Đáp án Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng môn Toán khối A năm 2003

 1
 Bộ giáo dục và đào tạo kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2003 
 −−−−−−−−−−−−− đáp án −thang điểm 
 đề thi chính thức Môn thi : toán Khối A 
Nội dung điểm
Câu 1. 2điểm
1) 
 Khi 
2 1 11 .
1 1
x xm y x
x x
− + −= − ⇒ = = − −− − 
+ Tập xác định: \{ 1 }.R 
+ 
2
2 2
01 2' 1 . ' 0
2.( 1) ( 1)
xx xy y
xx x
=− += − + = = ⇔  =− −  
+ [ ] ⇒=−=−− ∞→∞→ 01
1lim)(lim
x
xy
xx
tiệm cận xiên của đồ thị là: xy −= . 
 ⇒∞=→ yx 1lim tiệm cận đứng của đồ thị là: 1=x . 
Bảng biến thiên: 
Đồ thị không cắt trục hoành. 
Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0; 1). 
1 điểm 
0,25 đ 
0,5 đ 
0, 25 đ 
x − ∞ 0 1 2 + ∞ 
y’ − 0 + + 0 − 
 +∞ +∞ −3 
y CT CĐ 
 1 − ∞ − ∞
y
x O 1 2
−3
1
−1
 2
2) 
Đồ thị hàm số 
1
2
−
++=
x
mxmxy cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ 
d−ơng ⇔ ph−ơng trình 2( ) 0f x mx x m= + + = có 2 nghiệm d−ơng phân biệt khác 1 
2
0
1 4 0
(1) 2 1 0
1 0, 0
m
m
f m
mS P
m m
≠ ∆ = − >⇔  = + ≠ = − > = >
0
1
12 0
1 2
2
0
m
m
m
m
m
≠ <⇔ ⇔ − < < ≠ − <
. 
Vậy giá trị m cần tìm là: 1 0
2
m− < < . 
1 điểm 
0,25 đ 
0,75 đ 
Câu 2. 2điểm
1) 
Điều kiện 
sin 0
cos 0 (*)
tg 1
x
x
x
≠ ≠ ≠ −
. 
Khi đó ph−ơng trình đã cho )cos(sinsin
cos
sin1
sincos1
sin
cos 22 xxx
x
x
xx
x
x −+
+
−=−⇔ 
cos sin cos (cos sin ) sin (sin cos )
sin
x x x x x x x x
x
−⇔ = − + −
2(cos sin )(1 sin cos sin ) 0x x x x x⇔ − − + = 
2
cos sin 0
1 sin cos sin 0.
x x
x x x
− =⇔  − + =
TH1: 
πsin cos tg 1 π ( )
4
x x x x k k= ⇔ = ⇔ = + ∈Z thỏa mãn điều kiện (*). 
TH2: 2 2
11 sin cos sin 0 1 sin 2 sin 0 :
2
x x x x x− + = ⇔ − + = vô nghiệm. 
Vậy nghiệm của ph−ơng trình là: π π ( )
4
x k k= + ∈Z . 
2) Giải hệ 
3
1 1 (1)
2 1 (2).
x y
x y
y x
 − = − = +
+ Điều kiện 0.xy ≠ 
+ Ta có 
1(1) ( )(1 ) 0
1.
x y
x y
xyxy
=⇔ − + = ⇔  = − 
TH1: 3 3 22 1 2 1 ( 1)( 1) 0
x y x y x y
y x x x x x x
= = =    ⇔ ⇔  = + = + − + − =    
1
1 5 
2
1 5 .
2
x y
x y
x y
 = = − +⇔ = = − − = =
1 điểm 
0, 25 đ 
0, 25 đ 
0, 25 đ 
0, 25 đ 
1 điểm 
0, 25 đ 
0,5 đ 
 3
TH2: 3 3 4
1 11 (3)
22 1 1 2 0 (4).
yxy yx x
y x x x xx
 = −= − = −  ⇔ ⇔  = +   − = + + + =
Ta chứng minh ph−ơng trình (4) vô nghiệm. 
Cách 1. 
2 2
4 2 1 1 32 0, 
2 2 2
   + + = − + + + > ∀      x x x x x . 
Cách 2. Đặt 4 3
1( ) 2 ( ) min ( ) 0
4∈
 −= + + ⇒ ≥ = >  x
f x x x f x f x fR . 
Tr−ờng hợp này hệ vô nghiệm. 
Vậy nghiệm của hệ ph−ơng trình là: 
1 5 1 5 1 5 1 5( ; ) (1;1), ; , ;
2 2 2 2
x y
   − + − + − − − −=          
. 
0, 25 đ
Câu 3. 3điểm
1) 
Cách 1. Đặt AB a= . Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên A’C, suy ra BH ⊥ 
A’C, mà BD ⊥ (A’AC) ⇒ BD ⊥ A’C, do đó A’C ⊥ (BHD) ⇒ A’C ⊥ DH. Vậy góc 
phẳng nhị diện [ ], ' ,B A C D là góc nBHD . 
Xét 'A DC∆ vuông tại D có DH là đ−ờng cao, ta có . ' . 'DH A C CD A D= 
. '
'
CD A DDH
A C
⇒ = . 2 2
3 3
a a a
a
= = . T−ơng tự, 'A BC∆ vuông tại B có BH là đ−ờng 
cao và 
2
3
aBH = . 
Mặt khác: 
n n2 2 22 2 2 2 2 2 22 2 . cos 2. cos
3 3 3
a a aa BD BH DH BH DH BHD BHD= = + − = + − , 
do đó n 1cos
2
BHD = − n o120BHD⇒ = . 
Cách 2. Ta có BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ A’C (Định lý ba đ−ờng vuông góc). 
T−ơng tự, BC’⊥ A’C ⇒ (BC’D) ⊥ A’C . Gọi H là giao điểm của 'A C và ( ' )BC D 
⇒ nBHD là góc phẳng của [ ]; ' ;B A C D . 
Các tam giác vuông HA’B, HA’D, HA’C’ bằng nhau ⇒ HB = HC’ = HD 
⇒ H là tâm ∆BC’D đều n o120BHD⇒ = . 
1 điểm 
0, 25 đ 
0, 25 đ 
0, 25 đ 
0, 25 đ 
hoặc 
0, 25đ 
0,25 đ 
0,5 đ 
A 
A’ 
B’ C’
D’
D
C
B 
H
I
 4
2) 
a) Từ giả thiết ta có 
)
2
 ; ;() ; ;(' 0); ; ;( baaMbaaCaaC ⇒ . 
Vậy ( ; ; 0), (0; ; )
2
bBD a a BM a= − =JJJG JJJJG 
2, ; ; 
2 2
ab abBD BM a  ⇒ = −    
JJJG JJJJG
. 
( ) 23' ; 0; , . ' .
2
a bBA a b BD BM BA − = − ⇒ = 
JJJG JJJG JJJJG JJJG
Do đó 
2
'
1 , . ' 
6 4BDA M
a bV BD BM BA = = 
JJJG JJJJG JJJG
. 
b) Mặt phẳng ( )BDM có véctơ pháp tuyến là 21 , ; ; 2 2
ab abn BD BM a  = = −    
JJG JJJG JJJJG
, 
mặt phẳng ( ' )A BD có véctơ pháp tuyến là 22 , ' ( ; ; )n BD BA ab ab a = = 
JJG JJJG JJJG
. 
Do đó 
2 2 2 2
4
1 2( ) ( ' ) . 0 02 2
a b a bBDM A BD n n a a b⊥ ⇔ = ⇔ + − = ⇔ =JJG JJG 1a
b
⇔ = . 
2 điểm 
0, 25 đ 
0, 25 đ 
0, 25 đ 
0, 25 đ 
0, 5 đ 
0, 5 đ 
Câu 4. 2điểm
1) 
Ta có ( )1 14 3 3 3 37( 3) 7( 3)n n n n nn n n n nC C n C C C n+ ++ + + + +− = + ⇔ + − = + 
( 2)( 3) 7( 3) 2 7.2! 14 12.
2!
n n n n n+ +⇔ = + ⇔ + = = ⇔ = 
Số hạng tổng quát của khai triển là ( )
125 60 11
3 2 212 12. 
k kkk kC x x C x
− −
−    =  
 . 
Ta có 
60 11
82 60 11 8 4.
2
− −= ⇒ = ⇔ =
k
kx x k 
Do đó hệ số của số hạng chứa 8x là .495
)!412(!4
!124
12 =−=C 
 2) Tính tích phân 
2 3
2 2
5 4
xdxI
x x
=
+∫ . 
Đặt 2
2
4
4
xdxt x dt
x
= + ⇒ =
+
 và 2 2 4.x t= − 
Với 5x = thì 3t = , với 2 3x = thì 4t = . 
Khi đó 
2 3 4 4
22 2
3 35
1 1 1
4 2 244
xdx dtI dt
t ttx x
 = = = − − + −+∫ ∫ ∫ 
4
3
1 2 1 5ln ln .
4 2 4 3
t
t
− = = +  
1 điểm 
0, 5 đ 
0, 25 đ 
0, 25 đ 
1 điểm 
0, 25 đ 
0, 25 đ 
0,25 đ 
0, 25 đ
A 
A’ 
B’ 
C’ 
D’ 
D 
C B 
y
x 
z 
 5
Câu 5. 1điểm
Với mọi ,u v
G G
 ta có | | | | | | (*)u v u v+ ≤ +G G G G 
(vì ( )22 22 2 2| | 2 . | | | | 2 | | . | | | | | |u v u v u v u v u v u v+ = + + ≤ + + = +G G G G G G G G G G G G ) 
Đặt ,1 ; 

=→
x
xa 


=→
y
yb 1 ; , 

=→
z
zc 1 ; . 
áp dụng bất đẳng thức (*) ta có | | | | | | | | | | | | .a b c a b c a b c+ + ≥ + + ≥ + +G G G G G G G G G 
Vậy 
2
2 2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1( )P x y z x y z
x y zx y z
 = + + + + + ≥ + + + + +  
. 
Cách 1. Ta có 
( ) 22 22 3 31 1 1 1 9( ) 3 3 9P x y z xyz tx y z xyz t  ≥ + + + + + ≥ + = +        , với 
( ) 223 10 3 9x y zt xyz t + + = ⇒ < ≤ ≤   . 
Đặt 2
9 9 1( ) 9 '( ) 9 0, 0; ( )
9
Q t t Q t t Q t
t t
 = + ⇒ = − < ∀ ∈ ⇒   giảm trên 
10;
9
    
1( ) 82.
9
Q t Q  ⇒ ≥ =   Vậy ( ) 82.P Q t≥ ≥ 
(Dấu “=” xảy ra khi 1
3
x y z= = = ). 
Cách 2. 
Ta có 
2 2
2 2 21 1 1 1 1 1( ) 81( ) 80( )x y z x y z x y z
x y z x y z
   + + + + + = + + + + + − + +      
21 1 118( ) 80( ) 162 80 82.x y z x y z
x y z
 ≥ + + + + − + + ≥ − =  
Vậy 82.P ≥ 
(Dấu “=” xảy ra khi 1
3
x y z= = = ). 
Ghi chú: Câu này còn có nhiều cách giải khác. 
0, 25 đ 
0, 25 đ 
0, 25 đ 
0, 25 đ 
hoặc 
0,25 đ 
0,5 đ