Đáp án đề thi HSG bậc THPT môn Toán năm học 2008-2009 trường THPT Hai Bà Trưng

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
THỪA THIÊN HUẾ
ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM. MÔN TOÁN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH
Bài
Ý
Nội dung
Điểm
I
2,0
a
b.
Gọi y là một giá trị thuộc miền giá trị của hàm (1).Khi đó pt (ẩn x) sau có 
nghiệm x
 (2)
-Với y = 12, (2) trở thành ax = -36, pt có nghiệm khi a0
-Với y12, (2) có nghiệm khi 
 .
Cả hai trường hợp:
 Vậy: min max.
Ta cần có 
Do 6-a và 6+a cùng dấu và cùng tính chẵn, nên chỉ có các trường hợp:
 ; ; 
Vậy: 
0,25
0,25
0,5
0,5
0,5
II
2,0
* (1) (3)
 Mặt khác, theo định lý hàm số cos (4)
 So sánh (3) và (4) có 2bc = b2 + c2 (b - c)2 = 0 b = c (5) 
 * (2) (6) 
 Đặt t = sinA - sinB, -1 < t < 2. Xét hàm số (t) = 5t -12t - 1.
 (t) =ln5-12; (t) = 0 to= log12 - logln5
 Bảng biến thiên của xét trên khoảng (-1; 2)
t
 -1 2
 0 +
 f(t)
 Bảng biến thiên cho thấy có không qúa 2 nghiệm trên .
 Lại có= suy ra trên miền -1 < t < 2, (t) có 1 ngh duy nhất t = 0 
 Suy ra: sinA = sinB A = B (do 0 < A, B <) (7) 
 Từ (5), (7) suy ra A = B = C ABC đều.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
III
1,5
Để ý rằng: Nếu a + b + c = 0 thì a2 + b2 + c2 = abc
Đặt ta có:
0,25
0,25
0,25
0,25
IV
2,5
A
D
Q
C
S
M
B
N
Do MN/AD nên 
 Mà 
Suy ra: 
 (Vì BC/MN và SC/NQ)
Suy ra: S(MNQ) lớn nhất
Û MN.NQ lớn nhất Û lớn nhất
Nhưng 
Do đó: S(MNQ) lớn nhất
Û S(MNQ) = 
Û 
Û M là trung điểm SA
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
V
2,0
Giả sử 2 thùng có số quả cầu là m và m(m > m> 0 và m + m=25). 
Gọi t, tlà số quả cầu trắng trong 2 thùng . Theo giả thiết t t. Xác suất để lấy được 2 quả cùng trắng là : , và (1)
trong 2 số m, mít nhất có 1 số là bội của 5 1 trong 2 số m, mphải là 5 hoặc 10 hoặc 20. Nên chỉ có 2 khả năng: m = 20, m= 5 hoặc m = 15, m= 10 
Xét trường hợp m = 20, m= 5 
(1) 25tt = 12.20.5 tt= 48 = 48.1 = 24.2 = 16.3 = 12.4 = 8.6
Do 0 < t, t < 25 và t t.
(1)t= 16, t= 3 
hoặc t= 12, t= 4 
hoặc t= 8, t= 6.
Nhưng m= 5, t mnên không thể xảy ra t= 8, t= 6. 
Kí hiệu d, d là số quả cầu đen trong 2 thùng 
(thùng có t cầu trắng thì có dcầu đen), ta có bảng sau :
m= 20, t= 16,d= 4
 m= 5, t= 3,d = 2
m= 20, t= 12,d= 8
 m= 5, t= 4,d = 1
Xác suất được 2 quả cầu đen
 = 0,08
 = 0,08
Xác suất được 2 quả cùng màu
0,48 + 0,08 =0.56 
0,48 + 0,08 =0.56
Xác suất được 2 quả cầu khác màu
1 – 0,56 = 0,44
1 – 0,56 = 0,44
Xét trường hợp m = 15, m= 10 
(1) 25tt = 12m.m 25tt = 12.15.10 tt = 72 tt= 72.1 = 36.2 = 24.3 = 18.4 = 12.6 = 9.8
Do t 15, t 10 , t tnên không thể xảy ra 2 khả năng t= 12, t= 6 hoặc 
 t= 9, t= 8. Lập bảng tương tự như trong a) ta cũng được xác suất để chọn được 2 quả cầu khác màu là 0,44. Vậy trong mọi trường hợp, xác suất để chọn được 1 quả cầu đen, 1 quả trắng là 0,44.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
Huế, ngày 20 tháng 11 năm 2008
Giáo viên phụ trách
Trần Công Sỹ