích khối tứ diện OO 'AB là: 
2 31 3a a 3aV . . .
3 2 2 12
= = 
0,25 
 NÕu thÝ sinh lµm bµi kh«ng theo c¸ch nªu trong ®¸p ¸n mµ vÉn ®óng th× ®−îc ®ñ ®iÓm tõng 
phÇn nh− ®¸p ¸n quy ®Þnh. 
----------------Hết----------------