Đại số tổ hợp, xác suất

ch 
Bài 6. (ĐH K D - 2004)
	Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hởi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi và số câu hỏi dễ không ít hơn 2. 	ĐS: 56.875 cách chọn đề kiểm tra.
Bài 7. (ĐH K B - 2005)
Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ.	ĐS: 
Bài 8. (ĐH K D- 2006)
	Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh gồm 5 học sinh lớp T, 4 học sinh lớp L, và 3 học sinh lớp H. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh thuộc không quá 2 trong ba lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy? ĐS: 225 cách 
Bài 9. Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ, và 4 nhà vật lí nam. Lập một đoàn công tác gồm 3 nguời có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học và nhà vật lí. Hỏi có bao nhiêu cách?
	ĐS: 90 cách
Bài 10. Có 6 quả cầu xanh đánh số từ 1 đến 6, 5 quả cầu đỏ đánh số từ 1 đến 5 và 4 quả cầu vàng đánh số từ 1 đến 4. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 3 quả cầu vừa khác màu vừa khác số?
	ĐS: 64 cách
Bài 11. Có bao nhiêu cách phân phối 5 đồ vật khác nhau cho 3 người, sao cho mỗi người nhận được ít nhất 1 đồ vật.	ĐS: 150 cách
Bài 12. Trong một chi đoàn có 7 nam sinh và 4 nữ sinh ưu tú (trong đó có một nam sinh tên là Cường, và một nữ sinh tên Hoa). Cần lập một ban cán sự lớp từ 11 đoàn viên đó, gồm 6 nguời với yêu cầu có ít nhất 2 nữ ngoài ra không có mặt đồng thời cả Hoa và Cường. Hỏi có bao nhiêu cách lập?	ĐS: 260 cách.
Bài 13. Cho hình thập giác đều. 
Thập giác trên có bao nhiêu đường chéo?
Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của thập giác, nhưng cạnh của tam giác không là cạnh nào của thập giác đó?	ĐS: 50 tam giác
Hỏi có thể lập được bao nhiêu hình chữ nhật có đỉnh là đỉnh của thập giác? 
Bài 14. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số có 5 chữ số khác nhau trong đó có đúng hai chữ số lẻ và hai chữ số đó đứng cạnh nhau. 	ĐS: 360 số
Bài 15. Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên, Hỏi có bao nhiêu cánh xếp trong mỗi trường hợp sau:
Bất cứ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc ngồi đối diện nhau thì khác trường.
Bất cứ hai học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường.
ĐS: 1) 2.6!.6! 	2) 12.10.8.6.4.2.6!
Bài 16 : Có 7 học sinh nam và 3 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh trên thành hàng dọc nếu
Các học sinh đứng tuỳ ý
3 học sinh nữ đứng cạnh nhau
Các học sinh nữ đứng cạnh nhau ,học sinh nam đứng cạnh nhau
Bài 17 : Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau sao cho chữ số hàng trăm là lớn nhất
Bài 18 : Có bao nhiêu số có 5 chữ số sao cho tổng các chữ số là số lẻ
Bài 19 : Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số lứn hơn 500000 và chia hết cho 9
Bài 20 : Cho tam giác ABC .Xét 4 đường thẳng // AB ,%đường thẳng // BC ,6 đường thẳng //CA. Hỏi các đường thẳng này tạo thành bao nhiêu tam giác và bao nhiêu hình thang( không kể hình bình hành)
Bài 21 : Có bao nhiêu cách xếp 3 học sinh nữ và 7 học sinh nam thành một hàng dọc sao cho có 2 học sinh nam xen kẽ với 3 học sinh nữ
Bài 22 : Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số sao cho không có chữ số nào lặp lại đúng 3 lần
Bài kiểm tra số 2
Bài 1 ( 4,5 điểm) : Cho 7 chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên :
Có 5 chữ số và chia hết cho 5
Có 4 chữ số khác nhau và là số chẵn
Có 6 chữ số khác nhau trong đó có chữ số 2 và 5 đứng cạnh nhau
Bài 2 ( 1,5 điểm) Cho hai đường thẳng song song d1 và d2 .Trên d1 có 10 điểm phân biệt , trên d2 có n điểm phân biệt () .Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho .Tìm n
Bài 3 : (2 điểm ) Có bao nhiêu cách xếp 5 người A,B,C,D,E vào 5 ghế ngồi xếp hàng ngang sao cho :
C ngồi chính giữa
A và E ngồi ở hai đầu
Bài 4 ( 2 điểm)Số nguyên dương n được viết dưới dạng : .Trong đó là các số tự nhiên
Số n có bao nhiêu ước số
áp dụng tính số ước số của 35280
Bài kiểm tra số 2
Bài 1 ( 4,5 điểm) : Cho 7 chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên : 
1.Có 5 chữ số và chia hết cho 5
 2. Có 4 chữ số khác nhau và là số chẵn
 3. Có 6 chữ số khác nhau trong đó có chữ số 2 và 5 đứng cạnh nhau
Bài 2 ( 1,5 điểm) Cho hai đường thẳng song song d1 và d2 .Trên d1 có 10 điểm phân biệt , trên d2 có n điểm phân biệt () .Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho .Tìm n
Bài 3 : (2 điểm ) Có bao nhiêu cách xếp 5 người A,B,C,D,E vào 5 ghế ngồi xếp hàng ngang sao cho :
C ngồi chính giữa
A và E ngồi ở hai đầu
Bài 4 ( 2 điểm)Số nguyên dương n được viết dưới dạng : .Trong đó là các số tự nhiên
Số n có bao nhiêu ước số
áp dụng tính số ước số của 35280
II. Các bài toán liên quan đến nhị thức Newton
Bài 1. (ĐH KB - 2007)
	Tìm hệ số của x10 trong khai triển nhị thức (2+x)n , biết rằng 
 	ĐS: n = 11, hsố = 22
Bài 2. (ĐH KD - 2007)
	Tìm hệ số của x5 trong khai triển biểu thức sau:
1. 
2.P (x)= x(1-2x)5 +x2(1+3x)10 	ĐS: 3320
Bài 3. (ĐH KA - 2006)
	Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của , biết rằng .	
Bài 4. (ĐH KA - 2004)
	Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của biểu thức
	P = 	ĐS: 238.
Bài 5. (ĐH KD - 2004)
	Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton
	1. với x > 0; 2. 	; 3. 	
Bài 6 : Tìm hệ số của trong khai triển của 
Bài 7 : Tìm hạng tử chính giữa của khai triển : 
Bài 8 : Tìm hai hạng tử chính giữa của khai triển : 
Bài 9 : Tìm hệ số của x8 trong khai triển biết rằng 
Bài 10 : Cho . Sau khi khai triển và rút gọn thì A có bao nhiêu số hạng
Bài 11 : Cho khai triển nhị thức :
( n là số nguyên dương).Biết rằng trong khai triển đó và số hạng thứ tư bằng 20n. Tìm n và x
Bài 12 (ĐH KD - 2003)
	Với n là số nguyên dương, gọi a3n - 3 là hệ số của x3n -3 trong khai triển thành đa thức của biểu thức (x2 +1)n(x+2)n. Tìm n để a3n-3 = 26n. 	ĐS: n = 5.
Bài 13 : Trong khai triển của nhị thức : hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x ,biết : 
Bài 14 : Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển bằng 1024. Hãy tìm hệ số của số hạng chứa x12 trong khai triển
Bài 15 : Cho biết hệ số của số hạng thứ 3 của khai triển nhị thức bằng 36 . Tìm số hạng thứ 7
Bài 16. Tìm các số hạng là số nguyên trong khai triển ĐS: 8 và 4536.
Bài 17 : Chứng minh rằng : 
 1. 
 2. 
 3. 
 4. 
 Bài 18 : Giả sử k,n,m là 3 số tự nhiên thoả mãn điều kiện : .Chứng minh rằng : 
Bài 19 : Đặt 
Tìm hệ số a10
Tính tổng : S1 = a0 + a1 + a2 ++ a15
Tính tổng S2 = a0 – a1 + a2 - - a15
Bài 20 : Tìm giá trị lớn nhất trong các giá trị : 
Bài 21 Xét khai triển (2x+2)9 = a0 + a1x + a2x2 + +a9x9. Tìm Max{ai, i = 1, 9}	ĐS: a5=a6.
Bài 22. Xét khai triển (x+2)n = a0 + a1x + a2x2 + +anxn. 
 Tìm n để Max{ai, i = 1, n}=a10.
Bài kiểm tra số 3
Bài 1 : Khai triển và rút gọn :
 P(x) = 
 Ta được : 
 Xác định hệ số 
Bài 2 : Xác định số hạng chính giữa của khai triển nhị thức : 
Bài 3 : Tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển : 
Bài 4 : Xác định hệ số của trong khai triển nhị thức . Biết rằng 
Bài 5 : Chứng minh rằng : 
II. Xác suất
Bài 1 Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương nhỏ hơn 9. Tính xác suất để
Số được chọn là số nguyên tố ; 2. Số được chọn chia hết cho 3
Bài 2 : Gieo một đồng xu đồng chất 3 lần liên tiếp .Tính xác suất để 
Mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần
Số lần xuất hiện của mặt sấp hoặc mặt ngửa là số chẵn
Bài 3 : Gieo đồng thời hai con xúc sắc cân đối ,đồng chất. Tính xác suất để 
Tổng số chấm gieo được nhỏ hơn hoặc bằng 7
Số chấm gieo được hơn kém nhau 2 ; 3. Có đúng một con xuất hiện mặt 6
Bài 4 : Gieo một đồng tiền liên tiếp cho đến khi lần đàu tiên xuất hiện mặt sấp hoặc cả bốn lần ngửa thì dừng lại. Tính xác suất để 
Số lần gieo được không vượt quá 3 ; 2. Số lần gieo là 4
Bài 5 : Một vé số có 4 chữ số.Khi quay số nếu vé bạn mua trùng hoàn toàn với kết quả thì sẽ nhận giải nhất.Nếu vé mua có đúng 3 chữ số trùng thì bạn được giải nhì. Nếu vé mua có đúng 2 chữ số trùng thì bạn được giải ba.Bạn A mua một vé. Tính xác suất để bạn A :
 1. Trúng giải nhất ; 2. Trúng giải nhì ; 3. Trúng giải ba
Bài 6 : Gieo 1 con xúc sắc đồng chất ba lần liên tiếp.Tính xác suất để 
Số chấm trong một lần gieo bằng tổng số chấm của 2 lần gieo còn lại
Số chấm trong một lần gieo bằng tích số chấm của 2 lần gieo còn lại
Số chấm ở lần gieo thứ ba gấp đôi số chấm gieo ở lần thứ hai
Số chấm gieo được trong cả ba lần là số nguyên tố
Bài 7. Cho một hộp đựng 12 viên bi, trong đó có 7 viên bi màu đỏ, 5 viên bi màu xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất trong hai trường hợp sau:
Lấy được ba viên bi màu đỏ.
Lấy được ít nhất hai viên bi màu đỏ. 	ĐS: 1) 35/220; 2) 140/220.
Bài 8 : Một bình chứa 16 viên bi ,với 7 viên bi trắng ,6 viên bi đen,3 viên bi đỏ
 a. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất để :
 1. Cả 3 viên lấy ra màu đỏ
 2. Lấy được 3 viên không phải màu đỏ
 3. Lấy được 3 viên khác màu nhau
b. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính xác suất để :
 1. Lấy được đúng một viên bi trắng
 2. Lấy được đúng hai viên bi trắng
Bài 9 : Ba quân bài rút từ 13 quân cùng chất rô ( 2-3...-10-J-Q-K-A). Tính xác suất để 
 1. Trong ba quân rút ra không có Q và K
 2. Ba quân rút ra có Q hoặc K
 3. Ba quân rút ra có cả Q và K
Bài 10 : Chọn ngẫu nhiên 5 quân bài trong cỗ bài tú lơ khơ .Tính xác suất để trong 5 cây chọn ra
Có 1 tứ quý( 4 quân bài cùng tên)
Có chứa hai bộ đôi ( Tức là có hai con cùng tên)
5 quân bài lập thành một bộ tiến liên tiếp( là các bộ (A-2-3-4-5),(2-3-4-5-6),...., (10-J-Q-K-A), quân A(át) vừa là quân bé nhất vừa là quân lớn nhất)
Bài 11. Một người say rượu bước 4 bước.Mỗi bước anh ta tiến lên phía trước nửa mét hoặc lùi lại phía sau nửa mét với xác suất như nhau. Tính xác suất để sau bốn bước đó anh ta trở lại điểm xuất phát
Bài 12. Một khách sạn có 6 phòng đơn. Có 10 khách đến thuê phòng, trong đó có 6 nam và 4 nữ. Người quản lí