Đại số và Giải tích 11 - Chuyên đề: Giới hạn của hàm số và sự liên tục

c định trên khoảng  a;b được gọi là liên tục trên khoảng  a;b nếu 
nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó. 
o Hàm số y f ( x ) xác định trên khoảng  a;b được gọi là liên tục trên đoạn  a;b nếu: 
 ( ) ;
( ) ( )
( ) ( )
x a
x b
f x a b
f x f a
f x f b
 liªn tôc trªn 
 lim 
lim




  
2. Một số định lý về hàm số liên tục: 
o Định lý 1: 
             0
0
0NÕu vµ liªn tôc t¹i th×: ; ; 
còng liªn tôc t¹i 
 
f x
f ( x ) g( x ) x f x g x f x .g x g x
g x
x
o Đinh lý 2: Các hàm đa thức, hàm hữu tỷ, hàm lượng giác liên tục trên tập xác định của 
chúng. 
o Định lý 3: Nếu hàm số y f ( x ) liên tục trên đoạn  a;b thì đạt GTLN, GTNN và mọi giá 
trị trung giữa GTLN và GTNN trên đoạn đó. 
· Hệ quả: 
Nếu nếu hàm số y f ( x ) liên tục trên đoạn  a;b và 0f ( a ). f ( b ) thì tồn tại ít 
nhất một   0sè  c a;b : f ( c ) . 
 3. Một số thuật toán cần lưu ý: 
 a. Xét (tìm điều kiện tham số) sự liên tục của hàm số tại điểm 0x : 
 Bước 1: Tính  0f x . Tính (hoặc xác định sự tồn tại) giới hạn  
0x x
f xlim

   
 Bước 2: So sánh  0f x và  
0
  x xlim f x để đưa ra kết luận 
   
     
0
0
0
0
o o
x x
x x x x
f x f x
x
f x f x f x
lim
 Hµm sè liªn tôc t¹i 
lim lim
 

 
    
          
Chuyên đề GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ VÀ SỰ LIÊN TỤC Đại số và Giải tích 11 
b. Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (a;b). 
o Chứng tỏ hàm số y f ( x ) liên tục trên đoạn  a;b 
o Chứng tỏ 0f ( a ). f ( b ) . Khi đó 0f ( x ) có ít nhất một nghiệm thuộc  a;b . 
· Muốn chứng minh : 0f ( x ) có n nghiệm phân biệt thì ta tìm n khoảng rời nhau và 
trên mỗi khoảng đó 0f ( x ) đều có nghiệm. 
II- LUYỆN TẬP: 
Bài tập 1: Xét sự liên tục của hàm số tại điểm 0x đã chỉ ra: 
1) f(x) = 
2 9 3
3
6 3
x khi x
x
khi x
    
 tại 0 3x = 2)  
2 3
2
2 7 5 2
3 2
1 2
x x x xf x x x
x
khi 
 khi 
       
 tại 0 2x = 
3)  
3
3
2 1
1
1
khi 
4
 khi 
3
     
x x x
xf x
x
tại 0 1x = - 4)  
1 2 3 2
2
2
 khi 
1 khi 
     
x xf x x
x
tại 0 2x = 
5)  
3 3 2 2 2
2
2
 khi 
3
 khi 
4
     
x x
xf x
x
tại 0 2x = 6)  
2 4
5 3
4
 khi 
3
 khi 
2
     
x x
xf x
x
tại 0 4x = 
7) ( )
2 4 2
2 1 2
x xf x
x x
ì + <= í + ³î
 khi 
 khi 
tại 0 2x = 8) ( )
4 2 1 1
3 2 1
x x xf x
x x
ì + - £ -= í + > -î
 khi 
 khi 
tại 0 1x = - 
9) ( )
2 0
1 0
x xf x
x x
ì <
= í
- ³î
 khi 
 khi 
tại 0 0x = 10) ( )
5 5
2 1 3
5
x x
xf x
x
-ì >ïï - -= í
ï £ïî
 khi 
3
 khi 
2
 tại 0 5x = 
Bài tập 2: Tìm a để hàm số liên tục tại 0x đã chỉ ra: 
1)  
3 2 1
1
1 1
x xf x x
a x
 khi 
 khi 
      
tại 0 1x = 2) f(x) = 2
2 2 2
4
2
x x
x
a x
ì + -ï ¹í -
ï =î
 khi 
 khi 
tại 0 2x = 
3) ( )
2 3 2 1
1
4
2
x x x
xf x
x x
x
ì - +
<ïï -= í -ï + ³ï +î
 khi 
a khi 1
tại 0 1x = 4)  
3 3 2 2 2
2
1
4
khi 
 khi 2
      
x x
xf x
ax x
tại 0 2x = 
Bài tập 4: Tìm a để hàm số liên tục trên  : 
1) ( )
2 1
2 3 1
x xf x
ax x
ì <= í - ³î
 khi 
 khi 
 2) ( ) ( )
2 2 2
2
a x xf x
a x x
ì £= í - >î
 khi 
1 khi 
3) ( )
2 4 2
2
2
x xf x x
a x
ì -ï ¹= í -
ï =î
 khi 
 khi 
 4) 
2 1
( ) 3
3
x x
f x ax b x
x x
ì <ï= + £ £í
ï - >î
 khi 
 khi 1
4 khi 
Chuyên đề GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ VÀ SỰ LIÊN TỤC Đại số và Giải tích 11 
5) 
2sin
2
( ) sin
cos
x x
f x a x b x
x x
p
p p
p
ì- < -ï
ïï= + - £ £í
ï
ï >ïî
 khi 
 khi 
2 2
 khi 
2
 6)  
   
 
 
2 6 3
3
0
3
x x x
x x
f x a x
b x
2 x 0
       
Bài tập 5: Chứng minh các phương trình sau có nghiệm thoả yêu cầu đề ra: 
 
 
4 2
3
2 3 0 1 1
6 1 0 2 2
1 0
2 2
x x x ; .
x x ; .
x x
cos x x
cos x s
a) 4 cã Ýt nhÊt 2 nghiÖm ph©n biÖt trªn 
b) 2 cã 3 nghiÖm ph©n biÖt trªn 
c) sin cã nghiÖm. 
d) cã nghiÖm.
e) 
    
   
  


 
 
5 4
5 3
3
2
6
3 5 2 0 2 5
5 4 1 0 2 3
6 1 2 0
in x ;
x x x ; .
x x x ;
) x x
 cã Ýt nhÊt 2 nghiÖm trªn 
f) cã Ýt nhÊt 3 nghiÖm ph©n biÖt trªn 
g) cã Ýt nhÊt 3 nghiÖm ph©n biÖt trªn 
h cã nghiÖm d­¬ng.
p p
     
    
    
   
------------------------------------------------------------------------- 
MỘT SỐ BÀI TẬP CHỌN LỌC: 
Bài tập 1: Giả sử hai hàm số  y f x và 1
2
     
y f x đều liên tục trên  0 1; và 
0 1f ( ) f ( ) . Chứng minh rằng phương trình 1 0
2
     
f ( x ) f x luôn có nghiệm trong đoạn 
10
2
 
 
  
; . 
Gợi ý: Đặt hàm số 1
2
      
g( x ) f ( x ) f x liên tục trên  0 1; . 
Ta có: 1 1 1 10 0 1 0
2 2 2 2
                                     
g( ) f ( ) f ; g f f ( ) f f ( ) 
Suy ra: 
2
1 1 10 0 0 0
2 2 2
10 0
2
010 0 1
2
2
                             
                     
g( ).g f ( ) f x ;
g( ).g ..ycbt...
x
g( ).g x
Chuyên đề GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ VÀ SỰ LIÊN TỤC Đại số và Giải tích 11 
Bài tập 2: Chứng minh rằng nếu: 2 3 6 0  a b c thì phương trình: 2 0  ax bx c có ít nhất 
một nghiệm trên  0 1; . 
Gợi ý: 
Trường hợp1: 0a . Ta có: 
   
2
2
2 4 20
3 9 3
20 4 6 9 2 2 3 6 3 0
3 9 9 3
20 0
3
2 3 02 2 20 0 0 0
03 3 3
 vµ 
      
            
                          
a bf ( ) c f c
c c cf ( ). f a b c ( a b c ) c
f ( ). f ...ycbt...
a bf ( ). f c x ;
ax bx





 
Trường hợp 2: 0a . Ta có:  03 6 0  bx cb c 
* Nêu 0 0 th×  b c và do đó phương trình có vô số nghiệm suy ra phương trình có 
nghiệm trên  0 1; . 
* Nếu 0b :  0
1 0 1
2
  bx ;
c
Bài tập 3: Cho hàm số    0 1 0 1  y f ( x ) : f : ; ; và liên tục. Chứng minh rằng tồn tại 
 0 1c ; sao cho: f ( c ) c . 
Gợi ý: Đặt hàm số  g( x ) f ( x ) x liên tục trên  0 1; 
   0 1 0 1
0 1 0 1
L­u ý: 

   
f : ; ;
x f ( x )
Ta có: 0 0 0 1 1 1 0     g( ) f ( ) ; g( ) f ( ) do  0 1 0 1 ,   f ( x ) x ; 
Lúc đó:  0 1 0 , 0;1  g( ).g( ) x 
Bài tập 4: Cho hàm số y f ( x ) liên tục trên đoạn  1 1 ; . Chứng minh rằng với mọi 0 a, b 
cho trước, phương trình: 1 1 

af ( ) bf ( )f ( x )
a b
 luôn có nghiệm thuộc  1 1 ; . 
Gợi ý: Đặt 1 1  

af ( ) bf ( )h( x ) f ( x )
a b
 liên tục trên  1 1 ; . 
Ta có: 
 
 
 2
1 11 11 1
1 11 11 1
1 1
1 1 0 0
    
 
      
 
  
     

a f ( ) f ( )af ( ) bf ( )h( ) f ( ) ;
a b a b
b f ( ) f ( )af ( ) bf ( )h( ) f ( )
a b a b
ab f ( ) f ( )
h( ).h( ) , a,b
a b
Chuyên đề GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ VÀ SỰ LIÊN TỤC Đại số và Giải tích 11 
Bài tập 5: Cho phương trình: 2 0  ax bx c  0ac . Biết rằng 2 6 19 0  a b c . Chứng 
minh phương trình có nghiệm trên  0 1; . 
Gợi ý: Xét dấu 10
3
    
f ( ). f 
Bài tập 6: Cho phương trình: 3 2 0   ax bx cx c  0ac . Biết rằng 0
12 9 2
  a b c . Chứng 
minh phương trình có nghiệm trên  0 1; . 
Gợi ý: Xét dấu 30
4
    
f ( ). f 
Bài tập 7: Cho phương trình: 2 0  ax bx c  0ac . Biết rằng 0
2001 2000 1999
  a b c . 
Chứng minh phương trình có nghiệm trên  0 1; . 
Gợi ý: Xét dấu 20000
2001
    
f ( ). f 
Bài tập 8: Cho phương trình: 4 2 0 (*)x x    . Chứng minh phương trình (*) có nghiệm 
 0 1 2x ; và 70 8x . 
Gợi ý: 
Xét dấu 1 2f ( ). f ( ) . Chứng minh 70 8x : 
 
4 4
0 0 0 0 0 0
0 0
0 0
2 0 2 2 2
2 1 2
2 2
 (1) ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy: (2)
DÊu b»ng x·y ra khi , vËy víi th× dÊu b»ng ë (2) kh«ng x·y ra.
 VËy ta cã: (3)
 Tõ (1) vµ (3) suy ra: 
       
 
 
x x x x . x x
x x ;
x x
4 8 7
0 0 0 0 0
7
2 8 8
8 2 0
C¸ch kh¸c: HoÆc cã thÓ chØ râ: 
    

x x x x x
f ( ). f ( ) .....
Bài tập 9: Cho phương trình: 6 1 0   x x (*) . Chứng minh phương trình (*) có nghiệm 
 0 1 2x ; và 130 4x . 
Bài tập 10: Chứng minh các phương trình sau đây luôn có nghiệm với bất kỳ giá trị nào của tham 
số m : 
 30 1 2 2 3 0a) cos cos2 = b)      x m x m( x ) ( x ) x 
Gợi ý: 
3
1 3 1
4 42 2
3 1 0
4 4 2
1 2 2 3 1 5 2 1
a) §Æt cos cos2 Ta cã: vµ 
 Suy ra: 
b) §Æt Ta cã: vµ 
p p
p p
               
              
       
f ( x ) x m x. f f
f . f .....
f ( x ) m( x ) ( x ) x . f ( ) f ( )
   1 2 1 0 Suy ra:   f . f .....
Chuyên đề GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ VÀ SỰ LIÊN TỤC Đại số và Giải tích 11 
Bài tập 11: Chứng minh các phương trình sau đây luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số : 
 2 4 2 7
3
1 2 2 0 16 6 0
1 2 2 3 0 2 2 2 5 1
a) b) 
c) d) 
        
       
m m x x m( x ) x ( x )
m( x )( x ) ( x )x m( cos x ) sin x
Bài tập 12: Chứng minh với mọi a, b, c các phương trình sau đây luôn có nghiệm: 
0
0
a) 
b) 
        
        
a( x b )( x c ) b( x c )( x a ) c( x a )( x b )
ab( x a )( x b ) ac( x c )( x a ) bc( x b )( x c ) 
Gợi ý: 
2
0 3
0 3
 a) §Æt 
Ta cã liªn tôc trªn R vµ:
        
          
 
f ( x ) a( x b )( x c ) b( x c )( x a ) c( x a )( x b )
f ( x )
f ( a ) a( a b )( a c )
f ( b ) b( b c )( b a )
f ( c ) c( c b )( c a )
f ( ) abc
f ( ) f ( a ) f ( b ) f ( c ) a
 
2 2 2 2 2
0 0
0
0 0 0
0
 hoÆc 
 Tån t¹i sao cho (®pcm)
   
  
 
b c ( a b ) ( b c ) ( c a )
f ( a ) f ( b ) f ( ) f ( c )
x f x
Bài tập 13: 
a) Chứng minh rằng phương trình: 3 2 11000 0
100
  x x có ít nhất một nghiệm dương. 
b) Chứng minh rằng với m