Dạng toán Hình học ôn thi Đại học - Hình học mặt phẳng tọa độ

ng th¼ng (d) trong c¸c tr­êng hỵp sau : 
 a) (d) ®i qua ®iĨm M(1;0;1) vµ nhËn (3;2;3)a

lµm VTCP 
 b) (d) ®i qua 2 ®iĨm A(1;0;-1) vµ B(2;-1;3) 
Bµi 2: Trong kh«ng gian Oxyz lËp ph­¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa c¸c giao tuyÕn cđa mỈt ph¼ng 
( ) : - 3 2 -6 0 P x y z  vµ c¸c mỈt ph¼ng to¹ ®é 
Bµi 3: ViÕt ph­¬ng tr×nh cđa ®­êng th¼ng ®i qua ®iĨm M(2;3;-5) vµ song song víi ®­êng th¼ng (d) cã ph­¬ng 
tr×nh:   R t, 
21
22: 








tz
ty
tx
d
Bµi 4: Cho ®­êng th¼ng (D) vµ mỈt ph¼ng (P) cã ph­¬ng tr×nh lµ : 
  R t, 
21
22: 








tz
ty
tx
d
vµ (P): x+y+z+1=0 
T×m ph­¬ng tr×nh cđa ®­êng th¼ng (t) ®i qua A(1;1;1) song song víi mỈt ph¼ng (P) vµ vu«ng gãc víi ®­êng 
th¼ng (D) 
Bµi 5: Cho mỈt ph¼ng (P) ®i qua 3 ®iĨm A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;9). ViÕt ph­¬ng tr×nh tham sè cđa ®­êng 
th¼ng (d) ®i qua träng t©m tam gi¸c ABC vµ vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng chøa tam gi¸c ®ã 
www.VNMATH.com
 18
Bµi6: LËp ph­¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c cđa ®­êng th¼ng (d) ®i qua ®iĨm A(2;1;3) vµ vu«ng gãc víi mỈt 
ph¼ng (P) trong c¸c tr­êng hỵp sau: 
 a) ( ) : 2 3 - 4 0P x y z   b)   : 2 3 1 0P x y z    . 
Bµi 7: LËp ph­¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c cđa ®­êng th¼ng (d) ®i qua ®iĨm A(1;2;3) vµ song song víi ®­êng 
th¼ng ( ) cho bëi :
 
2 2
: 3 t
3
x t
y t R
z t
 

   
   
. 
Bµi8: XÐt vÞ trÝ t­¬ng ®èi cđa ®­êng th¼ng (d) vµ mỈt ph¼ng (P) ,biÕt: 
 a)   R t, 
2
3
1
: 








tz
ty
tx
d (P): x-y+z+3=0 b)   R t, 
1
9
412
: 








tz
ty
tx
d
 (P): y+4z+17=0 
Bµi 9: (§HNN_TH-98): Cho mỈt ph¼ng (P) vµ ®­êng th¼ng (d) cã ph­¬ng tr×nh (P): 2x+y+z=0 vµ 
 
3
2
12
1
:



 zyx
d . 
 a) T×m to¹ ®é giao ®iĨm A cđa (d) vµ (P) . 
 b) LËp ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d1) qua A vu«ng gãc víi (d) vµ n»m trong mỈt ph¼ng (P) . 
Bµi 10: Cho hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) cã ph­¬ng tr×nh cho bëi : 
  
1
1
2
1
1
2
:1




 zyx
d     t 
31
2
21
:2 R
tz
ty
tx
d 








 a) CMR hai ®­êng th¼ng ®ã c¾t nhau.X¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iĨm cđa nã. 
 b) ViÕt ph­¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa mỈt ph¼ng (P) chøa (d1),(d2). 
Bµi 11: (§HNN-96): cho hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) cã ph­¬ng tr×nh cho bëi : 
   
34
24
37
:1








tz
ty
tx
d
   R
tz
ty
tx
d 








1
1
1
1
2 tt, 
12
29
1
:
a) Chøng tá r»ng hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau. 
b) ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng vu«ng gãc chung cđa (d1),(d2) . 
III.MẶT CẦU 
1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT 
1.Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c),bán kính R 
       2Rczbyax:R)S(I, 222  (1) 
 0d2cz2by2axzyx:R)S(I, 222  (2) 
 ( 0dcbavới 222  ) 
 Tâm I(a ; b ; c) và dcbaR  222 
2.Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu 
 Cho       2Rczbyax:(S) 222  
 và  : Ax + By + Cz + D = 0 
 Gọi d = d(I,) : khỏang cách từ tâm mc(S) đến mp : 
 d > R : (S)   =  
www.VNMATH.com
 19
 d = R :  tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm, : tiếp diện) 
 *Tìm tiếp điểm H (là hchiếu của tâm I trên mp) 
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vuông góc mp : ta có nad  
 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và () 
 d < R :  cắt (S) theo đường tròn có pt      





2
0DCzByAx : 
Rczbyax:(S)
222
 *Tìm bán kính r và tâm H của đường tròn: 
+ bán kính ),(22 IdRr  
+ Tìm tâm H ( là hchiếu của tâm I trên mp) 
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vuông góc mp : ta có nad  
 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và () 
3.Giao điểm của đường thẳng và mặt cầu 








tazz
tayy
taxx
d
3o
2o
1o
: (1) và 
       2Rczbyax:(S) 222  (2) 
 + Thay ptts (1) vào pt mc (2), giải tìm t, 
 + Thay t vào (1) được tọa độ giao điểm 
2.CÁC DẠNG TOÁN 
Dạng 1: Mặt cầu tâm I đi qua A 
ª       2Rczbyax:R)S(I, 222  (1) 
 Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R2 
Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB 
 Tâm I là trung điểm AB 
 Viết phương trình mặt cầu tâm I (1) 
 Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R2 
Dạng 3: Mặt cầu tâm I tiếp xúc mp 
222
..)(
CBA
D
I
zC
I
yBS



I
A.x
)d(I, R
I tâmcầu mặt Pt

Dạng 4: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD 
Dùng (2) 0d2cz2by2axzyx:R)S(I, 222  A,B,C,D  mc(S)  hệ pt, giải tìm a, b, c, d 
Dạng 5:Mặt cầu đi qua A,B,C và tâm I € (α) 
 0d2cz2by2axzyx:R)S(I, 222  (2) 
A,B,C  mc(S): thế tọa tọa A,B,C vào (2) 
I(a,b,c) (α): thế a,b,c vào pt (α) 
www.VNMATH.com
 20
 Giải hệ phương trình trên tìm a, b, c, d 
Dạng 6: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại A 
Tiếp diện  của mc(S) tại A :  qua A,

 IA n vtpt

3.BÀI TẬP ÁP DỤNG 
Bµi 1: Trong c¸c ph­¬ng tr×nh sau ®©y ,ph­¬ng tr×nh nµo lµ ph­¬ng tr×nh cđa mỈt cÇu ,khi ®ã chØ râ to¹ ®é t©m 
vµ b¸n kÝnh cđa nã ,biÕt: 
 a)   02642: 222  zyxzyxS b)   09242: 222  zyxzyxS 
 c)   03936333: 222  zyxzyxS d)   07524: 222  zyxzyxS 
Bµi 2: Cho hä mỈt cong (Sm) cã ph­¬ng tr×nh:   04624: 2222  mmzmymxzyxSm 
a) T×m ®iỊu kiƯn cđa m ®Ĩ (Sm) lµ mét hä mỈt cÇu . 
b) CMR t©m cđa (Sm) lu«n n»m trªn mét ®­êng th¼ng cè ®Þnh. 
Bµi 3: Cho hä mỈt cong (Sm) cã ph­¬ng tr×nh:   05824: 22222  mymmxzyxSm 
 a) T×m ®iỊu kiƯn cđa m ®Ĩ (Sm) lµ mét hä mỈt cÇu . 
 b) T×m quÜ tÝch t©m cđa hä (Sm) khi m thay ®ỉi. c) T×m ®iĨm cè ®Þnh M mµ (Sm) lu«n ®i qua. 
Bµi 4: Cho hä mỈt cong (Sm) cã ph­¬ng tr×nh:   03cos2sin2: 222  mymxzyxSm 
 a) T×m ®iỊu kiƯn cđa m ®Ĩ (Sm) lµ mét hä mỈt cÇu . 
 b) CMR t©m cđa (Sm) lu«n ch¹y trªn mét ®­êng trßn (C) cè ®Þnh trong mỈt ph¼ng 0xy khi m thay ®ỉi. 
 c) Trong mỈt ph¼ng 0xy, (C) c¾t 0y t¹i A vµ B. §­êng th¼ng y=m(-1<m<1 ,m 0) ,c¾t (C) t¹i T, S , 
®­êng th¼ng qua A , T c¾t ®­êng th¼ng qua B ,S t¹i P .T×m tËp hỵp c¸c ®iĨm P khi m thay ®ỉi . 
Bµi 5: LËp ph­¬ng tr×nh mỈt cÇu (S) ,biÕt : 
 a) T©m I(2;1;-1), b¸n kÝnh R=4. b) §i qua ®iĨm A(2;1;-3) vµ 
t©m I(3;-2;-1). 
 c) §i qua ®iĨm A(1;3;0) ,B(1;1;0) vµ t©m I thuéc 0x. d) Hai ®Çu ®­êng kÝnh lµ A(-1;2;3), 
B(3;2;-7) 
Bµi 6: Cho 3 ®­êng th¼ng (d1),(d2), (d3) cã ph­¬ng tr×nh : 
 
1
1
4
2
3
2
:1




 zyx
d ,  
1
9
2
3
1
7
:2





 zyx
d ,  
1
2
2
3
3
1
:3






 zyx
d 
a) LËp pt®t (d) c¾t c¶ (d1),(d2) vµ song song víi (d3). 
b) Gi¶ sư      Add  1 ,      Bdd  2 .LËp ph­¬ng tr×nh mỈt cÇu ®­êng kÝnh AB. 
Bµi 7: Cho 2 ®­êng th¼ng (d1),(d2) cã ph­¬ng tr×nh :   R
tz
ty
tx
d 








 t
2
1
2
:1
,  
1
9
2
3
1
7
:2





 zyx
d 
a) CMR (d1) vµ (d2) chÐo nhau. b) ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng vu«ng gãc chung cđa (d1) vµ (d2). 
c) LËp mËt cÇu (S) cã ®­êng kÝnh lµ ®o¹n vu«ng gãc chung cđa (d1) vµ (d2). d) ViÕt pttq mp c¸ch ®Ịu(d1) (d2). 
Bµi 8: ViÕt ph­¬ng tr×nh mỈt cÇu (S) biÕt : 
 a) T©m I(1;2;-2) vµ tiÕp xĩc víi mỈt ph¼ng (P):6x-3y+2z-11=0. 
 b) (C§GTVT-2000): T©m I(1;4;-7) vµ tiÕp xĩc víi mỈt ph¼ng (P) :6x+6y-7z+42=0. 
 c) B¸n kÝnh R = 9 vµ tiÕp xĩc víi (P): x+2y+2z+3=0 t¹i ®iĨm M(1;1;-3). 
Bµi 9: (§H HuÕ-96): Trong kh«ng gian víi hƯ to¹ 0xyz ,cho bèn ®iĨm A(1;0;1), B(2;1;2),C(1;-1;1),D(4;5;-5). 
 a) ViÕt ph­¬ng tr×nh tham sè cđa ®­êng th¼ng ®i qua D vµ vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng (ABC). 
 b) ViÕt ph­¬ng tr×nh mỈt cÇu ngo¹i tiÕp tø diƯn ABCD. 
Bµi10: Cho bèn ®iĨm O(0;0;0),A(6;3;0), B(-2;9;1), S(0;5;8) 
 a) (§HKT-99): CMR SB vu«ng gãc SA. 
 b) (§HKT-99): CMR h×nh chiÕu cđa c¹nh SB lªn mỈt ph¼ng (0AB) vu«ng gãc víi c¹nh 0A. Gäi K lµ 
giao ®iĨm cđa h×nh chiÕu ®ã víi 0A. H·y x¸c ®Þnh to¹ dé cđa K. 
 c) ViÕt ph­¬ng tr×nh mỈt cÇu ngo¹i tiÕp tø diƯn ABCD. 
 d) (§HKT-99): Gäi P,Q lÇn l­ỵt lµ ®iĨm gi÷a cđa c¸c c¹nh S0,AB . T×m to¹ ®é cđa ®iĨm M trªn SB sao 
cho PQ vµ KM c¾t nhau. 
Bµi 11: Trong kh«ng gian víi hƯ to¹ ®é 0xyz ,cho bèn ®iĨm A(4;4;4), B(3;3;1), C(1;5;5), D(1;1;1). 
 a) (HVKTQS-98): T×m h×nh chiÕu vu«ng gãc cđa D lªn (ABC) vµ tÝnh thĨ tÝch tø diƯn ABCD. 
 b) (HVKTQS-98): ViÕt ph­¬ng tr×nh tham sè ®­êng th¼ng vu«ng gãc chung cđa AC vµ BD. 
www.VNMATH.com
 21
 c) ViÕt ph­¬ng tr×nh mỈt cÇu ngo¹i tiÕp tø diƯn ABCD. 
 d) TÝnh thĨ tÝch tø diƯn ABCD. 
Bµi 12: Cho bèn ®iĨm A(-1;3;2), B(4;0;-3), C(5;-1;4), D(0;6;1). 
 a) (HVNHTPHCM-99):ViÕt ph­¬ng tr×nh tham sè cđa ®­êng th¼ng BC .H¹ AH vu«ng gãc BC .T×m to¹ 
®é cđa ®iĨm H. 
b) (HVNHTPHCM-99):ViÕt pttq cđa (BCD) .T×m kc tõ A ®Õn (BCD). c) ViÕt ptmc ngo¹i tiÕp tø diƯn ABCD. 
Bµi 13: Trong kh«ng gian 0xyz, cho h×nh chãp .biÕt to¹ ®é bèn ®Ønh S(5;5;6), A(1;3;0), B(-1;1;4), C(1;-1;4), 
D(3;1;0). 
a) LËp pt c¸c mỈt cđa h×nh chãp. b) LËp pt mỈt cÇu (S) ngo¹i tiÕp h×nh chãp . c) TÝnh V SABCD 
Bµi 14: (HVKTMM-97) Cho bèn ®iĨm A(1;2;2), B(-1;2;-1), C(1;6;-1), D(-1;6;2). 
 a) CMR tø diƯn ABCD cã cỈp c¹nh ®èi diƯn b»ng nhau . b) X¸c ®Þnh to¹ ®é träng t©m G cđa tø 
diƯn. 
 c) ViÕt ph­¬ng tr×nh mỈt cÇu ngo¹i tiÕp ,néi tiÕp tø diƯn ABCD. 
www.VNMATH.com
 22
 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 
GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 
I. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz trong khơng gian 
Ta cĩ : , , Ox Oy Oz vuơng gĩc từng đơi một. Do đĩ, nếu trong mơ hình chứa các cạnh vuơng gĩc 
thì ta ưu tiên chọn các đường đĩ lần lượt thuộc các trục tọa độ. Cụ thể : 
Với hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật ''''. DCBAABCD 
Với hình lập phương . 
Chọn hệ trục tọa độ sao cho : 
(0;0;0) ; ( ;0;0) ; ( ; ;0) ; D(0; ;0)A B a C a a a 
'(0;0; ) ; '( ;0; ) ; '( ; ; ) ; D'(0; ; )A a B a a C a a a a a
 Với hình hộp chữ nhật. 
Chọn hệ trục tọa độ sao cho : 
(0;0;0) ; ( ;0;0) ; ( ; ;0) ; D(0; ;0)A B a C a b b 
'(0;0; ) ; '( ;0; ) ; '( ; ; ) ; D'(0; ;c)A c B a c C a b c b 

Với hình hộp đáy là hình thoi ''''. DCBAABCD 
Chọn hệ trục tọa độ sao cho : 
- Gốc tọa độ trùng với giao điểm O củ