Dạng cơ bản của giới hạn hàm số

Phần ii : Giới hạn hàm số 
 A - Các kiến thức cần nhớ.
 1) Định nghĩa 
 Cho hàm số f(x) xác định trên K có thể trừ điểm aK . Ta nói hàm số
 f(x) có giới hạn là L ( hay dần tới L) khi x dần tới a nếu với mọi dãy số 
 sao cho khi thì 
 Ta viết : hay 
 2) Các định lý 
Định lý 1 (Cỏc phộp toỏn về giới hạn hàm số ) ( với )
Định lý 2:Nếu hàm số cú giới hạn thỡ giới hạn đú là duy nhất
Định lý 3:Cho 3 hàm số g(x),f(x),h(x) cựng xỏc định trong khoảng K chứa a và g(x) ≤ f(x) ≤ h(x). Nếu thỡ 
Định lý 4: Nếu 
 Nếu 
Định lý 5:(giới hạn đặc biệt) ; ; ; 
 *Cỏc dạng vụ định: 
 1) Dạng 2) Dạng 
 3) Dạng 4) Dạng 
Phương pháp chung : Khử dạng vô định 
 +) Phân tích ra thừa số 
 +) Nhân với biểu thức liên hợp thường gặp 
 có biểu thức liên hợp 
 có biểu thức liên hợp 
 có biểu thức liên hợp 
 có biểu thức liên hợp 
 +) Đặt biến phụ 
 +) Thêm bớt một số hoặc một biểu thức .....
 B- Các dạng toán .
 I ) dạng cơ bản
Dạng I : Phân tích ra thừa số 
Ví dụ 1
 Tìm giới hạn sau : 
 Giải : M=
 M= 
Ví dụ 2
 Tìm giới hạn sau : 
 Giải : Đây là dạng .
 Ta có 
 Do nên 
 Lưu ý : Đây là bài toán cơ bản nhưng học sinh rất dễ viết sai khi viết : 
Dạng II Thêm bớt nhân liên hợp 
Ví dụ 3
 Tìm giới hạn sau : 
 Giải : 
 Nhân các biểu thức liên hợp 
 Rút gọn và Kq : N = 5
Ví dụ 4
 Tìm giới hạn sau : 
 Giải : Đây là dạng Ta chuyển về các dạng vô định khác .
 Xét các giới hạn sau : 
 Đặt Ta có 
 Nhân với biểu thức liên hợp và 
 Vậy 
 Ta có bài toán tổng quát :
Dạng III Đặt biến phụ 
Ví dụ 5
 Tìm giới hạn sau : 
 Giải : Đặt khi thì 
 Ta có :
 Dạng tổng quát : Tìm giới hạn 
 Giả sử .Tính 
II/ Giới hạn dạng : 
 và Tổng quát : (*) với 
 1) Các bài toán cơ bản :
 Các giới hạn cơ bản ( với ): 
 2) Phương pháp 
a) Phương pháp : 
 B1) Nhận dạng giới hạn .
 B2) Sử dụng các công thức lượng giác ; nhân với biểu thức liên hợp 
 Thêm bớt ;đặt biến phụ ....... .
 B3) Đưa bài toán về đúng dạng (*) .
 B4) Tìm kết quả .
 b) Yêu cầu : 
 +) Học sinh nhớ các công thức lượng giác 
	- Công thức cộng 
 - Công thức nhân đôi ; nhân ba ; hạ bậc
 - Công thức biến tổng thành tích ; tích thành tổng 
 +) Học sinh nhớ các biểu thức liên hợp .
3) áp dụng 
A- Loại 1( sử dụng các phép biến đổi lượng giác )
Phương pháp : Trong phương pháp này tác giả hướng dẫn học sinh chủ yếu bằng phương pháp sử dụng các công thức lượng giác ; thêm bớt ;nhuần nhuyễn ; đua về dạng (*)
 Ví dụ 1 Tìm các giới hạn sau : 
 Giải : Ta có =1/2
 ( Có thể nhân liên hợp với 1+cosx )
Ví dụ 2 Tìm các giới hạn sau : 
 Giải : Ta có =
 Ví dụ 3 Tìm giới hạn sau : 
 Giải : 
 Làm tương tự bài 1 C = 7
Ví dụ 4 Tìm giới hạn sau : 
 Giải : suy ra 
Ví dụ 5 Tìm giới hạn sau : 
 Giải:
 Rút gọn 
 Các bài tập tương tự . 
 1/Tính các giới hạn sau:
2/Tính các giới hạn sau: 
B-Loại 2 (Nhân với các biểu thức liên hợp)
Phương pháp : Trong phương pháp này tác giả hướng dẫn học sinh chủ yếu bằng phương pháp sử dụng các biểu thức liên hợp ; thêm bớt nhân liên hợp chứa căn bậc 2;3 là chủ yếu .(có thể làm bằng cách khác)
 Ví dụ 1 Tìm giới hạn sau : 
 Giải : Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp 
 suy ra KQ: C = 
 Ví dụ2 Tìm giới hạn sau : 
 Giải : Thêm bớt và nhân liên hợp .
 B=5/2
Các bài tập tương tự . 
 Tính các giới hạn sau:
C-Loại 3 (đặt biến phụ)
Phương pháp : Trong phương pháp này tác giả hướng dẫn học sinh chủ yếu bằng phương pháp sử dụng các biến phụ 
 Ví dụ 1 Tìm giới hạn sau : 
 GiảI: Đặt x-1= y Ta có x=y+1 và khi : thì 
 Ta có 
 Ví dụ 2 Tìm giới hạn sau : 
 Giải: Đặt Ta có và khi : thì 
 Ta có 
 Ví dụ 3 Tìm giới hạn sau : 
 Giải : Đặt Ta có x= 1-y và thì 
Các bài tập tương tự . 
 Tính các giới hạn sau: (Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ đổi biến)
 III/ Giới hạn dạng: 
Phương pháp : Dạng tổng quát 
 1) Nếu và thì 
 2) Nếu và thì ta có ngay kết quả .
 3) Nếu A=1 và thì ta đặt f(x)=1+h(x)
 Ta có : Kết quả : ( -bất kỳ)
 4) Đặc biệt : và 
 Tổng quát : với 
 với
	T=0 nếu 
 Ta có kết quả sau : nếu 
	 nếu 
 Ví dụ 1 Tìm giới hạn : 
 Giải : 
Ví dụ 2 Tìm giới hạn : 
 Giải : 
 Xét giới hạn: Vậy 
Ví dụ 3 Tìm giới hạn :
 Giải : Ta có Đặt và thì 
 Khi đó rút gọn KQ: C=1
Bài Tập Tính các giới hạn 
 iV/ Giới hạn dạng Mũ và lôgarit: 
 Phương pháp : +) Dạng tổng quát : 
 +) Dạng cơ bản: ; 
 +) Kết quả : 
Ví dụ 1 Tìm giới hạn : 
 Giải : Ta có 
Ví dụ 2 Tìm giới hạn : 
 Giải : Ta có
Ví dụ 3 Tìm giới hạn : 
 Giải : Ta có
Ví dụ 4 Tìm giới hạn : 
 Giải : Ta có 
Ví dụ 5 Tìm giới hạn : 
 Giải : Ta có
Ví dụ 6 Tìm giới hạn : 
 Giải : Ta có