Đại số tổ hợp - Người soạn: Phạm Văn Luật

 =18.
6) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số 1,2, 3, 4, 
5 và 6 và lớn hơn 300.000 Kết quả: 4.5!=480
7) Có bao nhiêu sốtự nhiên có 3 chữ số khác nhau và khác 0 biết rằng tổng của 3 
chữ số này bằng 9. Kết quả: Có 3 tập X1={1;2;6} , X2={1;3;5} 
và X3={2;3;4} có tổng các phần tử bằng 9. Vậy có 3.3!=18 số.
8) Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số trong đó 
chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt một lần?
Hướng dẫn và kết quả: 
Cách 1: Xếp chữ số 0 trước: 7 cách (bỏ ô đầu).Xếp chữ số 2: còn 7. Xếp 
chữ số 3: còn 6. Xếp chữ số 4: còn 5. Xếp chữ số 5: còn 4. Xếp chữ số 1 
vào 3 ô còn lại: 1 cách (Không thứ tự). Vậy có: 7.7.6.5.4.1=5880 số.
Hoặc: 1 0 1 2 3 1 5 4
Muốn có một số cần tìm ta xếp các chữ số 0, 2, 3, 4 và 5 vào 5 trong 8 ô 
vuông, sau đó xếp chữ số 1 vào 3 ô còn lại (không thứ tự ). Vậy có 
67201.A 58 = số, kể cả các số có chữ số 0 đứng đầu ( có 840A.1
4
7 = số). 
Vậy có 6720−840=5880 số.
9) Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số trong đó 
chữ số 1 có mặt 2 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần?
Kết quả: 360
!2
!6
= số.
Hoặc: 1 5 1 2 4 3
Muốn có một số cần tìm ta xếp các chữ số 2, 3, 4 và 5 vào 4 trong 6 ô 
vuông, sau đó xếp chữ số 1 vào 2 ô còn lại (không có thứ tự ). Vậy có 
3601.A 46 = số 
10) Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau. Biết rằng tổng của 3 chữ số 
này bằng 12?
Kết quả: Có 7 tập hợp chứa 3 phần tử khác 0 có tổng 12 và có 3 tập hợp chứa 
3 phần tử có phần tử 0 có tổng 12.Vậy có 7.3!+3.(2.2.1)=54 số.
Đại số tổ hợp - Trang 5 - Người soạn: Phạm Văn Luật 
11) Với 6 chữ số 2, 3, 5, 6, 7, 8 có bao nhiêu cách lập những số gồm 4 chữ số khác 
nhau, biết:
a) Các số này < 5000? Kết quả: 2. 3 Ï5A =120 số.
b) Các số này chẵn < 7000? Kết quả: x= abcd : d=8 có 4.4.3.1= 48 số 
; d≠8 có 3.4.3.2=72 số. Vậy có 48+72=120 số
12) Từ tập hợp A={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} có thể lập được bao nhiêu số mà mỗi số có 
5 chữ số khác nhau và trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5?
 Kết quả: x= abcde : a=5 có 1.6.5.4.3= 360 số ; a≠5 có 4(5.5.4.3)=1200 số. 
Vậy có 360+1200=1560 số Hoặc: 6. 45
4
6 A.5A − (không có chữ số 5)=1560
13) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ta lập thành bao nhiêu số có 4 chữ số khác 
nhau? 
Kết quả: 3024A 49 = 
14) Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và 
không chia hết cho 5. Kết quả: 54 số.
15) Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau được lập nên từ 
các chữ số 1,2,3,4,5,6,7? Chứng minh rằng tổng của tất cả các số này chia hết cho 9. 
Kết quả: 7!=5040 số. S=2520.8888888 M 9
16) Có bao nhiêu số có các chữ số khác nhau có thể lập thành từ các chữ số 2, 4, 6 
và 8. Kết quả: 64AAAA 44
3
4
2
4
1
4 =+++ số
17) Từ 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ 
số khác nhau, trong đó phải có mặt cả 2 chữ số 0 và 1?
Hướng dẫn và kết quả:
Cách 1: Tư ø A={2,3,4,5,6,7,8,9} có thể lấy ra 78C 8= tập con có 7 phần tử không có 0 và 1. Hợp mỗi 
tập con này với {0,1} ta có 8 tập con có 9 phần tử trong đó có 0 và 1. Từ mỗi tập hợp này có thể tạo 
8.8!=322560. Vậy có 8.322560=2580480 số.
Cách 2: Cho 0 xuất hiện trước: Có 8 cách ( vì 0 không được đứng đầu). Cho 1 xuất hiện kế tiếp: Có 8 
cách. Tiếp theo ta xếp 8 chữ số còn lại vào 7 vị trí còn lại: Có 78A 40320= cách. Vậy có: 
8.8.40320=2580480 số.
Cách 3: Có 3 loại số trong 899.A 3265920= số tạo được có 9 chữ số khác nhau: Có số chỉ xuất hiện 0 
(không có 1), chỉ xuất hiện 1 (không có 0), có số xuất hiện cả 0 và 1
Có 9!=362880 số chỉ xuất hiện 1 (không có 0) và có 9!−8!=322560 số chỉ xuất hiện 0 (không có 1). 
Vậy có:3265920−(362880+322560)=2580480 số có cả 0 và 1.
18) Từ 5 chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác 
nhau, trong đó:
Đại số tổ hợp - Trang 6 - Người soạn: Phạm Văn Luật 
a) 2 chữ số 1và 2 đứng cạnh nhau?
b) 2 chữ số 1và 2 không đứng cạnh nhau?
Hướng dẫn và kết quả:
a) Giai đoạn 1: Cho 2 chữ số 1 và 2 vào 2 ô liền nhau, 3 chữ số 3, 4, 5 vào 3 ô còn lại: Có 4!=24 cách 
xếp. 
Giai đoạn 2: Vì 1 và 2 nằm trong 2 ô liền nhau nên có 2!=2 cách xếp.
Theo quy tắc nhân, có 24.2=48 số.
b) Có 5!=120 số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập nên từ 5 chữ số đã cho trong đó có 
thể có 1 và 2 đứng cạnh nhau; hoặc 1 và 2 không đứng cạnh nhau. Vậy có 120−48=72 số 
trong đó 1 và 2 không đứng cạnh nhau.
19) Từ 4 chữ số 0,1,2,3 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số , trong đó 
chữ số 3 xuất hiện 4 lần, các chữ số 0, 1, 2 chỉ xuất hiện 1 lần.
Hướng dẫn và kết quả: Tương tự bài 8b): Có 3 27 6A .1 A 180− = số. Ta có thể giải bằng cách 
khác: Với 7 ô : ™ ™ ™ ™ ™ ™ ™ 
Giai đoạn 1: Ta lắp chữ số 0 vào trước: Có 6 cách (bỏ ô đầu tiên). 
Giai đoạn 2: Ta lắp chữ số 1 vào 6 ô còn lại: Có 6 cách. 
Giai đoạn 3: Ta lắp chữ số 2 vào 5 ô còn lại: Có 5 cách. 
Giai đoạn 4: Ta lắp chữ số 3 vào 4 ô còn lại: Có 1 cách (không thứ tự).
Theo quy tắc nhân có : 6.6.5.1=180 số.
20) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, sao cho 2 chữ số kề nhau phải khác nhau?
Kết quả: 9.9.9.9.9=59049.
21) Từ 7 chữ số 1,2,3,4,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác 
nhau sao cho luôn có mặt chữ số 7 và chữ số hàng ngàn là chữ số 1?
Kết quả: 1.3. 25A =60 số (1 cách xếp chữ số 1, 3 cách xếp chữ số 7 và 25A cách xếp 2,3,4,5,6 
vào 2 vị trí còn lại).
22) a) Có bao nhiêu số tự nhiên (được viết trong hệ đếm thập phân) gồm 5 chữ số 
mà các chữ số đều lớn hơn 4 và đôi một khác nhau?
b) Hãy tính tổng tất cả các số tự nhiên nói trên?
Kết quả: a) 45A =120 b)60X155554 = 9333240
23) Cho 5 chữ số:1, 2, 3, 4, 5. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 4 chữ số 
khác nhau từ 5 chữ số trên? Kết quả: 4.3.2.3=72 
24) Có bao nhiêu số tự nhiên khác nhau, nhỏ hơn 10000 được tạo thành từ 5 chữ số: 
0, 1, 2, 3, 4? Kết quả: 5+4.5+4.25+4.125= 625
25) Với 10 chữ số từ 0 đến 9, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ 
số, mà các chữ số đó đều khác nhau? Kết quả: 9.8.7.1+8.8.7.4=2296
Đại số tổ hợp - Trang 7 - Người soạn: Phạm Văn Luật 
26) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau và khác 0 biết tổng ba chữ số 
này bằng 8. Kết quả: Có 2 tập có tổng 3 phần tư ûbằng 8. Vậy có 2.3!=12 số
27) Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 . Từ các chữ số đã cho lập được bao nhiêu số tự 
nhiên :
a) Gồm 4 chữ số khác nhau và là số chẵn Kết quả: 5.4.3.1+4.4.3.2=156
b) Gồm 4 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 3000 Kết quả: 2.5.4.3=120
c) Gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 4 
 Kết quả: 1 2 3 4 3 4a a a a 4 a a 4⇔M M . 
Có 72 số
d) Gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5 Kết quả: 108
e) Gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 3 Kết quả: 216
28) Cho 5 quả cầu trắng bán kính khác nhau và 5 quả cầu xanh bán kính khác nhau. 
Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 10 quả cầu đó thành 1 dãy từ trái sang phải, sao cho 
không có 2 quả cầu cùng màu đứng cạnh nhau? Kết quả:28800
29) Hội đồng quản trị của 1 xí nghiệp gồm 11 người, trong đó có 7 nam và 4 nữ. Từ 
hội đồng quản trị đó người ta muốn lập ra1 ban thường trực, trong đó ít nhất 1 người 
nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ban thương trực có 3 người? 
Kết quả: 161
30) Nhân ngày sinh nhật, các bạn tặng Hồng Nhung 1 bó hoa gồm 10 bông hồng trắng 
và 1 bó hoa gồm 10 bông hồng nhung. Hồng Nhung muốn chọn ra 5 bông để cắm 
bình. Hỏi Hồng Nhung có bao nhiêu cách chọn nếu trong 5 bông ấy phải có ít nhất : 
a) 2 bông trắng và 2 bông nhung .
b) 1 bông trắng và 1 bông nhung .
Kết quả: a)10800 b)15000
31) Lúc khai mạc 1 hội nghị có 5 đại biểu. Các đại biểu đều lần lượt bắt tay nhau. 
Hỏi có tất cả bao nhiêu cái bắt tay?
Kết quả: 10
32) Có bao nhiêu cách xếp đặt 3 người đàn ông, 2 người đàn bà ngối trên 1 ghế dài 
sao cho những người cùng phái ngồi cạnh nhau?
Kết quả: 24
33) Gieo 3 hột xúc xắc vào trong 1 cái chén, hỏi có bao nhiêu kết quả khác nhau cả 
thảy ? Kết quả: 63=216
Đại số tổ hợp - Trang 8 - Người soạn: Phạm Văn Luật 
34) Có 5 con đường nối 2 thành phố X và Y, có 4 con đường nối 2 thành phố Y và Z. 
Muốn đi từ X đến Z phải qua Y .
a) Hỏi có bao nhiêu cách chọn đường đi từ X đến Z?
b) Hỏi có bao nhiêu cách chọn đường đi và về từ X đến Z rồi về lại X bằng 
những con đường khác nhau?
Kết quả: a) 20 b) (5X4)X(3X4)=240
35) Có bao nhiêu đường chéo trong hình thập giác lồi?
Kết quả: 35
36) Vẽ 5 đường thẳng song song trên một tờ giấy. Sau đó vẽ tiếp 6 đường thẳng song 
song khác cắt cả 5 đường thẳng vẽ lúc đầu. Có bao nhiêu hình bình hành tạo được?
Kết quả: 150C.C 26
2
5 =
37) Cho tập P gồm 10 điểm phân biệt trong mặt phẳng :
a) Có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh lấy trong P nếu không có 3 điểm nào lấy 
trong P tha